第16小题 一元函数的导数及其应用-2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第16小题一元函数的导数及其应用

国疗可导毓

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第16小题一元函数的导数及其应用......................................................1

一、主干知识归纳与回顾.............................................................3

16.1导数的概念及其意义........................................................3

§5.2导数的运算................................................................4

16.3导数在研究函数中的应用....................................................4

（一）命题角度剖析.................................................................5

（二）考情分析......................................................................5

（三）高考预测......................................................................5

二、题型分类与预测.................................................................6

命题点一：导函数的概念与几何意义..............................................6

1.1母题精析（三年高考真题）..............................................6

一.极限及其运算（共1小题）.........................................6

二.导数的运算（共8小题）............................................6

三.利用导数研究曲线上某点切线方程（共10小题）...................10

1.2解题模型...............................................................15

1.3对点训练（四年省市模考）.............................................15

一.导数的运算（共2小题）...........................................15

二.利用导数研究曲线上某点切线方程（共22小题）...................16

命题点二：导数与函数单调性、极值、最值......................................28

1.14题精析（三年高考真题）..............................................28

一.利用导数研究函数的单调性（共3小题）...........................28

二.利用导数研究函数的极值（共5小题）.............................29

三.利用导数研究函数的最值（共3小题）.............................32

四.不等式恒成立的问题（共1小题）..................................35

1.2解题模型................................................................36

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1.3对点训练（四年省市模考）..............................................37

一.利用导数研究函数的单调性（共6小题）...........................37

二.利用导数研究函数的极值（共2小题）.............................46

三.利用导数研究函数的最值（共10小题）............................48

四.不等式恒成立的问题（共1小题）.................................56

三、类题狂刷（五年区模、校模）：.................................................58

一.导数的运算（共1小题）..........................................58

二.利用导数研究函数的单调性（共9小题）...........................59

三.利用导数研究函数的极值（共10小题）............................67

四.利用导数研究曲线上某点切线方程（共11小题）...................77

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一、主干知识归纳与回顾

I匚方&捡的

16.1导数的概念及其意义

1.导数定义：对于函数歹二/("，把比值普=，(“+个一)(")叫做函数y=/(x)从/到％+Ar的

平均变化率，如果当©->0时，平均变化率电无限趋近于一个确定的值，即包有极限，则称y=/'(x)

AxAx

在x=/处可导，并把这个确定的值叫做y=/(x)在x=/处的导数(也称瞬时变化率)，记作/'(/)或

川，即小。)二碗包二lim〃…)-小。).

1工=/AXTO-丫Av->o\Y

2.函数y=/(x)在点x0处的导数/'(%)的几何意义：

(D切线：在曲线上任取一点尸(xj(x)),如果当点尸(xj(x))沿着曲线y=/*)无限趋近于点

《(工0，/(%))时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线47称为曲线歹=/(x)在

点4处的切线.

(2)/'(与)的几何意义：/'(%)是曲线卜二/。)在尸(%,/(/))处的切线47的斜率.

3.导函数：当x=x0时，/'(/)是一个唯一确定的数，这样当x变化时，》=/'a)就是x的函数，我们称

它为>=/(x)的导函数，简称导数.有时记作y.

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§5.2导数的运算

1.几种常见函数的导数

①。二0；②(工")=。廿"；③(sinx)=cosx；©(cosx)=-sinx；

⑤(1)=a'lna；©(er)=ex；⑦(log“x)=—■—;⑧(Inx)=1

x\nax

2.导数的四则运算法则

⑴t/'(x)±g(x))=/(x)士g'(x).

⑵(/(x)g(x))'=/'(x)g(x)±/(x)g'(x).特别地：[c/3]=d(x).

，a)g(x)-/(x)g(x)

⑶(44)(g(x)，o)・

g(x)[g(x)]2

3.复合函数求导法则

由函数y=/(〃),〃=g(x)复合而成的的函数y=/(g(x))的导数和函数y=/'(〃),〃=g(x)的导数间的关

r

系为K'=yu，即y对x的导数等于y对〃的导数与〃对x的导数的乘积.

