《计算机电子电路技术-电路与模拟电子部分》课件第3章 动态电路分析

第3章动态电路分析3.1动态元件3.2电路变量初始值的计算3.3一阶电路的零输入响应3.4一阶电路的零状态响应3.5一阶电路的完全响应3.1动态元件3.1.1电容元件电容元件是电能存储器件的理想化模型。电容器是最常用的电能存储器件。在两片金属极板中间填充电介质，就构成一个简单的实际电容器，如图3.1所示。

图3.1电容器

应用库伏关系(即电荷量与其端电压之间的关系)表征电容器的外特性，经模型化处理，可以建立起电容元件的模型。电容元件的定义是：一个二端元件，如果在任意时刻，其库伏关系能用q-u平面上的曲线确定，就称其为电容元件(简称电容)。若曲线为通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图3.2(b)所示，则称为线性非时变电容。本书只讨论线性非时变电容元件，它的电路符号如图3.2(a)所示。图3.2线性非时变电容元件

在电容上电压、电荷的参考极性一致时，由图3.2(b)可知，电荷量q与其端电压u的关系为

q(t)=Cu(t)(3―1)

式中C称为电容元件的电容量，单位为法(F)，

1法=106微法(μF)=1012皮法(pF)。符号C既表示电容元件，也表示元件的参数。在电路分析中，一般关心的是电容元件的伏安关系和储能关系。若设电容端电压与通过的电流采用关联参考方向，则有(3―2)

对上式从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0，可得(3―3)

式(3―2)和(3―3)分别称为电容元件伏安关系的微分形式和积分形式。设t0为初始时刻。如果从t=t0时开始观察电压，式(3―3)可改写为(3―4)

称为电容元件的初始电压。由下面讨论可知，u(t0)反映了电容在初始时刻的储能状况，故也称为初始状态。在电压、电流参考方向关联的条件下，电容元件的吸收功率为式中(3―5)(3―6)

对上式从-∞到t进行积分，可得t时刻电容上的储能为计算过程中认为u(-∞)=0。

综上所述，关于电容元件有下面几个主要结论：

(1)伏安关系的微分形式表明：任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻电压的变化率成正比。如果端电压为直流电压，则电流i=0,电容相当于开路。因此电容有隔直流的作用。如果电容电流i为有限值，则du/dt也为有限值，这意味着此时电容端电压是时间t的连续函数，它是不会跃变的。(2)伏安关系的积分形式表明：任意时刻t的电容电压与该时刻以前电流的“全部历史”有关。或者说，电容电压“记忆”了电流的作用效果，故称电容为记忆元件。与此不同，电阻元件任意时刻t的电压值仅取决于该时刻的电流的大小，而与它的历史情况无关，因此电阻为无记忆元件。

(3)由式(3―7)可知，任意时刻t,恒有wC(t)≥0,故电容元件是储能元件。

例1图3.3(a)所示电容元件，已知电容量C=0.5F,其电流波形如图3.3(b)所示。求电容电压u和储能,并画出它们的波形。图3.3例1用图图3.3例1用图

解由图3.3(b)所示的电流波形，可写出根据式(3―3)，电容伏安关系的积分形式为

其波形如图3.3(C)所示。由式(3―7)，电容元件储能为其波形如图3.3(d)所示。3.1.2电感元件电感元件是存储磁场能器件的理想化模型。我们知道，用导线绕制的电感线圈，如图3.4所示，通以电流i后会产生磁通φ，在其周围空间建立磁场，磁场中存储有磁场能。设电感线圈有N匝，磁通φ与线圈的每一匝均全部交链，则称ψ=Nφ为磁链，单位为韦伯(Wb)。应用韦安关系(即线圈磁链与其电流之间的关系)表征电感线圈的外特性，经模型化处理，得到电感元件模型。

电感元件的定义为：一个二端元件，如果在任意时刻，其韦安关系能用ψ-i平面上的曲线确定，就称其为电感元件。若曲线是通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图3.5(b)所示，则称为线性非时变电感。本书只讨论线性非时变电感元件，其电路符号如图3.5(a)所示。

