《计算机电子电路技术-电路与模拟电子部分》课件第4章 正弦稳态电路分析

第4章正弦稳态电路分析4.1正弦信号的基本概念4.2正弦信号的相量表示4.3基本元件VAR和基尔霍夫定律的相量形式4.4相量模型4.5相量法分析4.6正弦稳态电路的功率4.7谐振电路4.8三相电路4.1正弦信号的基本概念4.1.1正弦信号的三要素正弦信号的大小与方向都是随时间作周期性变化的，信号在任一时刻的值，称为瞬时值。在指定的参考方向下，正弦电流、电压的瞬时值可表示为

i(t)=Imsin(ωt+θi)(4―1)u(t)=Umsin(ωt+θu)(4―2)

现以i(t)为例，说明正弦信号的三要素。

式(4―1)中，Im是正弦信号在整个变化过程中可能达到的最大幅值，称为振幅或最大值。(ωt+θi)是正弦信号的相位，t=0时的相位θi称为初相位，简称初相，单位是弧度(rad)或度(°)。通常规定初相在|θi|≤π范围内取值。一个正弦信号，若与时间轴原点间隔最近的正向(信号值由负到正)过零点位于原点左侧时，θi＞0；否则，θi≤0。ω=d(ωt+θi)/dt称为角速度或角频率，单位是弧度/秒(rad/s),它表示正弦信号变化的快慢程度。

式(4―1)表明，若知道了正弦信号的振幅、角频率和初相，就能完全确定它随时间变化的全过程，所以常称振幅、角频率和初相为正弦信号的三要素。由于正弦信号变化一周，其相位变化2π弧度，因此，角频率ω也可表示为(4―3)

式中T为正弦信号的周期，单位是秒(s)。f为频率，单位是赫兹(Hz)。当频率很高时，常用千赫兹(kHz)或兆赫兹(MHz)作单位，其转换关系是

1MHz=103kHz=106Hz

正弦电流i(t)的波形图如图4.1所示。图4.1(a)中横坐标变量是时间t;图4.1(b)中横坐标变量是ωt。图4.1正弦电流的波形4.1.2相位差正弦信号经过微分、积分运算或几个同频率正弦信号相加、相减运算后的结果仍是同频率的正弦信号。因而在相同频率的正弦信号激励下，线性非时变电路的稳态响应都是同频率的正弦信号。两个同频率正弦信号在任一时刻的相位之差称为相位差。假设同频率的正弦电流和电压为

i(t)=Imsin(ωt+θi)u(t)=Umsin(ωt+θu)

则其相位差

θ=(ωt+θi)-(ωt+θu)=θi-θu

如果θ=θi-θu＞0，如图4.2(a)所示，则表示随着t的增加，电流i要比电压u先到达最大值或最小值。这种关系称i超前于u或u滞后于i,其超前或滞后的角度都是θ；如果θ＜0,如图4.2(b)所示，则结论恰好与上面情况相反。

图4.2相位差

如果θ＜0,如图4.2(b)所示，则结论恰好与上面情况相反。如果θ=0，则称i与u同相。如图4.2(c)所示，表示i与u同时达到最小值、零值与最大值。如果θ=±π，则称i与u反相。此时，如图4.1(d)所示，当i达到最大值时，u却为最小值，反之亦然。

例1已知正弦电流i1、i2和正弦电压u3分别为

i1(t)=5sin(ωt+30°)Ai2(t)=-10sin(ωt+45°)AU3(t)=15cos(ωt+60°)V

试比较i1与i2、i1与u3间的相位关系。

解比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数，以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于

i2(t)=-10sin(ωt+45°)=10sin(ωt-135°)u3(t)=15cos(ωt+60°)=15sin(ωt+150°)

所以，i1与i2间的相位差为

θ12=30°-(-135°)=165°i1与u3间的相位差为

θ13=30°-150°=-1204.1.3有效值为了直观地比较正弦信号的大小，研究它们在电路中的平均效果，我们引入有效值的概念。先定义一般周期信号的有效值。设有两个相同的电阻，分别通以周期电流和直流电流。如果在一周期内，两个电阻消耗的能量相同，就称该直流电流值为周期电流的有效值。当周期电流i通过电阻R时，一周期内电阻消耗的电能为

