第2章 二次函数专题训练5二次函数的图象与字母系数的关系(含答案)

专题训练五二次函数的图象与字母系数的关系二次函数的图象与字母系数a的关系1.(2024重庆武隆区期末)如图是抛物线y=ax2+bx+c的示意图,则a的值可以是 ()A.1 B.0 C.-1 D.-22.已知抛物线y=(3m-1)x2的开口向下,则m的取值范围是 ()A.m<13 B.m≤C.m>13 D.m≥3.若关于x的函数y=(m+2)xm2+m-4是二次函数,二次函数的图象与字母系数a,b的关系4.抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是直线 ()A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-25.抛物线y=2x2+bx+3的对称轴是直线x=1,则b的值为 ()A.-4 B.4 C.1 D.-16.写出一个对称轴是y轴的二次函数的表达式.

7.二次函数y=ax2-6ax+3(a是常数),该函数图象的对称轴是直线.

二次函数的图象与字母系数c的关系8.关于抛物线y=-(x+2)2+3,下列说法中错误的是 ()A.开口向下 B.对称轴是直线x=-2C.顶点坐标(-2,3) D.与y轴交点坐标(0,3)9.如果将抛物线y=(x-1)2向下平移2个单位长度,那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是 ()A.(-1,0) B.(0,-1)C.(-2,0) D.(3,0)10.(2024合肥期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-2x2+8x+5.(1)它的顶点坐标是,当x时,y随x的增大而减小;

(2)将抛物线y=-2x2+8x+5向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,求所得新抛物线与y轴的交点坐标.二次函数的图象与字母系数a,b,c的关系11.一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 () A B C D12.二次函数y=ax2+bx-c的图象如图所示,则下列说法正确的是 ()A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<013.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,以下结论:①ab<0,②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b<m(am+b)(m为任意实数),⑥当x<-1时,y随x的增大而减小.其中结论正确的是.(填写正确的结论的序号)

14.(2024南京玄武区一模)已知二次函数y=-x2+2(m-4)x+m2-1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;(2)求证:当-1<m<1时,该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方.15.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=-1是其对称轴,(1)确定a,b,c,Δ=b2-4ac的符号;(2)求证:a-b+c>0;(3)当x取何值时,y>0,当x取何值时,y<0.16.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线对应的函数表达式,并直接写出顶点P的坐标;(2)求△BCP的面积.

【详解答案】1.A解析:∵抛物线的开口向上,∴二次项系数a大于0,∴只有A选项符合题意,故选A.2.A解析:∵抛物线y=(3m-1)x2的开口向下,∴3m-1<0,解得m<13故选A.3.解:∵函数y=(m+2)xm2+m∴m+2<0,m2+m-4=2,∴m2+m-6=0,m<-2,解得m=-3,∴m=-3.4.A解析:对称轴为直线x=-b2a=-即对称轴是直线x=1.故选A.5.A解析:∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴-b2×2∴b=-4,故选A.6.y=x2+2(答案不唯一)解析:∵抛物线对称轴为y轴,即直线x=0,只要函数表达式的一般式缺少一次项即可,如y=x2+2,答案不唯一.7.x=3解析:∵二次函数y=ax2-6ax+3(a是常数),∴该函数图象的对称轴是直线x=--6a8.D解析:y=-(x+2)2+3中,∵a=-1,h=-2,k=3,∴抛物线的开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,3),∴选项A,B,C均不符合题意.令x=0,得y=-1,∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-1),∴选项D符合题意.故选D.9.B解析:抛物线y=(x-1)2向下平移2个单位长度后的表达式为y=(x-1)2-2,∵当x=0时,y=(0-1)2-2=-1,∴平移后抛物线与y轴的交点坐标是(0,-1).故选B.10.解:(1)(2,13)>2(2)由(1)知,y=-2x2+8x+5=-2(x-2)2+13,∴抛物线y=-2x2+8x+5向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得新抛物线的表达式为y=-2(x-2+2)2+13-3=-2x2+10,∴当x=0时,y=10,∴所得新抛物线与y轴的交点坐标为(0,10).11.C解析:观察A,C,D中二次函数图象,可知a<0,b<0,∴一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限,A,D不符合题意,C符合题意;观察B中二次函数图象,可知a>0,b<0,∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,B不符合题意.故选C.12.B解析:∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴-b2a>0,∴b<∵抛物线交y轴于负半轴,∴-c<0,∴c>0.故选B.13.①②④⑥解析:①∵图象开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,∴a>0,c<0,-b2a=1>0,∴ab<0,故①正确;②图象与x轴有两个交点,依据根的判别式可知b2-4ac>0,即b2>4ac,故②正确;③∵抛物线的对称轴为直线x=1,由图象对称性可知x=2时与x=0时函数值相等,当x=0时,y<0,∴x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故③错误;④∵抛物线的对称轴为直线x=-b2∴b=-2a.∵当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,∴a+2a+c>0,即3a+c>0,故④正确;⑤∵图象开口向上,对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=a+b+c为最小值,对于任意实数m均有a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤m(am+b),故⑤错误;⑥∵a>0,对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随着x的增大而减小,∴当x<-1时,y随x的增大而减小,故⑥正确.故结论正确的是①②④⑥.14.证明:(1)∵Δ=4(m-4)2-4×(-1)×(m2-1)=8(m-2)2+28,而8(m-2)2≥0,∴Δ>0,∴不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点.(2)当x=0时,y=-x2+2(m-4)x+m2-1=m2-1,∴二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,m2-1).∵-1<m<1,∴m2-1<0,∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,即当-1<m<1时,该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方.15.解:(1)∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴为x=-b2a=-1∴b<0.∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0.∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0.(2)证明:∵抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=-1,∴当x=-1时,y=a-b+c>0.(3)根据题图可知,当-3<x<1时,y>0;当x<-3或x>1时,y<0.16.解:(1)∵抛物线y=x