图3.4电感线圈图3.5线性非时变电感元件

设磁通φ与电流i的参考方向满足右手螺旋定则，由图3.5(b)可知，磁链与电流的关系为

ψ(t)=Li(t)(3―8)

式中L为电感元件的电感量，单位为享(H)。电感元件简称电感，电路符号如图3.5(a)所示。符号L既表示电感元件，也表示元件参数电感量。

变化的电流会产生变化的磁链，变化的磁链将在电感两端产生感应电动势。习惯上，规定电动势的实际方向由“-”极指向“+”极，这与电动势在电路中的物理作用相一致，即在电动势作用下，将正电荷从低电位点移至高电位点。设电感元件的电流i、电压u与感应电动势e的参考方向一致，且电流i与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，如图3.4(a)所示，则根据电磁感应定律，其感应电动势为(3―9)

而感应电压(3―10)

该式称为电感元件伏安关系的微分形式。对式(3―10)取积分，并设i(-∞)=0,可得电感元件伏安关系的积分形式(3―11)设t0为初始观察时刻，可将式(3-11)改写为(3―12)

称为电感元件的初始电流，或称为初始状态，因为由下面讨论可知，它反映了电感在t0时刻的储能状况。在电感上电压、电流采用关联参考方向时，电感元件的吸收功率为式中(3―13)(3―14)

对上式从-∞到t进行积分，并认为i(-∞)=0,求得电感元件的储能为(3―15)

关于电感元件，我们有以下几个主要结论：

(1)由伏安关系的微分形式可知：任何时刻，电感元件的端电压与该时刻电流的变化率成正比。

(2)由伏安关系的积分形式可知：任意时刻t的电感电流与该时刻以前电压的“全部历史”有关，所以，电感电流具有“记忆”电压的作用，它是一种记忆元件。

(3)式(3―15)表明，电感元件也是储能元件，将从外部电路吸收的能量，以磁场能形式储存于元件的磁场中。3.1.3电容、电感的串联和并联图3.6(a)是电路C1与C2相串联的电路，两电容的端电流为同一电流i。根据电容元件ＶＡＲ的积分形式，有(3―16)由ＫＶＬ，得端口电压(3―17)图3.6电容串联

式中或写为(3―18)

上式中C为电容C1与C2相串联时的等效电容。由式(3―17)画出其等效电路如图3.6(b)所示。同理可得，若有n个电容Ck(k=1,2,…,n)相串联，其等效电容为(3―19)

由式(3―17)可得

将该关系代入式(3―16)得两电容电压与端口电压的关系为(3―20)

电容C1与C2相并联的电路如图3.7(a)所示，两电容的端电压为同一电压u。根据电容VAR的微分形式，有(3―21)由KCL，得端口电流为(3―22)式中图3.7电容并联

称为电容C1与C2并联时的等效电容。由式(3―22)画出相应的等效电路如图3.7(b)所示。同理，若有n个电容Ck(k=1,2,…,n)相并联，可推导其等效电容为(3―23)

由式(3―22)可知将上式代入式(3―21),得两电容电流与端口电流的关系为(3―24)

图3.8(a)是电感L1与L2相串联的电路，流过两电感的电流是同一电流i。根据电感VAR的微分形式和KVL，有(3―25)

称为电感L1与L2串联时的等效电感。由式(3―26)画出相应的等效电路如图3.8(b)所示。同理，若有n个电感Lk(k=1,2,…,n)相串联，可推导其等效电感为(3―26)式中(3―27)由式(3―26)可知图3.8电感串联

将该关系代入式(3―25)，求将两电感上电压与端口电压间的关系为(3―28)即串联电感上电压的大小与其电感值成正比。

图3.9(a)是电感L1与L2相并联的电路，两电感上具有同一电压u。根据电感元件ＶＡＲ的积分形式和ＫＣＬ，有(3―29)(3―30)式中

称为电感L1和L2相并联的等效电感。由式(3―30)画出其等效电路如图3.9(b)所示。同理可得，若有n个电感Lk(k=1,2,…,n)相并联，其等效电感为或写成(3―31)(3―32)