式中T为周期信号的周期。当直流电流I通过电阻R时，在相同时间T内，电阻消耗的电能为

WI=RI2T

然后，令Wi=WI,则有

于是，周期电流i的有效值为(4―4)

因为正弦电流是周期电流，所以可直接应用式(4―4)求出它的有效值。设正弦电流

i(t)=Imsin(ωt+θi)

将它代入式(4―4),得(4―5)

同样地，可求得正弦电压u=Umsin(ωt+θu)的有效值为

在电工技术中，通常用有效值表示交流电的大小。例如交流电压220V、交流电流50A，其电流电压值都是有效值。各种交流电气设备铭牌上标出的额定值及交流仪表的指示值也都是有效值。

例2已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π6弧度，由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。解因为,所以电源电压瞬时值表达式为4.2正弦信号的相量表示4.2.1复数及其运算在数学中，一个复数A可以表示成代数型、指数型或极型，即

A=a1+ja2(代数型)=aejθ(指数型)=a∠θ(极型)(4―7)

式中为复数单位；a1和a2分别为复数A的实部和虚部；a和θ分别是A的模和辐角。复数A也可以表示为复平面上的一个点或由原点指向该点的有向线段(矢量)，如图4.3所示。由图可知，复数代数型与指数型(或极型)之间的转换关系为(4―8)和(4―9)

两个复数相等时，其实部和虚部分别相等，或模和辐角分别相等。两个复数相加(减)等于把它们的实部和虚部分别相加(减)。例如，若A=a1+ja2,B=b1+jb2,则

A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)(4―10)

两个复数相乘(除)等于将它们的模相乘(除)、辐角相加(减)。例如，若

(4―11)4.2.2正弦信号的相量表示我们知道，正弦信号由振幅、角频率和初相三个要素确定。由于在正弦稳态电路中，各处的电流和电压都是正弦信号，并且它们的角频率与正弦电源的角频率相同，因此，在进行正弦稳态电路分析时，对于正弦电流、电压的振幅和初相，是我们最为关心的两个要素。为了简化分析，现在以电流为例，介绍正弦信号的相量表示。根据欧拉公式，可将复指数函数

表示为

注意上式中的虚部即为正弦电流的表达式，于是有(4―12)式中(4―13)

式(4―13)中复数的模和辐角恰好分别对应正弦电流的振幅和初相。在此基础上，再考虑已知的角频率，就能完全表示一个正弦电流。像这样能用来表示正弦信号的特定复数称为相量，并在符号上方标记圆点“·”，以与一般复数相区别。称为电流相量，把它表示在复平面上，称为相量图，如图4.4所示。图4.4相量图图4.5旋转相量

同样地，正弦电压可表示为(4―14)称为电压相量。由于正弦信号振幅是有效值的2倍，故有(4―15)

分别称为电流、电压的有效值相量，相应地，将和分别称为电流和电压的振幅相量。显然，振幅相量是有效值相量的倍。式中(4―16)

必须指出，正弦信号是代数量，并非矢量或复数量，所以，相量不等于正弦信号。但是，它们之间有相互对应关系，即(4―17)或(4―18)

因此可以采用相量表示正弦信号。式(4―17)和(4―18)中，双向箭头符号“

”表示正弦信号与相量之间的对应关系。下面介绍几个正弦信号与相量之间的对应规则。为了叙述方便，设正弦信号A(t)、B(t)与相量的对应关系为(4―19)1.唯一性规则对所有时刻t,当且仅当两个同频率的正弦信号相等时，其对应相量才相等。即(4―20)证明由于A(t)=B(t),所以有(4―21)式(4―21)对所有时刻t均成立。令t=0，有求得

