《计算机控制技术》课件第3章 连续控制系统的分析与设计

第3章连续控制系统的分析与设计3.1系统响应指标与输入信号3.2时域分析法3.3频率响应分析法3.4用频率法校正系统3.1系统响应指标与输入信号

控制系统的输出又称为时间响应，由第1章可知，输出响应按时间顺序可以划分为动态和稳态两个过程。动态过程是指系统的输出从输入信号r(t)作用的初始时刻起，到接近最终状态的随时间变化的响应过程；稳态过程是指时间t趋于无穷时系统的输出状态。本节将讨论动态和稳态两个过程的性能指标和典型输入信号等有关内容。3.1.1系统的性能指标性能指标是衡量系统性能的一组参数。对系统稳态响应和瞬态响应的要求，常由系统在一定的典型输入信号作用下的具体性能指标来表示。性能指标有许多形式，这里着重讨论时域的瞬态响应性能指标和稳态响应性能指标。在系统稳定工作的条件下，系统的瞬态性能通常用系统在初始条件为零的情况下对单位阶跃输入信号的响应特性(简称单位阶跃响应)来衡量，如图3―1所示。图3―1单位阶跃输出响应

这时，瞬态响应主要有以下几个性能指标。

(1)超调量δ%：响应曲线超过稳态值(或给定值)所达到的最大值，常以百分数表示，又称最大百分比超调量，即

(3―1)

式中,c(tp)为输出量的最大值；c(∞)为输出量的稳态值。一般情况下，要求δ%值在5％～35％之间。

(2)延迟时间td:响应曲线到达稳态值50％所需的时间。

(3)上升时间tr:被控制量第一次达到稳态值c(∞)所需的时间。对于无振荡的系统，常把响应曲线由稳态值的10％到90％所经历的时间叫做上升时间。

(4)峰值时间tp：被控制量达到最大值所需的时间。(5)过渡过程时间或调节时间ts：在单位阶跃响应曲线的稳态值c(∞)附近，取±5％(或取±2％)作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带所需的最小时间，称为调节时间或过渡过程时间。

(6)稳态误差ess

：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际值(即稳态值，记作c(∞))与期望值(即输入量1(t))之差，定义为稳态误差，即

ess

＝e(∞)＝1(t)－c(∞)

(3―2)

显然，当c(∞)＝1时，系统的稳态误差为零。(7)振荡次数N:在调节时间ts之内，被调量偏离稳态值的振荡次数。上述几项指标中，延迟时间td、上升时间tr和峰值时间tp均表征系统响应初始段的快慢；调节时间ts表示系统过渡过程持续的时间，从总体上反映了系统的快速性；而超调量δ％和振荡次数N反映了系统响应过程的平稳性；稳态误差ess则反映了系统复现输入信号最终的稳态精度。

当然，调节时间同时也受系统稳定性的影响。这些指标不一定全部都要采用，有时可根据使用条件和实际情况，只对其中几个重要的性能指标提出要求。下面我们以超调量δ％、调节时间ts和稳态误差ess

这三项指标，来评价系统单位阶跃响应的平稳性、快速性和稳态精度。3.1.2典型输入信号系统的动态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。输入信号不同，系统的响应也不同。一个控制系统的实际输入信号往往具有多种形式，并且也常常难于事先确定，这就给系统的分析和设计带来很多不便。为了便于分析和比较不同系统的性能，通常考虑某些典型输入信号对系统的影响。所以，对系统性能的分析和要求，也归结为系统在典型输入信号作用下应具有的响应形式。1.阶跃信号这是最常用的一种输入信号。阶跃信号的表达式为

当A＝1时，则称为单位阶跃信号，常用r(t)＝1(t)表示，如图3―2(a)所示。2.斜坡信号斜坡信号在t＝0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为当A＝1时，则称为单位斜坡信号，如图3―2(b)所示。图3―2典型输入信号形式3.抛物线信号抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号的积分而得。抛物线信号的表达式为当A＝1时，则称为单位抛物线信号，如图3―2(c)所示。4.脉冲信号单位脉冲信号的表达式为

该函数的拉氏变换为R(s)=1。其图形如图3―2(d)所示。这是一宽度为ε，高度为1/ε的矩形脉冲，当ε→0时，就得理想的单位脉冲信号，记为r(t)＝δ(t)。

分析系统特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。如果控制系统的输入量是随时间逐渐加强的函数，则用斜坡函数是比较合适的。同样，如果系统的输入信号是突然加入的作用量，则可采用阶跃函数信号；而当系统的输入信号是冲激输入量时，则采用脉冲函数较为合适。一旦控制系统在试验信号的基础上设计出来后，那么系统对实际输入信号的响应特性通常也能够满足要求。利用这些典型输入信号，人们就能够在同一基础上去比较不同系统的性能。

3.2时域分析法

我们已知,在时间域内，系统的稳定性、稳态误差和瞬态响应三方面的性能都可以通过求解系统运动的微分方程得到。微分方程的解，则由系统本身的结构和参数、初始条件以及输入信号的形式所决定。