由式(3―30)，得图3.9

将上述关系代入式(3―29),得两电感中的电流与端口电流的关系为(3―33)3.2电路变量初始值的计算3.2.1换路定律动态电路在一定条件下工作于相应的一种状态。如果条件改变，例如电源的接入或断开、开关的开启或闭合、元件参数的改变等，电路会由原来状态过渡到一种新的稳定状态(简称稳态)。这种状态变化过程称为过渡过程或暂态过程，简称暂态。引起过渡过程的电路结构或元件参数的突然变化，统称为换路。

设t=0时电路发生换路，并把换路前一瞬间记为0-，换路后一瞬间记为0+。根据电容、电感元件的伏安关系，t=0+时的电容电压uC和电感电流iL可分别表示为

如果在无穷小区间0-＜t＜0+内，电容电流iC和电感电压uL为有限值，那么上式中的积分项结果为零，从而有uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)

此结论称为换路定律。它表明换路瞬间，若电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，不会发生跃变。(3―35)3.2.2变量初始值的计算如果电路在t=0时发生换路，根据换路定律，在换路瞬间uC和iL不发生跃变，其初始值uC(0+)和iL(0+)分别由uC(0-)和iL(0-)确定。但是，换路时其余电流、电压，如iC、uL、iR、uR则可能发生跃变。这些变量的初始值可以通过计算0+等效电路求得。电路变量初始值的具体计算方法是：

(1)计算uC(0-)和iL(0-)，并由换路定律确定uC、iL的初始值为

uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)(2)画出0+等效电路用电压为uC(0+)的电压源代替电容元件，用电流为iL(0+)的电流源代替电感元件，独立电源取t=0+时的值，这样得到的直流电阻电路，称为0+等效电路。

(3)求解0+等效电路，确定其余电流、电压的初始值。

例2电路如图3.10(a)所示。已知t＜0时，电路已处稳态。在t=0时，开关S开启，求初始值i1(0+)、iC(0+)和u2(0+)。解(1)计算电容电压uC(0-)。由于开关开启前电路已处于稳态，uC不再变化，故

,电容可视为开路，其电路如图3.10(b)所示，由该图可得图3.10例2电路

根据换路定律有(2)画出0+等效电路。用电压等于uC(0+)=6V的电压源代替电容元件，画出0+等效电路如图3.10(C)所示。

(3)计算初始值。由0+等效电路，可得

容易验证，电流i1、iC和电压u2在换路瞬间都发生了跃变。

例3如图3.11(a)所示电路，t＜0时，开关S处在位置1,电路已达稳态。在t=0时，开关切换至位置2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。

图3.11例3电路

解(1)求uC(0-)和iL(0-)。由于t＜0时电路已处于稳态，故有iC=0,电容视为开路；uL=0,电感视为短路。t=0-时电路如图3.11(b)所示，由图可得(2)画出0+等效电路。根据换路定律有iL(0+)=iL(0-)=4AuC(0+)=uC(0-)=12V

用电压uC(0+)=12V的电压源代替电容元件，用电流iL(0+)=4A的电流源代替电感元件，并注意换路后开关S处于位置2，画出0+等效电路如图3.11(C)所示。(3)由图3.11(C)电路可知，所求电流和电压的初始值为3.3一阶电路的零输入响应3.3.1一阶RC电路的零输入响应图3.12(a)所示一阶RC电路，t＜0时已处于稳态，电容电压为uC(0-)=Us。t=0时，开关S由位置1切换至位置2，根据换路定律，电容元件的初始电压U0=uC(0+)=uC(0-)=Us,其初始储能为。换路后，电容储能通过电阻R放电，在电路中产生零输入响应。

随着放电过程的进行，电容初始储能逐渐被电阻消耗，电路零输入响应则从初始值开始逐渐衰减为零。按图3.12(a)中指定的电流、电压参考方向，写出换路后电路的KVL方程为将电容元件伏安关系

代入上式，得图3.12一阶RC电路的零输入响应

该式是一阶齐次微分方程，解的一般形式为

uC=Aept

(3―37)

