江苏省东外扬中省句容省溧中2017-2018学年高二下学期期中联考试题数学

20172018年度第二学期高二年级期中测试卷数学2018420一、填空题（每小题5分，共14小题）1．已知（是虚数单位），则实数=▲．2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是▲．3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取▲名学生．开始输出结束YN4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地选两个数，则选中的两个数中至少有一个是偶数的概率是▲开始输出结束YN5．右图是一个算法流程图，则输出的值是▲.6．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体方差▲．7．用反证法证明命题：“若，则中至少有一个大于1”时，要做的假设是“假设▲”．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是▲．9．已知点P在圆上运动，那么点P到直线的距离的最小值为▲．10．函数的单调减区间为▲.11.设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则点到轴的距离为▲．12．观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为▲．13．若不等式∣ax3－lnx∣≥1对任意x∈(0，1]都成立，则实数a的取值范围是▲．14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为▲．二、解答题（共6大题，分值共90分）15．（4分+4分+6分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是分及分的学生中选两人，记他们的成绩为，求满足“”的概率.16.（文科）（4分+5分+5分）已知，命题对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当，若且为假，或为真，求的取值范围；（3）若且是的充分不必要条件，求的取值范围。（理科）（7分+7分）ADBCPA1B1C1QADBCPA1B1C1QD1(1)试确定、两点的位置；(2)求二面角大小的余弦值.17．（7分+7分）已知a，b为常数且a>0，f(x)＝x3＋eq\f(3,2)(1－a)x2－3ax＋b.(1)函数f(x)的极大值为2，求a、b间的关系式；(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－eq\f(23,2)，求a、b的值.18．（6分+10分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．19．（4分+5分+7分）已知椭圆的离心率为，右焦点，左、右顶点分别为，，直线过点且与椭圆交于、两点（点在轴上方），直线直线，的斜率分别为，．（1）求椭圆的方程；（2）若，求的面积；ABOFPQxy（3）ABOFPQxy20．（4分+5分+7分）已知函数（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，求证：．期中考试答案一、填空题（每小题5分，共14小题）1．2．3．604．5．56．27．全部小于等于18．19．210.11．12．13．14．二、解答题（共6大题，分值14分+14分+14分+16分+16分+16分）15．（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率为110（0.01+0.015+0.015+0.025+0.05）=0.3．

故第四个小矩形的高为0.310=0.03．如图所示：

（2）由于这次考试的及格的频率为10×（0.015+0.03+0.025+0.005）=0.75，故及格率为0.75．

由频率分布直方图可得平均分为0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71．

（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，90～100分的学生有40×0.05=2人，记取出的2个人的成绩为x，y，

“|xy|＞10”说明选出的2个人一个成绩在[40，50）内，另一个在[50，60）内，

故满足“|xy|＞10”的选法有4×2=8种，而所有的取法有C26=15种，

故满足“|xy|＞10”的概率等于．16.（文科）（理科）解:(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,设,则,,,∵,∴，∴，解得∴PC=1,CQ=1,即分别为中点(2)设平面的法向量为，∵,又，∴，令，则,17．解(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，因为a>0，所以x1<x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即3a＋2b＝3.(2)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0，a)上为减函数，在(a,3]上为增函数，所以f(a)为最小值，f(a)＝－eq\f(1,2)a3－eq\f(3,2)a2＋b.即－eq\f(1,2)a3－eq\f(3,2)a2＋b＝－eq\f(23,2)，又由b＝eq\f(3－3a,2).于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，即(a＋1)3＝27，a＝2，b＝－eq\f(3,2).当a>3时，由(1)知，f(x)在[0,3]上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)＝－eq\f(23,2)，从而求得a＝eq\f(107,48)，舍去.综上a＝2，b＝－eq\f(3,2).18．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．(2)因为V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．ABOFPQxy19．ABOFPQxy（2），由得（3）设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，，，所以，由，，，，所以，故存在常数，使得．20、（1）因为点在曲线上，所以，解得．因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．（