当令t=π/2ω时，,代入式(4―21)有或写成求得于是有反之，若,则有

根据复数相等定义，可得也就是

故式(4―20)成立。它表明正弦信号与相量之间是一一对应的。2.线性规则若K1和K2均为实常数，且则(4―22)证明设由于

所以，线性规则成立。一般而言，若干个正弦信号线性组合后的相量等于各正弦信号对应相量的同一线性组合。作为一种特殊情况，在式(4―22)中，令K2=0,则有

表明正弦信号数乘K1后的相量等于原正弦信号对应的相量数乘K1。3.微分规则若则(4―23)证明因为

例3已知电压u1=4sin(ωt+60°)V,u2=6sin(ωt+135°)V和u3=8sin(ωt-60°)V。试写出各电压的振幅相量，并画出相量图。解设正弦电压u1、u2和u3的振幅相量分别为,则图4.6电压相量图

例4部分电路如图4.7(a)所示，已知试求电流i。图4.7例4图

解由已知条件可得根据KCL，有

设正弦电流i的有效值相量为，则由线性和唯一性规则可得

因此，正弦电流i的表达式为

各电流的有效值相量如图4.7(b)所示。图中清楚地反映了各相量之间模及幅角或各正弦量之间振幅及初相的关系。4.3基本元件VAR和基尔霍夫定律

的相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

1.电阻元件如图4.8(a)所示，设电阻R的端电压与电流采用关联参考方向。当正弦电流

通过电阻时，由欧姆定律可知电阻元件的端电压为(4―24)

式中U和θu是电压u的有效值和初相。上式表明，电阻元件的电流、电压是同频率的正弦量，两者的有效值满足U=RI，而初相是相同的。电流、电压波形如图4.8(b)所示。图4.8电阻元件的i-u关系

设正弦电流i和电压U对应的有效值相量分别为和，即

,

，则根据4.2节线性规则和唯一性规则，式(4―24)对应的相量表达式为(4―25)

该式表明了电阻R的电流、电压相量关系，称为电阻元件VAR的相量形式。将式(4―25)中的相量表示成指数型，可得

按照复数相等定义，上式等号两边复数的模及幅角分别相等，即(4―26)图4.9电阻元件的关系

显然，上述结果与式(4―24)表明的结论是完全一致的。根据式(4―25)画出的电阻元件模型如图4.9(a)所示。它以相量形式的伏安关系描述电阻元件特性，故称为相量模型。电阻元件电流、电压相量图如图4.9(b)所示。2.电感元件设电感L的端电压与电流采用关联参考方向，如图4.10(a)所示。当正弦电流通过电感时，其端电压为(4―27)

式中U和θu分别为电感电压的有效值和初相。由式(4―27)可知电感电压和电流是同频率的正弦量，其波形如图4.10(b)所示。若设电感电流、电压与有效值相量的对应关系为

则根据4.2节中的微分、线性和唯一性规则，可得式(4―27)的相量表达式为(4―28)图4.10电感元件的i-U关系

该式称为电感元件VAR的相量形式。它同时体现了电感电流、电压之间的有效值关系和相位关系。因为式(4―28)可以写为

根据两复数相等的定义，可得(4―29)(4―30)图4.11电感元件的关系3.电容元件设电容元件C，其电压、电流采用关联参考方向，如图4.12(a)所示。当电容端电压为u(t)=Usin(ωt+θu)时，通过C的电流为(4―31)

式中I和θi分别是电容电流的有效值和初相。式(4―31)表明，电容电压、电流是同频率的正弦量，其波形图如图4.12(b)所示。图4.12电容元件的i-u关系

如果电容电压、电流与相量之间的对应关系为

则由4.2节中的微分、线性和唯一性规则，可得式(4―31)的相量表示式(4―32)(4―33)

式(4―32)和(4―33)称为电容元件VAR的相量形式。若将式(4―33)中的电流、电压相量表示成指数型，即则由复数相等定义，可得(4―34)和(4―35)

式(4―34)表明，对于给定的电容C，当U一定时，ω愈高，电容进行充放电的速率愈快，单位时间内移动的电荷量愈大，故I就愈大，表示电流愈容易通过。反之，ω愈低，电流将愈不容易通过。在直流情况下，ω=0,I=0，电容相当于开路，所以，电容元件具有隔直流的作用。由式(4―35)可知，电容电压的相位滞后电流90°。根据式(4―33)画出电容元件的相量模型如图4.13(a)所示。电容中电流、电压的相量图如图4.13(b)所示。图4.13电容元件的关系4.3.2KCL、KVL的相量形式