求解系统的微分方程，可以得到系统动态响应的精确表达式和响应曲线，以直观地反映出系统的动态品质。为了求取满意的动态响应，可以改变系统的有关参数，重新进行计算，这就是研究系统的一种时域方法，也是其他各种分析方法的基础。本节首先讨论一阶、二阶系统的动态响应，然后讨论如何处理高阶系统的动态响应问题，同时还要研究系统的稳定性问题以及系统的稳态误差。3.2.1系统的阶跃响应分析一般认为，跟踪和复现阶跃输入对系统来说是较为严格的工作条件：输入的初始变化率为无穷大，进入稳态则又要求保持跟踪的不变性。因此，我们对系统动态特性的讨论主要是针对阶跃响应。另外，在工程上，许多高阶系统常常可以近似为一阶、二阶系统的时间响应，因此，深入研究一阶、二阶系统的性能指标有着广泛的实际意义。1.一阶系统的阶跃响应可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统，这是工程中最基本、最简单的系统。一些控制元部件及简单系统(如RC网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等)都是一阶系统。

1)一阶系统的数学模型一阶系统的结构图，如图3―3所示。其闭环传递函数(3―3)图3―3一阶控制系统

式中,T＝1/K。T为时间常数，是表征系统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节。对于不同的系统，时间常数T具有不同的物理意义，但是一般说来，它总是具有时间“秒”的量纲。2)一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃输入的拉氏变换R(s)＝1/s，则式(3―3)可写成取C(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应则

(3―4)或写成图3―4一阶系统的单位阶跃响应

时间常数T与输出值有确定的对应关系，当时间为T的整倍数时，相应的输出值均标注在图3―4中。

可以用实验方法，根据这些值鉴别和确定被测系统是否为一阶系统，或求出时间常数T。由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，因此其性能指标主要是调节时间ts，它表征系统过渡过程进行的快慢。参照ts的定义和图3―4，

可取

ts

＝3T(单位为s)(对应5％误差带)

或

ts

＝4T(单位为s)(对应2％误差带)

显然，系统的时间常数T越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性也越好。由式(3―2)及式(3―4)可求出，图3―3所示系统的单位阶跃响应是没有稳态误差的。即

ess

＝1－c(∞)＝1－1＝0【例3―1】

一阶系统的结构如图3―5所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts，如果要求ts≤0.1s，

试问系统的反馈系数应取何值？解首先由系统结构图写出闭环传递函数:

由闭环传递函数得到时间常数T＝0.1s，因此调节时间

ts＝3T＝0.3s(取5%误差带)图3―5非单位反馈一阶系统

闭环传递函数分子上的数值10称为闭环放大系数，相当于闭环串接一个K＝10的放大器。而且，单位阶跃响应为故调节时间ts与K＝10无关，只取决于时间常数T。

下面来求满足ts≤0.1s的反馈系数值。假设反馈系数为Kf＞0，那么同样可由结构图写出闭环传递函数:

其中T=1/100Kf(单位为s)，且K=1/Kf，根据题意要求ts≤0.1s，(取5%误差带)所以Kf≥0.3。2.二阶系统的阶跃响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛，例如，RLC网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧―质量―阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，在一定条件下，许多高阶系统往往可以简化成二阶系统来处理。因此，把二阶系统的响应特性视为一种基准，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。

1)二阶系统的数学模型以图1―5、图2―13所示随动系统为例进行研究。这里把图2―13(a)进一步转化成图3―6(b)。系统闭环传递函数为

(3―5)图3―6一般形式的二阶系统结构图

为了使研究的结论具有普遍性，将式(3―5)写成典型形式：或标准形式

(3―6)(3―7)

实际上，任何一个二阶系统传递函数都可化为式(3―7)的形式。由式(3―7)描述的系统的闭环特征方程为

s2+2ζωns+ω2n=0

此方程有两个特征根(系统闭环极点)，为

显然，阻尼比ζ不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。二阶系统的闭环极点在s平面上的分布及其单位阶跃响应如图3―7所示。图3―7二阶系统的闭环极点分布及其单位阶跃响应2)二阶系统的单位阶跃响应图3―7给出了二阶系统的闭环极点分布及其单位阶跃响应，下面分别对二阶系统在0＜ζ＜1，

ζ＝1和ζ＞1三种情况下的阶跃响应进行讨论。

(1)0＜ζ＜1时，称为欠阻尼情况。系统的特征根为一对共轭复数，即式中，称为有阻尼振荡频率，为闭环极点的虚部。按式(3―7)，系统传递函数可写为(3―8)

在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r(t)＝1(t)时，系统的输出为式中，

(3―10)

由式(3―10)可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个衰减的振荡过程，其幅值按指数曲线(响应曲线的包络线)衰减；其振荡频率就是有阻尼振荡频率ωd，而两者均由参数ζ和ωn决定，如图3―7(a)所示。若ζ＝0，则称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭纯虚根，即s1,2

＝±jωn，此时单位阶跃响应为

c(t)＝1-cosωnt

系统等幅振荡，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率ωn，如图3―7(d)所示，此时可认为δ％＝100％，

ts＝∞；当系统有一定阻尼时，ωd总是小于ωn。

(2)ζ＝1时，称为临界阻尼情况。此时系统有两个相等的负的实数特征根，即

s1＝s2＝-ωn

输入信号为单位阶跃信号r(t)＝1(t)时，系统输出为

系统时间响应处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态，既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程，如图3―7(b)所示。(3)ζ＞1时，称为过阻尼情况。当阻尼比ζ＞1时，系统有两个不相等的负实数根，即为了便于书写，令和，在单位阶跃输入作用下，输出为

系统的响应稳态分量值等于1，瞬态分量是由两个衰减的指数项组成的。当ζ较大时，一个特征根靠近虚轴，另一个特征根远离虚轴。远离虚轴的特征根对响应的影响很小，可以忽略不计，这时二阶系统可近似为一个一阶惯性环节。

