专题12 压轴中的阅读理解题型（解析版）

专题12压轴中的阅读理解题型阅读理解型问题在近几年的各地中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视.它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.阅读理解题一般可分为如下几种类型：方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题． （2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为_______________________；(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令=a，-n=b，则+a-7=0，+b=0，再模仿例题解决问题．【答案】(1)，，，(2)或(3)15【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，∴，，，，故答案为：，，，；（2）解：∵，∴或①当时，令，，∴则，，∴，是方程的两个不相等的实数根，∴，此时；②当时，，此时；综上：或（3）解：令，，则，，∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根，∴，故．本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，在中，，在中，，，；（2）解：如图3，过点作于点，，，，在中，又，即，，．本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上．求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．②若，试求出正方形的面积．（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可；（2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可．【答案】(1)钝角三角形；证明见详解(2)①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD=【详解】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，在△EBA和△DBC中，，∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以、、为边的三角形是钝角三角形．（2）证明：①以、、为边的三角形是直角三角形．连结CG，∵四边形和四边形都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG为正方形的对角线，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，，∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC为直角三角形，∴以、、为边的三角形是直角三角形；②连结BD，∵△AGC为直角三角形，，由（2）可知，AE=CG，∴AC=，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=BD=，∴S四边形ABCD=．本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．1．（2022·贵州遵义·统考二模）阅读下列材料，完成探究与运用．【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…．同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：由，从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…．【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律．(1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______；【运用】(2)请用上述规律，解分式方程．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据阅读材料和探究材料可直接得出答案；（2）直接利用（1）中发现的规律解分式方程即可．【详解】（1）解：小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0，若，则①，②；故答案为：；（2）解：，从而可得：，∴，∴，∴，解得，，经检验，都是原方程的解，故原方程的解为，．2．（2022·河南南阳·统考二模）阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．(1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是外一点，__________________________________________．求证：__________________________________________．证明：(2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP中利用锐角三角函数进行计算即可解答．【详解】(1)解：任务一：已知：如图①，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB、OP，求证：OP垂直平分AB．证明：连接OA、OB，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴，∵OA＝OB，OP＝OP，∴，∴，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB；(2)任务二：连接OA、OB，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）得，，∵，，∴．3．（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）阅读材料：材料一：对于一个四位数n，若满足各个数位上的数字均不为零，且千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”.例如：，∵，∴8563是“等差数”；，∵，∴2715不是“等差数”；材料二：将一个四位数n（十位上的数字不为零）千位上的数字与十位上的数字交换，百位上的数字与个位上的数字交换可以得到一个新的四位数，记.例如：，，则.请根据上述材料解决下列问题：(1)判断4312和2817是否为“等差数”，并说明理由；(2)求证：对于任意一个“等差数”m，都能被11整除；(3)若s和t都是“等差数”，其中，（，，，，a，b，x，y均为整数），且，求s的值.【答案】(1)4312不是“等差数”，2817是“等差数”，理由见解析(2)见解析(3)8912和5612【分析】（1）根据“等差数”定义分别计算验证即可；（2）设一个“等差数”为：，（p，q，a，b均为正整数），则，然后将这两个表达式代入中，进行整式的化简，结合“等差数”定义，即可证出结果；（3）根据“等差数”的定义，得出，，然后求出和，然后代入，结合“等差数”的定义，化简得出，根据a，b，x，y的范围，分类讨论，即可解决问题．【详解】(1)解：4312不是“等差数”，2817是“等差数”，理由如下：∵4-3=1≠1-2=-1，∴4312不是“等差数”，∵2-8=-6=1-7=-6，∴2817是“等差数”；(2)证明：设一个“等差数”为：，（p，q，a，b均为正整数），则，则=∵是“等差数”，∴，∴，∵p，q，a，b均为正整数，故F(m)都能被11整除；(3)解：∵和都是“等差数”，∴，即，∵t是“等差数”，∴，即，∵∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，，，a，b，x，y均为整数，∴当a=2时，x=8，此时y=x-4=4，b=a+3=5，，；当a=4时，x=5，此时y=x-4=1，b=4+3=7，，；当a=6时，x=2，y=2-4=-2（不符合题意）；∴s为8912和5612．4．（2022·吉林长春·校考一模）【阅读材料】我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得“三垂直模型”．如图①，在中，，，分别过A、B向经过点C的直线作垂线，垂足分别为D、E，易证：．（无需证明）(1)【问题探究】如果，其他条件不变，如图②，求证：．(2)【学以致用】如图③，在平面直角坐标系中，，点，点B在第二象限，，求AB所在直线的函数表达式．(3)【拓展应用】如图④，在矩形ABCD中，，，点E为边BC上一个动点，连结AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连结PC、PD．当为直角三角形时，直接写出BE的长．【答案】(1)见解析；(2)y=-x+；(3)4或2+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得结论；（2）过点B作BN⊥x轴于点N，先证△NBO∽△FOA，可得，可求点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如图，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠NBO+∠BON=90°,∵∴∠AOF+∠BON=90°∴∠NBO=∠AOF∵∠BNO=∠AFO=90°∴△NBO∽△FOA，∴，∵点A（1，2），∴OF=1，AF=2，∵，∴，∴NB=，ON=3，∴点B（-3，），∵设直线AB表达式：y=kx+b，∴∴∴直线AB的解析式为：y=-x+；（3）当∠CDP=90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，∵∠ADC+∠CDP=180°，∴点A，点D，点P三点共线，∵∠BAP=∠B=∠H=90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB=PH=4，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE=EP，∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠H=90°，AE=EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE=PH=4，当∠CPD=90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD=NH=4，DN=CH，设BE=x，则EC=6-x，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE=EP，∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠EHP=90°，AE=EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH=BE=x，AB=EH=4，∴PN=4-x，CH=4-（6-x）=x-2=DN，∵∠DPC=90°，∴∠DPN+∠CPH=90°，且∠CPH+∠PCH=90°，∴∠PCH=∠DPN，且∠N=∠CHP=90°，∴△CPH∽△PDN，∴，∴∴x=2±∵点P在矩形ABCD外部，∴x=2±，∴BE=2+，综上所述：当BE的长为4或2+时，△DPC为直角三角形．5．（2022·山东·统考一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析【分析】(1)延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．(2)延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）线段DF与AD的数量关系为：．证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：∵点F为BE的中点，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE∴，，∴∵是等边三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等边三角形，∴．6．（2022·河南商丘·统考一模）阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若AB＝4，CFCD请直接写出CF的长．【答案】(1)见解析(2)①线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明见解析；②CF的长为1或2【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．（2）①运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．②运用分类讨论思想，分别求出CF为△BDE的中位线和CF不是△BDE的中位线，两种情况下，CF的长．【详解】（1）（1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，∵，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