163导数在研究函数中的应用

1.导数与函数的单调性

(1)在某个区间(。/)上，如果/'(x)>0,则函数y=/(x)在区间(a,b)上为单调递增;

在某个区间(。㈤上，如果/'(x<0,则函数y=/(x)在区间伍⑼上为单调递减.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，若/'(X)为增函数，则/'(幻之0(/'*)在(。/)上的任何子区

间内都不恒等于零)；若/(x)为减函数，则/'(x)<0(/"")在(。))上的任何子区间内都不恒等于零).

2.函数的极值

函数V=/(X)在点x=。的函数值J\a)比它在点x=。附近其他点的函数值都小，/"(〃)=0,而且在点

X=Q附近的左侧/'(')<0,右侧/'(幻>0,我们把。叫做函数的极小值点，/他)叫做函数y=/(x)的极

小值；函数y=/(x)在点x=8的函数值/S)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/'3)=0,而且

在点x=6附近的左侧/(x)>0,右侧/'(%)<0,我们把6叫做函数的极大值点，/(力)叫做函数y=/(x)

的极大值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

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3.最大值、最小值：

设函数/(4)的定义域为/,如果存在实数M满足：(1)VAG/,都有/(x)«M;(2)打使得

/(x0)=M,我们就称M是函数y=/(x)的最大值.如果存在实数N满足：(1)Vxe/,都有/(x)NN;

(2)3%£/,使得/(%)="，我们就称N是函数)，=/、*)的最小值.

(-)命题角度剖析

1,导函数的概念与几何意义★★★☆☆2.导数与函数单调性、极值、最值★★★★★

二H考情2•布

(二)考情分析

高考频率：100%试题难度：较难呈现形式：以选择题或填空题呈现

卫方涛数涮

(三)高考预测

本小题主要考查导数的几何意义、含参函数的单调性与极值问题、函数的最值与恒成立问

题.热点内容为与单调性、极值、最值有关的综合问题

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二、题型分类与预测

命题点一：导函数的概念与几何意义

1.1母题精析(三年高考真题)

一.极限及其运算(共1小题)

1.(2022•上海)已知函数y=/(x)为定义域为我的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xw(0,1］时.,

f(x)=Inx,若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为4,x，与，…，X"，则lim(x-x)=2.

2/r—>oo0+ln

【分析】/(x)是周期为4的周期函数，作出图像，lim(x»1-相)的几何意义是两条渐近线之间的距离，由

此能求出结果.

【解答】解：，•函数y=/(x)为定义域为/?的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe((),1］时，/(x)=/〃x,

将方程/*)=X+I的正实数根从小到大依次记为X］,.q，X3f•••»9

则-x")的几何意义是两条渐近线之间的距离2,

九一>8

...lim(x,f+|-%)=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

二.导数的运算(共8小题)

2.(2022•甲卷)当x=l时，函数/"*)=4加+2取得最大值-2,则/(2)=()

X

A.—1B.—C.—D.1

22

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【分析】由已知求得6,再由题意可得/(I)=0求得”，得到函数解析式，求其导函数，即可求得广(2).

7

【解答】解：由题意/(1)=b=-2,贝iJ/(x)=R〃x—士，

i“\。2cix+2

则mi「(%)=一+)=—二，

XXX

V当X=1时函数取得最值，可得工=1也是函数的一个极值点，

:(1)=〃+2=0,即。=一2.

,,,.~2x+2

•"(x)=——»

尸

易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故X=1处，函数取得极大值，也是最大值，

则r(2)=~2x^2=--.

222

故选：B.

【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题.

3.(2020•全国)设函数/(X)=/H(3X+0,若八0)=1,则。=()

A.3B.eC./〃3D.1

【分析】先根据复合函数求导法则及导数公式求出导函数，再通过/'(0)=1建立方程即可求解.

【解答】解：♦.•/(x)=/〃(3x+。)，

.•.r(x)=—,又八o)=i,

3A+a

3,■,

=1,「.4=3,

故选：A.

【点评】本题考查复合函数求导法则及导数公式，方程思想，属基础题.