图3―7(c)表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然，响应曲线无超调，具有单调特征，而且过程拖得比ζ＝1时长。

3)二阶系统的响应性能指标通常,工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。而过阻尼和临界阻尼系统的响应过程，虽然平稳性好，但响应过程太缓慢。所以，根据欠阻尼响应来评价二阶系统的响应特性，具有较大的实际意义。

对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，参照对图3―1的指标定义，免去推导过程，其性能指标介绍如下：

(1)上升时间tr:(3―11)

显然，当阻尼比ζ不变时，如果无阻尼振荡频率ωn增大，那么上升时间tr就会缩短，从而加快系统响应速度；当ωn不变时，阻尼比ζ越小，上升时间就越短。(2)峰值时间tp:(3―12)

式(3―12)表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率ωd成反比，等于阻尼振荡周期的一半。

(3)最大超调量δ%:

(3―13)

由式(3―13)可见，超调量完全由阻尼比ζ决定，与ωn无关。ζ越大，超调量越小；ζ越小，超调量越大。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。δ％与ζ的关系曲线见图3―8。(4)调节时间ts:(3―14)

由此可见，调节时间与闭环极点的实部数值(ζωn)成反比，实部数值越大，即极点离坐标原点越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。

(5)稳态精度:对于输出响应为式(3―10)的系统，误差为(3―15)

由式(3―15)可看出，系统的误差也是衰减的振荡过程，当t→∞时，稳态误差ess＝0。图3―8δ%与ζ的关系曲线【例3―2】

在图3―9所示的随动系统中，当给定系统输入为单位阶跃函数时，试计算当放大器增益KA＝200时，输出响应的性能指标tp、ts和δ％。如果将放大器增益增大到KA＝1500或减小到KA＝13.5，那么对响应的动态性能又有什么影响？解将图3―9与二阶系统典型结构图(图3―6(b))

进行比较，可得将KA＝200代入上面两式得图3―9随动系统结构图ω2n＝1000，ωn＝31.6rad/s，ζ＝0.545则系统闭环传递函数为

然后，对照标准形式求得ζ、ωn，再把ζ、ωn代入相应的指标公式(3―12)、(3―13)和(3―14)，求得

当KA＝1500时，同样可计算出

ωn＝86.2rad/s，ζ＝0.2

则有

tp＝0.037s，ts＝0.2s，δ％＝52.7%

可见，KA增大，使ζ减小而ωn增大，因而使δ％增大，tp减小，而调节时间ts则没有多大变化。图3―10随动系统在不同KA下的阶跃响应

当KA减小到KA＝13.5时，同样可计算得到ωn＝8.22rad/s，ζ＝2.1。系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不再存在。由响应曲线图3―10可见，上升时间tr比上面两种情况大得多，虽然响应无超调，但过渡过程过于缓慢，也就是系统跟踪输入很慢，这也是不希望的。3.高阶系统的阶跃响应在工程应用中，实际系统往往是一个高阶系统。高阶系统的闭环传递函数一般可以写成如下形式:(3―16)

式中,m≤n，-zi(i＝1，2，…，m)为系统的闭环传递函数的零点，-pi(i＝1，2，…，n)是闭环传递函数的极点。在实际系统控制中，闭环极点通常各不相同。在单位阶跃函数作用下，输出可写为

(3―17)

式中,K*=bm/an，q+2l＝n。将式(3―17)展开为部分分式，得

(3―18)求拉氏反变换，得到它的单位阶跃响应为

t≥0

(3―19)

由式(3―19)可见，高阶系统的单位阶跃响应是由稳态分量A0、一阶惯性和二阶振荡环节的瞬态响应分量叠加构成的。各分量的相对大小由系数Ai、Bi和Ci决定，所以求出了各个分量的值，就可得到高阶系统总的输出响应。分析上述表达式，可得以下结论：

(1)当闭环极点为实数时，对应单调响应分量；当闭环极点为共轭复数时，对应振荡响应分量。(2)如果所有闭环极点都具有负实部，即所有闭环极点都在s左半平面，这时系统是稳定的，其稳态输出为A0＝b0/a0。闭环极点离虚轴越远，则相应的分量衰减越快。

(3)式(3―18)中Ai的值(为各极点之留数)不仅和s平面中极点位置有关，还与零点位置有关。若某极点-pi远离原点或远离其他极点和原点，则相应的系数Ai越小，该瞬态分量对系统的影响就小。

若某极点-pi远离零点、越接近其他极点和原点，则相应的系数Ai越大，该瞬态分量影响也就越大。若一对零点、极点相距很近(称为耦极子)，则在输出c(t)中与该极点对应的分量就几乎被消除。

(4)系统的零点、极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。根据上文所述，对于系数很小(影响很小)的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统来近似估计。(5)若系统中距虚轴最近的极点的负实部比其他极点的负实部大很多(5倍以上)，并且附近又没有零点，则这一极点(或共轭复数极点)被称为主导极点。系统的响应特性主要由主导极点所决定，这一分量衰减最慢。一般情况下，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是共轭复数极点。找到了一对共轭复数主导极点，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，相应的性能指标都可以按二阶系统近似估计。3.2.2控制系统的稳定性稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动，环境条件的改变，系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。1.稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3―11所示的方法加以简单说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。

图3―11圆锥体的稳定性

根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为:系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的；否则系统就是不稳定的。在前面讨论高阶系统的阶跃响应时已知，线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在s平面内的位置予以确定。