KCL指出：对于集总参数电路中的任意节点，在任一时刻，流出(或流入)该节点的所有支路电流的代数和恒为零。在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为(4―36)

式中n为汇于节点的支路数，ik为第k条支路的电流。设正弦电流ik对应的相量为,即

根据4.2节线性规则和唯一性规则，可得式(4―36)对应的相量关系表示为或(4―37)

这就是KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态电路中，对任一节点，各支路电流相量的代数和恒为零。同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为(4―３８)或

例5电路如图4.14(a)所示。已知R=5Ω，L=5mH,C=100μF，Uab(t)=sin103tV。求电压源电压us(t)，并画出各元件电流、电压的相量图。图4.14例5用图

解电压Uab的有效值相量为

根据R、C元件VAR的相量形式，得

由KCL得由电感元件VAR相量形式，求得根据KVL，可得电压源电压

所以各元件电流、电压相量图如图4.14(b)所示。4.4相量模型4.4.1阻抗与导纳由上节讨论可知，在电流、电压采用关联参考方向的条件下，三种基本元件VAR的相量形式是(4―39)如用振幅相量表示，则为(4―40)

下面我们讨论正弦稳态时一般无源二端电路VAR的相量表示。设无源二端电路如图4.15(a)所示，在正弦稳态情况下，端口电流和电压采用关联参考方向。我们定义无源二端电路端口电压相量与电流相量之比为该电路

(4―41)图4.15阻抗与导纳

显然，阻抗的量纲为欧姆(Ω)。将式(4―41)中的相量表示成指数型，可得(4―42)

式中R和X分别称为阻抗的电阻和电抗；|Z|和φz分别称为阻抗的模和阻抗角。它们之间的转换关系为(4―43)

式(4―43)表明，无源二端电路的阻抗模等于端口电压与端口电流的有效值之比，阻抗角等于电压与电流的相位差。若φz＞0,表示电压超前电流，电路呈电感性；φz＜0，电压滞后电流，电路呈电容性；φz=0时，电抗为零，电压与电流同相，电路呈电阻性。将式(4―41)改写为(4―44)或

上式与电阻电路中的欧姆定律相似，故称为欧姆定律的相量形式。根据式(4―44)画出的相量模型如图4.15(b)所示。比较式(4―39)与(4―44)可得基本元件R、L和C的阻抗分别为(4―45)

它们是阻抗的特殊形式。其中(4―46)

上式中XL是电感的电抗，XC是电容的电抗，分别简称为感抗和容抗。它们随角频率变化的曲线如图4.16(a)、(b)所示，分别称为XL和XC的频率特性曲线。图4.16XL和XC的频率特性曲线

我们把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即(4―47)或(4―48)

导纳的量纲为西门子(S)。同样将上式中的电流、电压相量表示成指数型，可得(4―50)

将式(4―48)改写为或(4―51)

该式也常称为欧姆定律的相量形式。它的相量模型如图4.15(c)所示。比较式(4―40)与(4―51)可知，元件R、L和C的导纳分别为(4―52)式中(4―53)4.4.2正弦电源相量模型如果一个独立电压源Us(t)的输出电压为正弦电压，即

就称其为正弦电压源。式中Us、ω和θu分别为正弦电压us的有效值、角频率和初相。图4.17正弦电源的相量模型

同样，如果一个独立电流源is(t)的输出电流为正弦电流，即

就称它为正弦电流源。上式中Is、ω和θi分别表示正弦电流的有效值、角频率和初相。正弦电流源的相量模型如图4.17(b)所示，图中为正弦电流is对应的有效值相量，箭头方向表示其参考方向。