4.(2022•新高考I)已知函数/(X)及其导函数的定义域均为R,记g(*)=./Xr).若/(；-2x),g(2+x)

均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(-1)=0C./(-1)=/：4)D.g(-l)=g(2)

【分析】由/(|-2.丫)为偶函数，可得/(口关于x=|对称，可判断C；g(2+x)为偶函数，可得

g(2+x)=g(2-x),g(x)关于x=2对称，可判断。：由g(g)=0,g(x)关于x=2对称，可得g(g)=0,得

到了=』是/(x)的极值点，x=-g也是极值点，从而判断8；图象位置不确定，可上下移动，故函数

22

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值不确定，从而判断/I.

【解答】解：:/(；-2外为偶函数，，可得应-2幻=应+21),/./。)关于》=；对称，

令x=j,NJW/(|-2x|)=/(|+2x|),ER/(-1)=/(4),故C正确：

•.•g(2+x)为偶函数，/.g(2+x)=g(2-x),g(x)关于x=2对称，故。不正确：

•・•/")关于x=2对称，.•.x=±是函数/(X)的一个极值点，

22

函数/(X)在。处的导数为o,BPg(|)=r(|)=o,

又..g(x)的图象关于x=2对称，.•.g(|)=gg)=0,.•.函数/(X)在g,/)的导数为()，

.•.*=』是函数八用的极值点，又八幻的图象关于K=3对称，「.(工，。关于x=3的对称点为(，/),

rtu=g是函数/(口的极值点可得x=g是函数/(x)的•个极值点，.•.g(；)=r§)=0,

1773

进而可得gg)=gg=o,故是函数/(幻的极值点，又出)的图象关于x=］对称，

.•.(2,。关于尤=3的对称点为(-1,。，.”(一3二"/心。，故6正确；

22222

〃工)图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故力错误.

解法二：构造函数法，

3

令f(x)=1-sin7rx，则/(--2x)=1+cos2冗x,则g(x)=f\x)=一；rcos兀x，

g(X+2)=-^COS(2^+7TX)=-^cos^x,

满足题设条件，可得只有选项8。正确，

故选：BC.

【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题.

5.(2020•新课标III)设函数八力二/—,若/(1)=-,则

x+a4

【分析】先求出函数的导数，再根据，⑴十求酊的值.

【解答】解：•・・/(x)='一,

x+a

."x)=，r⑴=7^7=:

('：(x"+-a「)(Q+1)4

..--------y-->则4=1,

m+i)24

故答案为：1.

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【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题.

6.(2019•全国)若函数/(x)=e"+/〃(x+l),/'(0)=4,则a=3.

【分析】对/(x)求导，然后解方程/'(0)=4,可得。的值.

(解答]解：由/'(%)=*+ln(x+1),得f\x)=a*+—,

x+\

,

v/(0)=4,.-./(0)=fl+l=4,

.,.a=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了导数的基本运算，属基础题.

7.(2018•天津)已知函数/a)=eYnx,八x)为/(x)的导函数，则/(I)的值为_e_.

【分析】根据导数的运算法则求出函数/(X)的导函数，再计算((1)的值.

【解答】解:函数f(x)=exlnx,

则(a)=e"?x+■!■・，；

x

f(1)=e*ln\+\*e=e.

故答案为：e.

【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题.

8.(2016♦天津)已知函数/(x)=(2x+l)e[r(x)为/,(X)的导函数，则广(0)的值为3.

【分析】先求导，再带值计算.

【解答】解：•.•/(丫)=(2工+3，

/.f\x)=2ex+(2x+1)，，

.•.//(0)=2e°+(2x0+l)e°=2+l=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.

9.(2015•天津)已知函数/(x)=q动d，xe(0,+8),其中。为实数，/"(x)为/(x)的导函数，若/'(I)=3,

则a的值为3.

【分析】由题意求出/"),利用/'(I)=3,求a.

【解答】解：因为/'(X)=,所以，(X)=。加x+'ax=+a,又，(1)=3,所以a=3；

x

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故答案为：3.

【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键.

三.利用导数研究曲线上某点切线方程（共10小题）

10.（2023•甲卷）曲线y一在点。，耳处的切线方程为（）

x+12

A.y=—xB.y=-xC.y=-x+—D.v=-x+—

4-2-4424

【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程.