我们不做推导，直接给出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数，或具有负的实数部分。由于系统特征方程式的根在s平面上是一个点，所以上述结论又可以这样说：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均位于s左半平面。又由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以系统稳定的充分必要条件就是所有极点均位于s平面的左半部分。

对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程的结构(即方程的阶数)和系数决定的，因此系统的稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。以上提出的判断系统稳定性的条件是系统特征方程根，但是，要解四次或更高次的特征方程式的根是相当麻烦的，往往需要求助于数字计算机。所以，就有人提出了在不解特征方程式的情况下，求解特征方程根在s平面上分布的方法。下面就介绍常用的劳斯判据方法，并且略去证明过程。2.劳斯判据

1)系统稳定性的初步判别已知系统的闭环特征方程为

D(s)=ansn+an-1sn-1

+…+a1s+a0=0

式中所有系数均为实数，且an＞0，则系统稳定的必要条件是上述系统特征方程的所有系数均为正数。

根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或等于零(缺项)，则系统就是不稳定的。但是，假如特征方程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件，而不是充分必要条件。2)劳斯判据这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。

(1)闭环系统特征方程为

ansn+an-1sn-1

+…+a1s+a0=0

设各项系数均为正数。(2)按特征方程的系数列写劳斯阵列表:

其中

各行系数一直计算到其余项为0，按此规律一直计算到s0行为止。在上述计算过程中，为了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不会影响稳定性结论。

(3)考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于s平面的左半平面；假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于s右半平面上根的个数。【例3―3】已知系统特征方程为

s4＋6s3＋12s

2＋11s＋6＝0

试用劳斯判据判别系统的稳定性。解从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下：

第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，特征方程可因式分解为

(s＋2)(s＋3)(s2＋s＋1)＝0

其根为-2，-3，，均具有负实部，所以系统稳定。【例3―4】已知系统特征方程为

s5＋3s4＋2s3＋s2＋5s＋6＝0

试判别系统的稳定性。解列写劳斯阵列表如下：(各系数均已乘3)(各系数均已乘5/2)(各系数均已乘11)

劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第一列系数的符号改变了两次(5→-11→174)，所以，系统特征方程有两个根的实部为正。

(4)两种特殊情况。在劳斯阵列表的计算过程中，可能会出现下列情况。

a.劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零(或没有其余项)，这时可用一个很小的正数ε来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去(否则下一行将出现∞)。

如果ε的上下两个系数均为正数，则说明系统特征方程有一对虚根，系统处于临界状态；如果ε的上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程，则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。【例3―5】设系统特征方程如下，试分析根的分布情况。

s3＋2s2＋s＋2＝0

解劳斯阵列表为

s3

1

1s2

2

2s1ε

s0

2

由于ε的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚根存在。事实上，上述特征方程可因式分解为(s2＋1)(s＋2)＝0

b.若劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。在这种情况下可做如下处理：①利用第(k-1)行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的；②求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；③继续计算劳斯阵列表；④关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。【例3―6】

设系统特征方程为s5＋2s4＋3s3＋6s2-4s-8＝0,试分析根的分布情况。

解劳斯阵列表如下:s5

1

3

-4s4

2

6

-8→辅助多项式

2s4+6s2-8s3

0

0

0

↓求导数

8

12

0←构成新行

8s3+12s

s2

3

-8s1

100/3s0

-8

劳斯阵列表第一列变号一次，故有一个根在右半平面。由辅助多项式

2s4＋6s2－8＝0

可得s1,2

＝±1，s3,4

＝±j2，它们均关于原点对称，其中一个根在s平面的右半平面。应用劳斯判据不仅可以判别系统的稳定性，也可用来分析系统参数对稳定性的影响。【例3―7】

设一单位反馈控制系统如图3―12

所示，如果要求系统稳定，试确定K的取值范围。解其闭环传递函数为系统的特征方程为

s3＋6s2＋5s＋K＝0图3―12求K的稳定范围

列写劳斯阵列表

若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即

所以0＜K＜30，其稳定的临界值为Kc＝30。由此可以看出，为了保证系统稳定，系统的K值有一定限制。但是在后面章节的讨论中，为了降低稳态误差，则要求增大K值，两者是矛盾的。为了满足两方面的要求，就必须采取校正的方法来处理。3.2.3反馈控制系统的稳态误差稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实际输出值与希望输出值之间的最终偏差。实际上，系统固有的结构和特性，决定了系统在不同的输入信号作用下会有不同的稳态误差。同时，系统静态特性的不稳定和参数变化等因素也会导致系统产生一定的稳态误差。1.稳态误差的概念如图3―13所示，对于单位反馈系统或随动系统，稳态误差定义为

它表示稳态时系统实际输出值与希望输出值之间的偏差。图3―13单位反馈系统图3―14非单位反馈系统

有很多系统是非单位反馈系统，如图3―14所示，这时，稳态误差可以定义为(3―20)

实际上，单位反馈系统可以看成是非单位反馈系统的一种特例，此时的H(s)＝1。所以按照非单位反馈系统定义系统的误差e(t)更具有一般性，即

e(t)＝r(t)-b(t)或E(s)＝R(s)-B(s)

由式(2―14)得出误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数为(3―21)

根据终值定理，稳定系统的稳态误差为

(3―22)