通常，把正弦电压源和正弦电流源统称为正弦独立源，或简称为正弦电源。对于受控电源，应用与正弦电源类似的定义方法，可以得到正弦稳态情况下的正弦受控源，这里不再一一赘述，仅给出它们的相量模型如图4.18所示。图4.18正弦受控源的相量模型图4.18正弦受控源的相量模型4.4.3正弦稳态电路相量模型在前面几章使用的电路模型中，涉及的电流和电压都是时间域变量，故称为时域模型。在正弦稳态情况下，如果把时域模型中的电源元件用相量模型代替，无源元件用阻抗或导纳代替，电流、电压均用相量表示(其参考方向与原电路相同)，这样得到的电路模型称为相量模型。例如，对于图4.19(a)给出的正弦稳态电路(时域模型)，设正弦电压源角频率为ω，其相量模型如图4.19(b)所示。容易看出，相量模型与时域模型具有相同的电路结构。

图4.19时域模型和相量模型4.4.4阻抗和导纳的串、并联下面给出阻抗和导纳串、并联的有关结论，其证明方法与电阻电路相似，这里不再重复。设阻抗Z1=R1+jX1,Z2=R2+jX2;导纳Y1=G1+jB1,Y2=G2+jB2。则当两个阻抗Z1和Z2串联时，其等效阻抗Z为

Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2)(4―54)

分压公式为(4―55)

式中为两个串联阻抗的总电压相量。当两个导纳Y1和Y2并联时，其等效导纳Y为

Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2)(4―56)

分流公式为(4―57)式中为通过并联导纳的总电流相量。当两个阻抗Z1、Z2相并联时，它的等效阻抗Z为(4―58)其分流公式为(4―59)

对于同一无源电路，如图4.20(a)所示，我们既可以把它等效成由电阻R和电抗X串联组成的阻抗Z，如图(b)所示；也可以将它等效成由电导G和电纳B并联组成的导纳Y，如图(c)所示。图4.20阻抗与导纳的等效转换

显然，阻抗Z与导纳Y也是互为等效的，R、X与G、B之间满足一定的转换关系。若将阻抗等效转换为导纳，由式(4―47)可得式中(4―60)同样地，将导纳等效转换为阻抗时，有式中(4―61)图4.21例6电路

例6RC串联电路如图4.21(a)所示，已知R=20Ω，C=2μF,电源角频率ω=104Rad/s。要求将它等效成R′C′并联电路，如图(b)所示，试求R′和C′。解先计算图(a)电路的阻抗。因为所以该电路的导纳为即于是

例7如图4.22(a)电路，已知R=10Ω，

L=50mH,R=50Ω，C=20μF,电源

us(t)=100sin(103t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流相量图。解电压源相量和jXL、jXC分别为图4.22例7电路

电路的相量模型如图(b)所示。设R、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻抗为ZRC,可得电路总阻抗Z为

电路总电流由并联电路分流公式，求得R、C支路电流图4.23电流相量图4.5相量法分析例8节点法。电路的相量模型如图4.24所示，求各

图4.24例8电路

解电路中含有一个独立电压源支路，可选择连接该支路的节点4为参考点，这时节点1的电位是一已知量，从而用节点法分析时可少列一个方程。设节点2、3的电位为，列出相应的节点方程为节点2:节点3:

将代入节点2方程，并整理得计算方程组的系数行列式故解得

例9网孔法。电路如图4.25(a)所示，已知

us=10sin103tV,求电流i1、i2和电压uab。

图4.25例9电路

解画出电路相量模型如图(b)所示。图中

设网孔电流如图(b)所示。将电路中受控源看成大小为的独立电压源，列出网孔方程网孔1:网孔2:(4―62)(4―63)

由于受控源控制变量未知，故需增加一个辅助方程

(4―64)