【解答】解：因为y=

x+1

,/（x+D-eYx+iy

（X+l）2（X+1）*2

故函数在点（i,g处的切线斜率上=（,

切线方程为v-：=；（工-1），即y=+；.

2444

故选：C.

【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础题.

11.（2021•新高考I）若过点（〃⑼可以作曲线>=e'的两条切线，则（）

A.eb<aB.<bC.0<a<ehD.0<b<ea

【分析】法一：画出函数的图象，判断3b）与函数的图象的位置关系，即可得到选项.

法二：设过点（。力）的切线横坐标为/,求出切线方程，代入m，b）,设/⑺=（a+lT）,利用函数的导数,

判断函数的单调性，然后推出b的范围即可.

【解答】解：法一：函数歹="是增函数，恒成立，

函数的图象如图，y>0,即切点坐标在x轴上方，

如果（〃,仍在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点（“/）在X釉或下方时，只有一条切线.

如果（〃力）在曲线上，只有一条切线；

（4,5）在曲线上侧，没有切线；

由图象可知他,与在图象的下方，并且在X轴上方时，有两条切线，可知

故选：D.

法二：设过点（“））的切线横坐标为/,

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则切线方程为y=d(x-/)+d,可得b=d(Q+l,

设/(Q=(a+1-),可得以/)=*”。，/G(-oo,a),f\t)>0,/(/)是增函数,

fe(a,+oo),/«)<(),〃，)是减函数,

因此当且仅当时，上述关于，的方程有两个实数解，对应两条切线.

【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题.

12.(2020•新课标I)函数/。)=/一2/的图象在点(1,/U))处的切线方程为()

A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+\

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=l处的导数，再求得/(1),然后利用直线方程的点斜式求

解.

【解答】解：由/(x)=X”一2/，得/<x)=49一6/,

:(1)=4-6=-2,

又/(1)=1-2=-1,

函数〃x)=x4-2d的图象在点(1,/(1))处的切线方程为=

GPv=-2x+1.

故选：B.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题.

13.(2023•全国)曲线y=2勿x+W在(1,1)处切线方程为_y=4x-3一

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

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【解•答】解：由y=2加Y+/可得y=—+2x,x>0,

x

曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=4,

所以所求切线方程为y-\=4(.・1)即y=4.r-3.

故答案为：y=4x-3.

【点评】本题考查利用导数研究由线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

14.(2022•新高考I)若曲线歹有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_(-X、-4)D(0L

+8)一

【分析】设切点坐标为(X。，(小十0产)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可

得;。2+。％—。=0,因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△>◊即可求出。的取值范围.

【解答】解:y'=ex+(x+a)e\设切点坐标为(%,(.”+〃)泊)，

K

/.切线的斜率k=济+(x0+a)e"，

/.切线方程为y-(M+a)e"=(e"+(x0+)(x-x0),

Xn

乂♦切线过原点，-(x0+〃)/"=(e。+(x(,+a)e)(-x0),

2

整理得：x0+ar0-a=0,

•.•切线存在两条，.••方程有两个不等实根，

.,.△=/+4a>0,解得“<-4或a>0,

即a的取值范围是(一8,-4)0(0,+00),

故答案为：(一8,-4)0(0,+oo).

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

15.(2022•全国)曲线y=在点(1,0)处的切线方程为_x-y-1=0_.

【分析】求出原函数的导函数，得到函数隹x=l时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得

答案.

【解答】解：由f(x)=xlnx,得

y'=Inx+x—=Inx+1»

x

f(I)=Ml+1=1,

即曲线/(x)=在点(1,())处的切线的斜率为1,

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则曲线f(x)=xbix在点(1,0)处的切线方程为y-0=1Xa-1),

整理得：x-y-\=O.

故答案为：x--1=0.

【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在

该点处的导数值，是基础题.

16.(2022•新高考II)曲线y=过坐标原点的两条切线的方程为_x-纱=0_,一.

【分析】当x>0时，y=lnx,设切点坐标为(/，//%),利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表

达出切线方程，再把原点代入即可求舟与的值，从而得到切线方程，当x<0时，根据对称性可求出另•条

切线方程.