由式(3―22)可知，稳态误差与输入信号和系统的结构、参数有关。系统在某种典型信号作用下能正常工作，稳态误差ess

维持在一定范围，但在另一种典型信号作用下稳态误差ess

很大，甚至随着时间越来越大，则系统就不能正常工作。所以在规定稳态误差要求时，要指明输入信号类型。当输入信号的形式确定后，系统的稳态误差将只取决于系统的结构和参数。2.稳态误差的计算若控制系统的开环传递函数为

则说明系统有γ个积分环节串联。因为系统的类型常按其开环传递函数中串联积分环节的个数分类，所以称此系统为γ型系统，当γ＝0，1，2，…时，则分别称之为0型，1型，2型，…(即γ型系统)。实际系统中经常取γ≤2。G(s)的其他零点、极点对分类没有影响。1)单位阶跃输入时的稳态误差设系统输入为单位阶跃信号，R(s)＝1/s，按式(3―22)，系统的稳态误差为令

Kp=G(s)H(s)=G(0)H(0)

Kp定义为位置误差系数，它实际上等于系统的开环放大系数。因此

对于0型系统，则

Kp＝K(γ＝0)

对于1型或1型以上的系统，则

Kp＝∞(γ≥1)ess

＝0

由上述分析可知，由于0型系统中没有积分环节，对阶跃输入的稳态误差为一定值，其值基本上与系统开环放大系数K成反比，K越大，ess

越小，但总有误差，除非K为无穷大。所以这种没有积分环节的0型系统，又常称为有差系统。若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则系统必须是1型或1型以上的，即前向通道中必须具有积分环节。2)单位斜坡输入时的稳态误差当参考输入为单位斜坡信号时，R(s)＝1/s2，由式(3―22)求出系统的稳态误差为

令

,Kv定义为速度误差系数，所以

对于0型系统

Kv＝0(γ＝0)ess

＝∞

对于1型系统

Kv＝K(γ＝1)

对于2型或2型以上的系统，则

Kv＝∞(γ≥2)ess

＝0

以上分析表明，0型系统对于等速度输入(斜坡输入)不能紧跟，最后稳态误差为∞。1型系统的输出能跟踪等速度输入，但总有一定误差，为使稳态误差不超过系统的规定值，K值必须足够大。对于2型或2型以上的系统，稳态误差为零，这种系统有时称为二阶无差系统。3)单位抛物线信号(等加速度信号)输入时的稳态误差当参考输入为单位抛物线信号时，R(s)＝1/s3，系统的稳态误差为对于0型或1型系统

Ka＝0(γ＝0,1)ess

＝∞

对于2型系统

Ka＝K(γ＝2)

对于3型或3型以上的系统，则

Ka＝∞(γ≥3)ess

＝0

所以当输入为单位抛物线信号时，0型或1型系统都不能满足要求，2型系统能工作，但要有足够大的Ka或K。只有3型或3型以上的系统，系统输出才能紧跟输入，且稳态误差为零。但是必须指出，当前向通道积分环节数增多时，会降低系统的稳定性。当输入信号是上述典型信号的组合时，为使系统满足稳态响应的要求，γ值应按最复杂的输入信号来选定(例如输入信号包含有阶跃和等速度信号时，γ值必须大于或等于1)。

综上所述，表3―1概括了不同类型系统在不同的输入信号作用下的稳态误差。

表3―1系统的稳态误差ess

计算公式【例3―8】已知两个系统如图3―15所示，当参考输入r(t)＝4＋6t＋3t2时，试分别求出两个系统的稳态误差。图3―15例3―8的系统

解系统(a)为1型系统，其Ka＝0，不能紧跟r(t)中的3t2分量，所以

ess＝∞

系统(b)为2型系统，其Ka＝K＝10/4，所以

该例说明，当输入为阶跃、斜坡和抛物线信号的组合时，抛物线信号分量要求系统型号最高。系统(b)的型号为2，能跟随输入信号中的抛物线信号分量，但仍有稳态误差。而系统(a)，由于型号较低，故不能跟随抛物线信号分量，稳态误差为∞。3.扰动输入引起的稳态误差一般情况下，系统除受到输入信号的作用外，还可能承受各种扰动信号的作用，如系统负载的变化，电压的波动，以及工况引起的参数变化等等。在这些扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差，称为扰动稳态误差。通常认为系统的负载变化往往是系统的主要扰动，假设主扰动N(s)的作用点如图3-16

所示，现在分析它对输出或稳态误差的影响。图3-16

由式(2―15)求得系统输出为

式中，G2(s)=1,Φn(s)为输出与扰动之间的传递函数。误差与输出和扰动之间的关系为稳态时

若扰动为单位阶跃信号，n(t)＝1(t)，且

G(0)H(0)>>>1，则

由此可见，在扰动作用点以前的系统前向通道G(s)中的放大系数越大，则由扰动引起的稳态误差就越小。对于无差系统，即型号为1型或1型以上的系统，G(0)＝∞，扰动不影响稳态响应。所以，为了降低主扰动引起的稳态误差，常采用增大扰动点以前的前向通道放大系数或在扰动点以前引入积分环节的办法，但是，这样同样会给系统稳定工作带来困难。4.关于降低稳态误差的问题为了使稳态误差满足要求，以上分析已提出了可以采取的措施，并指出了降低误差与系统稳定性之间的矛盾。概括起来，降低稳态误差的措施有以下几种。