将该式代入式(4―63)，整理后与式(4―62)联列成如下方程组(4―65)由于故式(4―65)方程组解为

电感支路电流

电感支路电压因此

例10等效电源定理。电路相量模型如图4.26(a)所示

，求负载电阻RL上的电压。

图4.26例10电路

图4.26例10电路

解将负载RL断开，电路如图(b)所示。由于电阻与电容的并联阻抗为故开路电压与等效内阻抗分别为画出戴维南等效电路如图(c)所示。由图求得

例11交流电桥工作原理。图4.27(a)是交流电桥的组成电路，a、b端接正弦电源,c、d端接平衡指示器毫伏表，阻抗Z1、Z2、Z3和Zx是电桥的四个臂。电桥工作时，调整桥臂阻抗，若毫伏表指示为零，称电桥平衡。利用电桥平衡条件，可以用来测量阻抗参数。断开毫伏表支路，则其余部分电路是一单口电路，如图4.27(b)所示。在外接电压源作用下，开路电压(4―66)图4.27交流电桥

根据等效电源定理，若,则连接毫伏表支路后，毫伏表指示为零，此时电桥平衡。由式(4―66)可知，电桥平衡条件是(4―67)或表示为(4―68)

式(4―67)是一复数方程，它包含了两个条件，即要求方程两端的实部和虚部(或模和辐角)同时相等。因此，实际使用时，至少应调节两个元件参数才能使电桥达到平衡。适当选择桥臂阻抗性质，可得到不同测量用途的电桥。例如，图4.27(c)所示电桥，常用来测量电感元件参数，称为麦克斯韦电桥。其中Rx和Lx表示待测电感元件的等效电阻和电感量。R2和R3为电阻元件，其阻值已知，R1和C1为调节元件。将各元件参数代入式(4―68),得

根据复数相等定义，可得(4―69)

使用时，将待测电感接入ZX支路，反复调整R1和C1，使毫伏表指示为零，此时电桥平衡，读出R1和C1值并由式(4―69)计算出电感元件的电感量和等效电阻。4.6正弦稳态电路的功率4.6.1单口电路的功率单口电路N如图4.28(a)所示，其端口电流i、电压U采用关联参考方向。在正弦稳态情况下，设端口电流、电压为(4―71)

式中φ=θu-θi是端口电压与电流的相位差。在任一时刻t,电路N的吸收功率

p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(ωt+θi)sin(ωt+φ+θi)=UIcosφ-UIcos(2ωt+2θi+φ)=UIcosφ+UI［sinφsin2(ωt+θi)-cosφcos2(ωt+θi)］(4―72)

画出i、u和p的波形如图(b)所示。由图可见，随电流i和电压u的变化，瞬时功率p(t)有时为正，有时为负。当u＞0,i＞0或u＜0,i＜0时，p(t)＞0,说明在此时电路N从外电路吸收功率；当u＞0,i＜0或u＜0,i＞0时，p(t)＜0,此时电路N向外电路发出功率。图4.28单口电路的正弦稳态功率1.平均功率P

单口电路的平均功率也称有功功率，它是瞬时功率在一周期内的平均值，即(4―73)

式中T为正弦电流(或电压)的周期。由上式可见，在正弦稳态情况下，平均功率除与电压、电流的有效值有关外，还与电压、电流的相位差有关。平均功率的单位是瓦(W)。

如果电路N为无源电路，在正弦稳态情况下，可将它等效成阻抗Z，此时电压、电流相位差φ等于阻抗角φz,式(4―73)可写为(4―74)(4―75)(4―76)式中2.无功功率Q

为了描述单口电路内部与外电路交换能量的规模，我们定义式(4―72)中正弦项UIsinφsin2(ωt+θi)的最大值为无功功率，即(4―77)无功功率的单位是(V·A)。如果电路N为无源电路，φ=φZ，则式(4―77)可写为(4―78)

显然，对于电阻性电路N，φz=0,Q=0,表示N与外电路没有发生能量互换现象，流入N的能量全部被电阻消耗；N为电感性电路时，φz＞0,Q＞0;N为电容性电路时，φz

＜0,Q＜0。后两种情况中，Q≠0，表示电路N与外电路之间存在能量互换现象。

3.复功率工程上为了计算方便，将有功功率P与无功功率Q组成复功率，用表示，其定义为

(4―79)将式(4―73)和(4―77)代入上式，可得(4―80)(4―81)(4―82)