【解答】解：当x>0时，y=lnx,设切点坐标为(%,阮％),

•・•)/=▲,.•.切线的斜率"=’,

x%

二.切线方程为y-=—Cv-x0)»

%

又「切线过原点，=-1,

「・％)=e，

/.切线方程为y-\=-(A--e),即x-ey=0,

e

当x<0时>y=ln(-x),与y=加的图像关于y轴对称»

.•.切线方程也关于y轴对称，

/.切线方程为x+ey=0,

综上所述，曲线y=/〃|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x-纱=0,x+ey=0t

故答案为：x-ey=(),X+G，=0.

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.

17.(2021•新高考II)已知函数/⑴$<0,匕〉0,函数/(X)的图象在点力(再，/(再))和点例当，

人工,))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于"，N两点，则上空的取值范围是

|8N|

【分析】分别求得x<0,x〉0时，/(x)的解析式和导数，可得切线的斜率和方程，令x=0,可得M,N

的坐标，再由两直线垂直的条件和两点的距离公式，化简整理，可得所求范闱.

【解答】解：当x<0时，/(x)=l-e\导数为/(x)=—e',

可得在点J(x,,l-exJ)处的斜率为尢=-exJ,

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切线AM的方程为y-(\-8」)=一夕」(x—x,),

令x=0,可得》=1-/」+芭/」，即〃(01一/」+**」)，

当x>0时，f(x)=ex-\,导数为/(%)=",

可得在点8区，ex-2-\)处的斜率为42=/-2,

令X=0,可得)，=6、-2_]_勺6、-2,即7(0,/-2_]_々/_2),

由f(x)的图象在力，8处的切线相互垂直，可得母2=-6、」七'-2=一1,

即为凡+々=0,A,<0,x,>0,所以^1==-Le(o,i).故答案为：(()」).

2Xi

I8NIy]\+ex2Jl+六洲

【点评】本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中

档题.

Or-1

18.(2021•甲卷)曲线卜=二一在点(-1,-3)处的切线方程为_5x-y+2=0_.

x+2

【分析】先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程.

【解答】解：因为丁=灯，(T,-3)在曲线上，所以了=迎巨£匚工=」^，

x+2(x+2>(x+2)?

所以yixz=5,则曲线歹=生口在点处的切线方程为：

x+2

J-(-3)=5[X-(-1)],即5x-y+2=0.故答案为：5x-y+2={).

【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

19.(2021•全国)曲线y=2.——6x2_18x+7在点(-2,3)处的切线方程是_30x-y+63=0_.

【分析】求得函数y的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由直线的点斜式方程可得所求切线的方

程.

【解答】解：函数y—2x?—63—l8x+7的导数为—6——12%-18,

可得曲线在点(-2,3)处的切线的斜率为6x4-(-24)-18=30,

则曲线y=2x3-6x2-18x+7在点(-2,3)处的切线方程为y-3=30a+2),

即为30x-y+63=0.故答案为：30x-y+63=0.

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，体现了数学运算的核心素养，属于

基础题.

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初履破支恢

••>■**•••MHB••*■**•.*MB*•.MMB.•■»..•«■»•.・..一

1.2解题模型

1.曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线问题

%切=/1(%)

设曲线产f(x)在点(xo,yo)处的切线为1,则根据切点在切线1上，建立方程组求解

切点在曲线上

2.曲线y=f(x)过点(xo,yo)的切线问题

设切点坐标为(Xi,f(Xi)),先求出在X=X1处的切线方程，然后把点(xo,yo)的坐标代入切线

方程即可求出xi,从而得出切线方程.

3.由曲线的切线求参数的方法

已知曲线在某点处的切线求参数问题主要用方程思想来解决.先求出函数的导数，从而求出

在某点处的导数值;再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组),

通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围.

1.3对点训练(四年省市模考)

一.导数的运算(共2小题)

I.(2023•漳州模拟)函数/a)=1：smx,x..0的导函数为八q，则八一四)=()

/(x+^),x<02

A.0B.IC.-D.1+-

22

【分析】根据已知条件，结合函数的周期性，以及导数的求导法则，即可求解.

xsinx,x...O

【解答】解:/（X）=«的导函数为f\x),

J（X+7T）,X<0

sinx+xcosx,x...O

则小)=，

/'（工+乃）,工<0

故选：B.