(1)增大系统开环放大系数可以增强系统对参考输入的跟随能力；增大扰动作用点以前的前向通道放大系数可以降低扰动引起的稳态误差。

(2)增加前向通道中积分环节数，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。

但是，增加前向通道中积分环节数，或增大开环放大系数，都使闭环传递函数的极点发生变化，从而降低系统的稳定性，甚至造成系统不稳定，所以为了保证系统的稳定性，必须同时对系统进行校正。当然，保证元件有一定的精度和稳定的性能，尤其是反馈通道元件，也有利于降低系统的误差。

(3)采用复合控制的原理，对误差信号进行补偿，是提高稳态精度很有效的方法。有时也称为前馈控制。①按扰动信号复合控制。图3―17表示了一个按扰动信号复合的控制系统。图3―17按扰动信号复合的控制系统

图中G(s)为被控对象的传递函数，Gc(s)为控制器传递函数，Gn(s)为干扰信号N(s)影响系统输出的干扰通道的传递函数，GN(s)为顺馈控制器的传递函数。如果扰动量是可测的，并且Gn(s)是已知的话，则可通过适当选择GN(s)，消除扰动所引起的误差。按系统结构图可求出C(s)与N(s)的关系为

若取GN(s)使

Gn(s)＋G(s)GN(s)＝0

即

则可消除扰动对系统的影响，其中包括对稳态响应的影响，从而提高系统的精度。②按参考输入信号复合控制。为了提高系统对参考输入的跟踪能力，也可按参考输入顺馈来消除或降低误差。其原理与按扰动顺馈相同，如图3―18所示，只是GN(s)的输入不是N(s)而是R(s)。此时确定传递函数GN(s)的方法是，使系统在参考输入作用下的误差为零。按系统结构图，可求出E(s)与R(s)的关系为图3―18按参考输入顺馈的复合控制系统则可以消除由参考输入所引起的误差。令1-GN(s)G(s)H(s)＝0，即3.3频率响应分析法

在经典控制理论中，人们研究并运用了很多间接方法来进行系统的分析和综合，更广泛的是采用频率法或根轨迹法来分析研究系统。这两种方法的共同点都是不需要像时域法那样，通过求解高阶微分方程式去直接研究系统参数对动态响应的影响，而是通过开环或闭环传递函数间接地分析系统参数对响应的影响。

利用频率响应分析可以方便地选择系统的结构和参数，以满足所要求的性能指标。当采用正弦信号发生器和精密测量装置时，可通过试验，简便而精确地求得环节或系统的传递函数，而避开数学推导。从这个意义上讲，频域分析法更具有工程实用价值。3.3.1频率响应的基本概念

1.频率特性定义系统对正弦函数输入的稳态响应称为频率响应。我们下面仍然以例2―1(例2―3)中简单的RC网络为例，说明频率特性的概念。图2―1所示的RC网络电路，若给网络输入正弦电压，即R为输入电压的振幅，则由传递函数得到电容两端的输出电压为

式中的第一项为瞬态分量，第二项为稳态分量，当时间趋于无穷时，第一项趋于零，所以网络的稳态输出仍然是与输入电压同频率的正弦电压，即

uc(t)=Csin(ωt+φ)

输出的相角滞后为

φ(ω)＝-arctanωT

显然，C(ω)和φ(ω)都是频率ω的函数，用函数可表示如下：

式中，输出电压的幅值

上式能完整地描述RC网络在正弦函数作用下，稳态输出电压的幅值和相角随输入电压频率ω变化的情况，因此，将G(jω)称做网络的频率特性。这个结论具有普遍的意义。事实上，对于任何线性定常系统，当输入信号为典型正弦函数时，由实验可以证明，系统输出的稳态响应分量也是一个与输入同频率的正弦函数，但其幅值和相位与输入正弦函数的幅值和相位不同。系统频率特性的一般形式为在式(3―23)中(3―23)(3―24)(3―25)

式(3―24)表示了输出振幅与输入振幅之比，称为幅频特性，它描述了系统(或部件)对不同频率的正弦输入信号在稳态情况下的振幅放大(或衰减)特性。而式(3―25)表示了输出对输入的相角差，称为相频特性，它描述了系统对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角滞后或超前的特性。幅频特性及相频特性统称为频率特性。所以，系统稳态输出的幅值为

C(ω)＝R|G(jω)|＝R·A(ω)

我们已知，线性定常系统的传递函数定义为在零初始条件下系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，而稳定系统的频率特性可以定义为系统输出的傅氏变换与输入的傅氏变换之比，即将s=jω代入传递函数就可以得到系统的频率特性表达式。比较RC网络的传递函数和频率特性也可以说明这一点。系统的频率特性与传递函数、微分方程一样，都能表征系统的运动规律，它是频域中描述系统运动规律的数学模型。这三种数学模型之间存在图3―19所示关系。图3―19微分方程、传递函数、频率特性三种数学模型之间的关系2.对数频率特性对数幅频特性定义为

L(ω)=20lgA(ω)=20lg|G(jω)|(3―26)

频率特性幅值的对数值常用分贝(dB)表示。对数频率特性就是将对数幅频特性表达式(3―26)和相频特性表达式(3―25)两条曲线表示在对数坐标中，称为对数频率特性曲线，又称对数坐标图或波德(Bode)图。在实际应用中，经常采用这种曲线来表示系统的频率特性。

在对数坐标图中，曲线的横坐标是角频率ω，单位是弧度/秒(rad/s)，采用对数比例尺(按对数分度)。纵坐标表示对数频率特性的函数值：L(ω)的单位是分贝(dB)，φ(ω)的单位是度(°)，都采用普通比例尺(按线性分度)，因此又称为半对数坐标。对数幅频特性的坐标如图3―20所示。图3―20对数分度和线性分度