例12图4.29(a)所示负载电路接在220V，50HZ的正弦电源上。已知R1=50Ω，R2=2Ω，L=10mH。

(1)求负载电路的平均功率、无功功率、视在功率、功率因数和电源电流；

(2)若功率因数λ＜0.85,则应在负载电路a、b端并接多大电容C，才能使功率因数提高到0.85?并计算此时的电源电流(要求保持负载电路平均功率不变)。图4.29例12用图

解(1)画出电路相量模型如图4.29(b)所示。设电源=220∠0°的共轭值为复功率所以电路的平均功率、无功功率和视在功率分别为电路功率因数(2)设电路并接电容后的功率因数角为φ′z,总电流为，则

由P=UI′cosφ′z可得根据相量图4.29(c)，求得电容电流由于所以4.6.2最大功率传输条件如图430(a)所示，在正弦稳态情况下，一个有源单口电路向等效阻抗为ZL的负载传输功率。根据戴维南定理，图4.30(a)电路可等效为图4.30(b)的电路。图4.30最大功率传输条件

设等效电源的电压相量为,等效内阻抗为Zs=Rs+jXs,负载阻抗ZL=RL+jXL。现在讨论负载阻抗满足什么条件时才能从给定等效电源获得最大功率。由图4.30(b)可知，电路中的电流(4―83)其有效值为(4―84)负载吸收功率

在式(4―84)中，若RL一定，仅调节XL，那么当Xs+XL=0，即

XL=-Xs

时，PL有极大值，其值为(4―85)

在XL=-Xs条件下，再调节RL,使负载获得最大功率。为此，将式(4―85)对RL求导数，并令其为零，可得

时负载获得最大功率。综合上述两种情况，若RL和XL均可调节时，负载吸收最大功率，或电路传输最大功率的条件为或(4―86)

可见，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭值时，负载获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。将式(4―86)代入式(4―84)，求得最大功率为(4―87)

例13电路如图4.31(a)所示，试问ZL为何值时能获得最大功率，最大功率为多少?

解将图(a)中除ZL以外的部分等效成戴维南电路，如图4.31(b)中的虚线方框所示。由4.5节例10分析结果可知

根据最大功率传输条件，当负载ZL为时可得最大吸收功率。其最大功率值为图4.31例13电路4.7谐振电路4.7.1串联谐振电路

RLC串联电路如图4.32(a)所示，设图中正弦电压源的角频率为ω、初相为零。串联电路的等效阻抗为(4―88)式中(4―89)电路中电流(4―90)其模和初相为(4―91)

此时，电路呈电阻性，与同相，我们称电路发生了串联谐振。式(4―92)是电路发生串联谐振的条件。根据式(4―92)谐振条件，可得(4―92)(4―93)图4.32串联谐振图4.33|Z|、X及I随ω的变化曲线

在上面讨论中，我们保持电路参数不变，即ω0一定，通过改变电源角频率ω，使之与ω0相等，电路产生谐振。实际上，若固定电源角频率ω，调节电路参数L或C，ω0发生变化，使ω0=ω,则电路也会发生谐振。串联谐振电路具有以下特点：

(1)谐振时，电抗X=0,故电路阻抗(4―94)电路呈电阻性。阻抗模达最小。(2)由式(4―90)可知，谐振时电路电流(4―95)(3)谐振时电路元件上电压(4―96)

在电子技术中，常用串联谐振电路选择特定频率的信号并输出较高的电压。例如，收音机的天线输入回路就是一个由线圈(其电感为L，电阻为R)与可调电容C组成的串联等效电路，如图4.34所示。图4.34收音机的输入电路

例14收音机输入回路的等效电路如图4.35所示。已知线圈电阻R=8Ω，线圈电感L=0.3mH，C为可调电容。U1(f1)、U2(f2)分别是中央人民广播电台(f1=560kHZ)和西安人民广播电台(f2=790kHZ)广播信号在输入回路中的等效信号源。求