【点评】本题主要考查函数的周期性，以及导数的求导法则，属于基础题.

2.(2023•宁德模拟)已知函数/(X)满足如下条件：①定义域为R；②存在使得/(/)=/'(x。)=0;

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③0.试写出一个符合上述要求的函数〃出="x）=-1（答案不唯一）.

【分析】根据已知条件，选出函数，并验证，即可求解.

【解答】解：S/（x）=-x2,

则函数定义域为R,f\x）=-2x,/（0）=//（0）=0,f（x\0.

故答案为：/（4）=-/.

【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题.

二.利用导数研究曲线上某点切线方程（共22小题）

3.（2023•泉州模拟）定义在R上的偶函数/（%）满足〃2-x）+/（x）=0,且当xe[0,1）时，/（幻=4-1,

9g

则曲线y=八幻在点（-？,/（-2））处的切线方程为（）

4,4

A.4.r-4y+ll=0B.4x+4y+ll=0C.4x-4y+7=0D.4x+4y+7=0

【分析】利用函数的对称性和周期性及导数的几何意义即可求解.

【解答】解:由/（2-x）+/（幻=0可以得/*）关于（1,0）中心对称，

又/（X）偶函数,即函数关于y轴对称,

所以/（幻的周期为4.

-（—-1）=L/U）=—,

2272五

因为/（2-x）+/（x）=0,

/口）=f（2-x）即f\x）关于x=1对称,

所以八一o）=/'弓7）=/七1）=1,

444

所以切线方程：

即：4x—4y+11=0.

故选：A.

【点评】本题主要考杳了函数的奇偶性，对称性及周期性的考查，还考查了导数几何意义在切线方程的求

解，属于中档题.

4.（2022•泉州模拟）若直线y=K（x+I）-1与曲线j，=e，相切，直线），=似x+l）-l与曲线y=相切.则

左"的值为（）

A.-B.1C.eD.e2

2

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【分析】分别求得y=e"y=的导数，设出切点可得切线的斜率，由已知切线方程可得两个切点的坐标

（用人，3表示），结合函数的图像的对称性，可得所求值.

【解答】解：），=，的导数为y=的导数为了=」，

X

设与曲线），="相切的切点为。儿〃），

直线y=K（x+1）—1与曲线y=加x相切的切点为（sJ），

所以肚।=e",k2=—,即m=lnki.5=—»

sk2

n=4=%（1+lnk｝）-1»即,

k\

又/=/〃S=-/成2=%2（1+/）-1，即一/%=22，可得/'=:，

考虑&为方程/〃x=，的根，A,为方程，=’的根，

XX

分别画山y=e"了=/〃'和^=,，y=x的图像，

x

可得y=e"和卜=’的交点与歹=/〃x和y=上的交点关于直线y=x对称,

XX

则/：）=—»即k]k2=1.

kl

故选：B.

【点评】本题考查导数的几何意义：求切线的方程，以及函数的图像的对称性，考查方程思想和运算能力,

属于中档题.

5.（2022•莆田模拟）下列直线中，既不是曲线G：y=F的切线，也不是曲线G：P=的切线的是（）

A.y=x+\B.y=x-\C.y=exD.y=e（x-2）

【分析】分别求出两函数的导函数，由每一个选项中直线的斜四求得与两曲线切点的横坐标，进一步求得

纵坐标，再看切点是否满足直线方程即可.

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【解答】解：y=的导函数为y'=e，，y=/小的导函数为了=2.

对于力，y=x+l的斜率为1,由e'=l,得x=0,y=e°=l,

)-=x+1是曲线£：y=ex的切线，故力错误；

对于3,y=x-1的斜率为1,由判断力可知，y=x-l不是曲线G：y=，的切线，

由1=1,得x=1,y=/〃1=0,则歹=X一1是曲线C,:y=的切线，故8错误；

x

对于C,y=ex的斜率为e,由e,=e,得x=l,y=e'=e»

，y=ex是曲线G:J，=e'的切线，故C错误；

对于。，由判断。可知，y=e(x-2)不是曲线G"的切线，

由L=e,得工=,，箕=。/=一1,点(L-1)不适合直线y=e(x-2),

xeee

则v=e(x-2)不是曲线G：N=，几x的切线.