与线性分度比较，对数坐标的ω每变化10倍，横坐标就增加一个单位长度。这个单位长度代表10倍频的距离，故称之为“十倍频”或“十倍频程”(用dec表示)。图中纵坐标L(ω)称为增益的分贝值，A(ω)每变化十倍，L(ω)变化20dB。至于相频特性φ(ω)，其横坐标与幅频特性的横坐标相同，其纵坐标表示相角位移。使用对数频率特性表示法的第一个优点是在研究频率范围很宽的频率特性时，缩小了比例尺，在一张图上，既画出了频率特性的中、高频率段，又能清楚地画出其低频段。在分析和设计系统时，低频段特性也是很重要的。

对数频率特性表示法的第二个优点是可以大大简化绘制系统频率特性的工作。因为系统往往是由许多环节串联构成的，设Gi(jω)=Ai(ω)ejφ(ω)(i=1,2,…,n)，则串联后的开环系统频率特性为

G(jω)=G1(jω)G2(jω)…Gn(jω)=A(ω)ejφ(ω)

式中，A(ω)=A1(ω)A2(ω)…An(ω),且

φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+…+φn(ω)(3―27)

绘制对数幅频特性时，由于

L(ω)=lgA(ω)=lgA1(ω)+lgA2(ω)+…+lgAn(ω)(3―28)

将乘除运算变成了加减运算，这样，如果绘出各环节的对数幅频特性，然后进行加减，就能得到串联各环节所组成的系统的对数幅频特性。这给分析和设计控制系统带来很多方便。我们首先介绍7种典型环节的对数频率特性曲线，再讨论由这些典型环节构成的开环系统的对数频率特性曲线的画法及其特点。3.3.2典型环节的频率特性

1.比例环节比例环节的对数幅频特性为

L(ω)＝20lgK

对数幅频特性曲线是一条与0dB线平行且高度为20lgK的直线。K＞1时，直线在0dB线之上；K＜1时，直线在0dB线之下。对数相频特性为0°，波德图如图3―21所示。图3―21比例环节的对数频率特性曲线2.积分环节积分环节1/s的对数幅频特性为(3―29)

这是一条在ω＝1处穿过横轴的直线，直线的斜率可由下式求出：

上式表明，频率每变化10倍，则对数幅值下降20dB，称直线的斜率为-20dB/dec。在对数幅频特性图中，虽然ω为对数分度，但是对于x＝lgω却是线性均匀分度，所以当L(ω)与lgω成线性关系时，lgω的系数就表述了该直线的斜率，例如式(3―29)表示直线的斜率为-20dB/dec。相频特性是-90°且平行于横轴的直线，如图3―22所示。图3―22积分环节的对数频率特性曲线3.惯性环节惯性环节的对数幅频特性为(3―30)在ω<<1/T的低频段(即ΩT<<1，幅频特性可近似为(3―31)

故在低频段，幅频特性是与横轴0dB重合的直线。在ω1/T的频段内，对数幅频特性可近似为(3―32)

这是一条在ω＝1/T处穿越横轴，斜率为-20dB/dec的直线。

在实际应用中，经常把频率ωｎ＝1/T称为幅频特性曲线的转折频率，在低、高频段分别由式(3―31)和(3―32)这两条直线——幅频特性的渐近线来代替式(3―30)描述的精确曲线。由这两条线段构成惯性环节的近似对数幅频特性曲线，显然，在频率为ωｎ＝1/T时，曲线的误差最大，误差为

在ω＝0.1/T～10/T频段内的误差见表3―2。表3―2惯性环节渐近幅频特性误差表

由表3―2可看出，在频率ω＝0.1/T和ω＝10/T处，幅值的精确值与近似值误差仅为-0.04dB，在频段［0.1/T，10/T］之外的误差更小。所以，用一阶惯性环节的渐近线代替精确曲线误差很小；若要获得较精确的幅频特性曲线，只需在频段［0.1/T，10/T］内对渐进特性进行修正即可。

惯性环节的相频特性可根据φ(ω)＝-arctanωT

绘制。ω→0时，φ(ω)→0°，ω→∞时，φ(ω)→-90°；而在转折频率ωｎ＝1/T处，φ(ω)＝-45°，且在该点斜对称。惯性环节的波德图如图3―23所示。惯性环节相频特性数据见表3―3。图3―23惯性环节的对数频率特性曲线表3―3惯性环节相频特性表4.振荡环节由振荡环节的频率特性(3―33)得到振荡环节的对数幅频特性为

由对数频率特性表达式(3―33)可看出，在ω<<1/T的低频段(即ΩT<<1)，幅频特性可近似为(3―34)

故在低频段，幅频特性是与横轴0dB重合的直线。在ω>>1/T的频段内，对数幅频特性可近似为(3―35)

这是一条在1/T处穿越横轴，斜率为-40dB/dec的直线。与一阶惯性系统分析类似，还是以频率ωｎ＝1/T为幅频特性曲线的转折频率，在低、高频段分别由式(3―34)和(3―35)这两条直线——幅频特性的渐近线来代替式(3―33)描述的精确曲线。由这两条线段构成惯性环节的近似对数幅频特性曲线，如图3―24所示。但是，用振荡环节的渐近线代替精确曲线时，其误差随ζ值不同有较大的差别。图3―24振荡环节的对数频率特性曲线