式中A为待定系数，由方程的初始条件确定。p是齐次微分方程的特征根。对式(3―37),令t=0+，并考虑初始条件uC(0+)=U0，可得

A=uC(0+)=U0

由特征方程

RCp+1=0

求出特征根为于是，求得式(3―36)微分方程的解为(3―38)

电路中的放电电流和电阻R上的电压分别为(3―39)(3―40)

由上可知，在t＜0时电路已经处于稳态。换路后，随时间t的增加，RC电路中的电流、电压由初始值开始按指数规律衰减，电路工作在暂态过程之中。直至t→∞，暂态过程结束，电路达到新的稳态。时间常数τ的大小反映了电路暂态过程的进展速度。τ愈大，电路零输入响应衰减愈慢，暂态过程进展就愈慢。实际上，该电路的暂态过程就是RC电路的放电过程，在电容初始电压一定时，电容量C愈大，电容中存储电荷愈多，放电时间就愈长；电阻R愈大，则放电电流愈小，也会延长放电时间。因此，RC电路中的时间常数τ与R、C的乘积成正比关系。

对式(3―38)，分别令t=τ,3τ和5τ，并考虑到U0=uC(0+)，可求得

uC(τ)=uC(0+)e-1=0.368uC(0+)uC(3τ)=uC(0+)e-3=0.05uC(0+)uC(5τ)=uC(0+)e-5=0.007uC(0+)3.3.2一阶RL电路的零输入响应一阶RL电路如图3.13(a)所示。t＜0时，开关S处于位置1，电路已达稳态，电感中流过电流

。在t=0时，开关由位置1切换至位置2，通过电感元件的初始电流

,电感初始储能为。换路后，在电感初始储能的作用下，电路产生零输入响应。图3.13一阶RL电路的零输入响应

根据KVL，列出换路后的电路方程为即(3―41)

这是一个一阶齐次微分方程，应用式(3―36)方程相同的求解方法，得到电感电流iL为(3―42)

电感L和电阻R上电压分别为画出零输入响应iL、uL和uR的波形如图3.13(b)所示。

综上所述，一阶电路的零输入响应是由电路初始储能所产生，并且随着时间的增长，均从初始值开始按指数规律衰减变化。如果用yx(t)表示零输入响应，并记初始值为yx(0+),那么，一阶电路的零输入响应可统一表示为(3―43)

式中，τ为电路时间常数。具体地说，对于一阶RC电路，τ=R0C;对于一阶RL电路，τ=L/R0。其中R0是零输入电路中断开动态元件后所得二端网络的等效电阻。

例4图3.14(a)电路，已知Us=30V,Rs=R1=3Ω,R2=2Ω,R3=4Ω,C=4.5F。t＜0时电路已处于稳态，t=0时开关S开启。试求：(1)电路零输入响应uC、i1和i3;(2)验证整个放电过程中各电阻消耗的总能量等于电容的初始储能。图3.14例4电路

解(1)t＜0时电路已处于稳态，电容C可视为开路，故有由换路定律，得uC(0+)=uC(0-)=8V

画出0+等效电路如图(b)所示，由图可知由于换路后放电电路的等效电阻为故电路时间常数

根据式(3―43),其零输入响应为(2)电容元件初始储能3.4一阶电路的零状态响应3.4.1一阶RC电路的零状态响应图3.15(a)电路，t＜0时已处于稳态，电容电压

uC(0-)=0。t=0时，开关S由位置2切换至位置1，电压源开始对电容充电。图3.15一阶RC电路的零状态响应

列出换路后电路的KVL方程，可得或者写成(3―44)

这是非齐次微分方程，其解由齐次解和特解两部分组成，即

其中齐次解uCh是式(3―44)相应的齐次方程的通解，因式(3―44)的齐次微分方程与式(3―36)相同，由上一节可知式中A为待定常数，τ=RC为电路的时间常数。

特解uCp是满足非齐次微分方程的一个特殊解。在直流激励时，我们用t=∞时的响应值作为微分方程的特解。此时，电路已达稳态，电容视为开路，可将电路等效为直流电路，其响应是直流电流或电压，因此，特解是一常量。令uCp=K,代入式(3―44),得因此