故选：D.

【点评】本题考杳利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题.

6.(2021•莆田模拟)函数/、(x)=cosx-1的图象的切线斜率可能为()

x

A.--B.-2C.--D.-4

33

【分析】求得/(x)的导数，可得切线的斜率，由正弦函数的值域和不等式的性质，可得斜率的范围，可得

结论.

【解•答】解：/(x)=cosx-，的导数为((X)=-sinx+」r,

X.X

由于一sinxe|-l,1],与>0,可得一sinx+]>—1,

X2JT

则切线的斜率可能为

3

故选：A.

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及正弦函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于基

础题.

7.(2020•福州三模)曲线y=(l-x)。'在x=l处的切线方程为()

A.ex—y-e=0B.ex+y—e=0C.x+@-1=0D.x-ey-\=0

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【分析】先求出导数，然后求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程.

【解答】解：由己知：yki=O，=ex（\-x-\）=-xex.

所以A=-e,故切线为丁=-e（x-l）,HPex+y-e=O.

故选：B.

【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程的求法.属于基础题.

8.（2022•甫出模拟）若函数y=/（x）的图象上存在两点，使得/（X）的图象在这两点处的切线互相垂直,

则称y=/（x）具有7性质.下列函数中具有7性质的是（）

A.^=sin2xB.=tanx

C.户言……)D.y=ex-Inx

【分析】函数y=/（x）的图象上存在两点，使得/"）的图象在这两点处的切线互相垂直，则判断》=/'（X）存

在两个函数值的乘积为-1即可.

【解答】解：当卜=$口】2;<1=■!_c,时,y=sin2xe[-l,1]»

当用时，满足条件；

当y=tanx时，y=—>0恒成立，不满足条件；

cos'X

-3

”(一2,1)

V—1(x+2)

7-I------1，%亡(-2,十8)时,

x+2_3

6+2)

当X]=-*,占=2,满足条件;

4

当「=，一阮丫时，yf=ex--,函数_/=/—■!■单调递增,

XX

且内尸般—3<-1,y|I=1=e-l>l,

所以存在川『=-1，*、=1，满足条件.

故选：ACD.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属中档题.

9.（2022•漳州模拟）已知函数〃x）=e"则下列结论正确的是（）

A.曲线y=f{x）的切线斜率可以是1

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B.曲线y=/(x)的切线斜率可以是-1

C.过点(0,1)且与曲线^=/(X)相切的直线有且只有1条

D.过点((),())且与曲线j，=/(X)相切的直线有且只有2条

【分析[求出原函数的导函数，结合指数函数的值域判断4与B；设出切点坐标，得到函数在切点处的切

线方程，分别把(()」)，((),())代入求得切点横坐标，即可判断。与Q.

【解答】解：/(%)=炉，得/'(X)=",

由/'(》)=e'=l,得x=0，.,.曲线y=/(x)的切线斜率可以是1,故4正确；

•.•/")=->0,故8错误；

设切点坐标为(M)，则f(x0)=1，

过切点的切线方程为y—*=^(x-x0),

v

把(0,1)代入，可得1—e”=-凡6。，xoe^-e"+l=O,

令g(x)=xe'-+1，得g'(x)=xex,当xe(-<»,0)时，g<x)<0,

当xe(0,y)时，g'(x)〉0,g(K)*=g(0)=0,

可得x。/。-*+1=0只有一根0,即过点(0,1)且与曲线)，=/*)相切的直线有旦只有1条，故C正确；

把(0,1)代入,可得一d=一」可，解得与=1.

过点(0,0)且与曲线夕=/(x)相切的直线有且只有1条，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，

是中档题.

10.(2023•莆田模拟)直线/经过点4，0),且与曲线'=/。+])相切，写出/的一个方程_夕=0」或

39_,

y=--x+—j_^y=5x-3)_.

【分析】设切点坐标，利用导数求出过求得的切线方程，代入已知点的坐标，求出切点横坐标，进一步得

答案.

【解答】解：由丁=/(%+1),得了=2、3+1)+/=3/+2%，

设切点坐标为Q,/Q+1)),

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2

则过切点的切线方程为了—/(/+I)=(3