若分别用L(ω)、La(ω)和ΔL(ω)表示振荡环节对数幅频特性的精确值、近似值及它们之间的误差值，则有

ΔL(ω)＝L(ω)－La(ω)

即(3―36)

由式(3―36)知，振荡环节的渐近幅频特性曲线与精确曲线间的误差是频率ω和阻尼比ζ的函数。由ΔL(ω)的表达式可绘制误差曲线，如图3―25所示。从图中可知，误差主要发生在转折频率ωｎ＝1/T处及其左右各一个十倍频程内。ζ越小，误差值就越大。当ζ＝1(有两个相等的负实数特征根)时，最大误差位于ωｎ＝1/T处，为-6dB，而在ζ＝0.4～0.8范围内，最大误差为±3dB左右，此时用渐近线代替精确曲线误差仍然不是很大。图3―25振荡环节的幅频特性的误差曲线

由振荡环节的相频特性

φ(jω)=-arctan(2ζωT/(1-ω2T2))

可将二阶振荡环节的对数相频特性曲线绘制在图3―24中。由于相频特性也是频率ω和阻尼比ζ的函数，所以φ(ω)曲线形状随着ζ取值的不同而异，但是都有当ω→0时，φ(ω)→0°，ω→∞时，φ(ω)→-180°，而且在转折频率ωｎ＝1/T处都通过-90°，并且曲线在该点关于-90°线斜对称。

综合以上讨论可知，在对数坐标中绘制的典型环节频率特性有如下特点：

(1)比例环节和纯积分的幅频、相频的精确曲线都是直线段。

(2)一阶惯性和二阶振荡环节的对数幅频特性曲线可以ωｎ＝1/T为转折频率，用分段渐近线近似精确曲线：分段渐近线在低频段都与0dB线重合；在转折频率ωｎ之后的高频段，渐近线亦为直线段，其斜率与阶次有关，一阶惯性为-1×20dB/dec，二阶振荡为-2×20dB/dec＝-40dB/dec，因此，斜率又可以分别写为-1和-2。(3)分段渐近线的精确程度与ζ值有关，最大误差一般发生在转折频率ωｎ附近，而在(0.1～10)ωｎ范围之外，误差可以忽略。

(4)相频特性曲线虽非直线段，但都是在ωｎ＝1/T处关于-45°或-90°线斜对称。

(5)当转折频率ωｎ＝1/T改变时，相频特性曲线和幅频特性曲线相应地左移或右移，但其形状不变。

(6)如果两个系统(或环节)的频率特性互为倒数，则其对数频率特性互为负数，L(ω)和φ(ω)将分别以横轴0dB线和0°线互为镜对称。

第(6)点很容易证明。若设

因此，与积分、一阶惯性、二阶振荡环节分别具有互为倒数关系的纯微分、一阶微分和二阶微分环节的讨论方法，与前面完全类似。下面只给出一阶微分和二阶微分环节对数频率特性表达式和曲线图形(分别如图3―26、3―37所示)，推导过程可由读者自行完成。图3―26一阶微分的对数频率特性曲线图3―27二阶微分的对数频率特性曲线3.3.3开环系统的频率特性掌握了典型环节的对数频率特性曲线的画法，可以很方便地绘制开环系统的对数频率特性曲线(波德图)。设开环系统由n个典型环节串联组成，这些环节的传递函数分别为G1(s)，G2(s)，…，Gn(s)，则系统的开环传递函数为

G(s)＝G1(s)·G2(s)·…·Gn(s)

由式(3―27)和(3―28)可知，由n个典型环节串联组成的开环系统，其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线可由各典型环节相应的曲线叠加得到。【例3―9】已知控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统波德图。

解开环系统由比例、积分、惯性、一阶微分和二阶振荡5个环节组成，有3个转折频率，分别是ω1＝1/2＝0.5，ω２＝1/0.5＝2，ω３＝1/0.125＝８，且ζ=0.2。开环系统的对数幅频特性和对数相频特性分别为

利用典型环节的直线或分段直线特性，可以在不同的频率范围内，求L(ω)的渐近特性。①在ω≤ω1频率范围内(称为低频段)，渐近线表达式为

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)=20lg4-20lgω

所以，低频段斜率为-20dB/dec。求出在ω1＝0.5处，L(ω)＝18dB。按照点斜式可以绘出ω≤ω1低频段的渐近线。②在ω1≤ω≤ω2的频率范围内，L4＝L5＝0，渐近线表达式为

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)=20lg2-40lgω

这是一条斜率为-40dB/dec的直线，在ω2＝2处，L(ω)＝-6dB。③在ω2≤ω≤ω3的频率范围内，渐近线表达式为

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)=-20lgω

这是一条斜率为-20dB/dec的直线。在ω3＝8处，L(ω)＝-18dB。④在ω≥ω3的频率范围内，渐近线表达式为

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)+L5(ω)=20lg64-60lgω

直线的斜率为-60dB/dec。图3―28例3―9的开环对数频率特性曲线图3―28例3―9的开环对数频率特性曲线

根据以上分析，画出L(ω)的渐近特性，如图3―28(a)中实线所示。对数相频特性曲线可分别将积分环节、惯性环节、微分环节和振荡环节的相频特性曲线画出，惯性环节和微分环节可根据表3―3确定几个点，振荡环节可根据图3―27和ζ的值确定几点，再连接成光滑的曲线。将各环节的相频特性曲线叠加起来，就可得到开环系统的对数相频特性，如图3―28(b)所示。

事实上，因为L(ω)的渐近线是分频段按直线段叠加组成的，而且L