式(3―44)的完全解为(3―45)代入初始条件uC(0+)=0,有

确定待定常数A=-Us,将它代入式(3―45)求得零状态电压响应(3―46)

零状态电流响应为(3―47)

画出uC和i的波形分别如图3.15(b)、(C)所示。它们均按指数规律变化，同样经过(3~5)τ时间后，可以认为暂态过程已基本结束。暂态过程进展的速度也取决于电路时间常数τ，它愈大，暂态过程进展愈慢。电路进入新的稳态后，电容视为开路，电流i(∞)=0,电压uC(∞)=Us。3.4.2一阶RL电路的零状态响应图3.16(a)电路，开关S置于2，已知电感电流

iL(0-)=0。t=0时，开关由位置2切换至位置1。换路后，在电压源激励下，电路产生零状态响应，实际上是RL电路的充电过程。图3.16一阶RL电路的零状态响应

由KVL得或者(3―48)应用式(3―44)相同的求解方法，求得(3―49)

式中，τ=L/R为RL电路的时间常数。电感和电阻元件上电压分别为(3―50)(3―51)3.5一阶电路的完全响应

计算电路完全响应与计算零状态响应一样，都可通过求解电路的微分方程解决。在两种情况下，电路微分方程相同，解的表达式也相同，只是电路初始储能或初始条件不同，方程解中待定常数A值不同而已。若用y(t)表示方程变量，则完全响应可表示为

(3―52)

在直流电源激励下，该式中微分方程特解yp(t)为常量，是t→∞，电路达到稳态时的响应值，称为稳态值，记为y(∞),齐次解yh(t)是含待定常数的指数函数。设完全响应初始值为y(0+),则由式(3―52)可得y(0+)=y(∞)+A,故有

A=y(0+)-y(∞)

将A代入式(3―52),得(3―53)

该式是一阶电路在直流电源作用下计算完全响应的一般公式。公式中的初始值y(0+)、稳态值y(∞)和时间常数τ称为三要素，故式(3―53)也称为三要素公式，应用三要素公式求电路响应的方法称为三要素法。

响应初始值y(0+)可以利用0+等效电路求出。当t=∞时，电路已达稳态，电容视为开路，电感视为短路，可将原一阶电路等效成直流电路，分析该电路求得响应的稳态值y(∞)。时间常数τ=R0C(一阶RC电路)，或者τ=L/R0(一阶RL电路)。这里R0是电路断开动态元件后，所得有源二端网络的戴维南或诺顿等效电路中的等效电阻。

例5图3.17(a)所示RC电路，当t=0时开关S闭合，已知电容电压的初始值uC(0+)=U0,求t≥0+时的电压uC(t)。图3.17RC电路的完全响应

解开关闭合后，电容电压uC由电流源Is和电容的初始状态共同作用产生，故为完全响应。由于初始值uC(0+)=U0,稳态值uC(∞)=RIs和时间常数τ=RC,代入三要素公式求得完全响应稳态响应暂态响应(3―54)

此式表明完全响应uC由两部分组成，其一是电路微分方程的齐次解，它随时间t的增加按指数规律衰减，当t→∞时趋近于零，称为暂态响应；其二是微分方程的特解，也是t→∞时稳定存在的响应分量，称为稳态响应。式(3―54)也可改写为零输入响应零状态响应(3―55)

式中第一项是独立源为零时，由初始状态产生的响应，故为零输入响应；第二项是初始状态为零时，由独立源激励产生的响应，故为零状态响应。说明完全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加，这样分解能清楚地看出激励与响应之间的因果关系。而分解成稳态响应和暂态响应则求解较方便，同时也体现了电路的不同工作状态。具体地，在换路后，电路将经历(3~5)τ时间的暂态过程，然后进入稳定工作状态。

uC的波形如图3.17(b)所示，图中假设U0＞RIs。

例6图3.18(a)电路，开关S在位置1时，电路已处于稳态。t=0时，开关由位置1切换至位置2。试求t≥0+时电压u(t)的零输入响应、零状态响应和完全响应。

图3.18例6电路

解先用三要素法计算零输入响应ux和零状态响应uf，然后将ux、uf叠加求出完全响