2025届云南省镇沅县第一中学高三最后一模数学试题含解析

2025届云南省镇沅县第一中学高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量与的夹角为，，，则()A． B．0 C．0或 D．2．将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=对称；②它的最小正周期为；③它的图象关于点(，1)对称；④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A． B． C． D．4．设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为A．或11 B．或11 C． D．5．已知平面向量，满足，，且，则（）A．3 B． C． D．56．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A． B．C． D．9．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A． B． C． D．10．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A． B． C． D．11．下列结论中正确的个数是（）①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；③在中，“”是“”的必要不充分条件；④若，则的最大值为2.A．1 B．2 C．3 D．012．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（）.A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为_______．14．的二项展开式中，含项的系数为__________．15．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.16．设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）18．（12分）如图，在矩形中，，，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.20．（12分）据《人民网》报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在去年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷地区造林总面积造林方式人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区新封山育林面积占造林总面积的比值超过的概率；（3）在这十个地区中，从退化林修复面积超过一万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望.21．（12分）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出.【详解】由向量与的夹角为，得，所以，又，，，，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.2、B【解析】

根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知，函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故③正确；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④错误；故选：B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型3、D【解析】

首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．4、A【解析】

圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A．5、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由，所以，，，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.6、D【解析】

设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7、D【解析】

该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.8、B【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，，；在中，，；在中，，，.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.9、B【解析】如图，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.10、B【解析】

分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，分别取、的中点、，连接、、，由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，，则，且，所以，，，是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，由图形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．11、B【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．12、C【解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；此时满足输出结果，故.故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为：，令，所以，所以常数项为.

故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14、【解析】

写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.【详解】，由，可得.含项的系数为.故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.15、2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．16、7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=7三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．【解析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列为0123所以数学期望．【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根据，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）过作于，则可证平面，故为所求角，在中利用余弦定理计算，再计算．【详解】解：（Ⅰ）因为，，，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）过作于，则由平面，且平面知，所以平面，从而是直线与平面所成角.因为，，，所以，从而.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题．19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.【详解】（1）令，，当时，；当时，，则，故；（2），.【点睛】本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.20、（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；（2）；（3）分布列见详解，数学期望为【解析】

（1）通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.（2）通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过的地区个数，然后可得结果.（3）计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数，退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为，列出所有取值并计算相应概率，然后可得结果.【详解】（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.（2）记事件A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区新封山育林面积占总面积的比值超过根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过，则（3）退