(1)计算收音机接收到中央人民广播电台信号时电容C的大小。若信号源U1(f1)为1.5μV，计算它在电容上产生的电压UC1。

(2)保持(1)中的C值不变，且设U2(f2)=1.5μV，计算U2(f2)在电容上产生的电压UC2。

图4.35

解(1)串联谐振时，，所以收音机接收中央人民广播电台时电容C的值为电路谐振电流电容上电压(2)对于信号U2(f2)而言，输入电路工作在非谐振状态，可应用相量法计算出电容上的输出电压。因为信号U2(f2)的频率f2=790kHZ,故有4.7.2并联谐振电路

RLC并联电路如图4.36(a)所示。图中正弦电流源的角频率为ω，设其电流相量的初相为零。

图4.36并联谐振电路

并联电路的等效导纳为(4―97)式中

当电纳B=0时，电路端电压与电流源电流同相，称电路发生并联谐振。满足B=0的角频率称为并联谐振电路的谐振角频率，记为ω0。根据B=0，可得(4―98)

该式称为并联电路的谐振条件。从谐振条件可得并联谐振电路的谐振角频率为或(4―99)RLC并联电路谐振时有以下特点：(1)由式(4―97)可见，谐振时并联电路导纳(4―100)其值最小，且为纯电导。若转换为阻抗，即(4―101)(2)由图4.36(a)，可知谐振时电路端电压(4―102)其数值达最大值，且与电流源同相位。

图4.37(3)并联电路谐振时各支路电流(4―103)

可见，并联电路谐振时，激励源电流全部流经电导支路。电容与电感支路电流大小相等，相位相反，在LC回路中形成量值为激励源电流的ω0CR倍的回路电流，所以，并联谐振又称电流谐振。谐振时各支路电流相量如图4.36(b)所示。另一种常见的并联谐振电路如图4.38(a)所示，其中R是电感线圈的损耗电阻。图4.38另一种并联谐振电路设正弦电流源的角频率为ω，则并联电路导纳

在实际应用中，损耗电阻值较小，通常满足R2

(ωL)2条件，故上式可近似为(4―104)(4―105)

满足式(4―105)的角频率就是电路的谐振角频率，记为ω0,即求得谐振角频率(4―105)(4―106)

如果电路工作在谐振频率附近，利用式(4―106)关系，可将式(4―104)改写为(4―107)(4―108)式中

式(4―107)表明，在谐振频率附近，可将图4.38(a)电路近似等效为G、L、C的并联电路，其中电感、电容元件参数与原电路相同，电导元件参数由式(4―108)确定。这样，关于图4.36(a)并联谐振电路的讨论结果也同样适用于图4.38(a)电路。

例15图4.38(a)所示RLC电路，已知，R=10Ω，L=100μH，C=100pF，试确定电路的谐振角频率，并计算谐振时各支路电流和电路端电压。解由式(4―106)求得谐振角频率为谐振时可将电路等效成图4.38(b)所示，图中

由式(4―102)得谐振时电路端电压电阻、电感串联支路谐振电流4.8三相电路4.8.1三相电源三相电源是三相交流发电机的电路模型。它由三个频率、振幅相同而初相互差120°的正弦电源按一定连接方式组成。图4.39三相发电机示意图

图4.39是三相发电机的示意图。发电机定子内侧嵌入三个完全相同而彼此相隔120°的绕组ax、by和cz,分别称为a相、b相和c相。其中a、b、c表示绕组的始端，x、y、z为末端。发电机转子由锻钢制成，上面有绕组，通以直流后在周围空间产生磁场。当转子在外力驱动下以角速度ω匀速旋转时，将分别在绕组ax、by和cz上感应出正弦电压ua、ub和uc。设各电压的参考方向如图4.40(a)所示，并以ua为参考电压(令其初相为零)，则各电压可表示为

式中up为各相电压的有效值。这组电源称为对称三相电源，简称三相电源。式(4―109)的相量表示为(4―109)(4―110)

三相电源各相电压的波形图和相量图分别如图4.40(b)和(c)所示。容易证明，对称三相电源三相电压的瞬时值之和等于零，其相量之和也为零，即(4―111)(4―112)

三相电源的每相电压可以独立向外电路供电，这样需要六条输电线，很不经济。实际使用中，三相电源的三相电压按星形(Y形)或三角形(△形)方式