（新教材适用）2023-2024学年高中数学第一章数列复习课北师大版选择性

第1课时数列课后训练巩固提升A组1.若在数列{an}中,a1=1,an+1=an21(n∈N+),则a1+a2+a3+a4+a5=(A.1 B.1 C.0 D.2答案:A2.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是().A.33 B.65 C.66 D.129解析:设细胞数由先到后排列构成数列{an},则a1=2,an+1=2an1,∴an+1∴数列{an1}是首项为1,公比为2的等比数列,∴an1=1×2n1.∴an=2n1+1,∴a7=26+1=65.答案:B3.已知等比数列{an}的通项公式为an=2·3n1,现把每相邻两项之间都插入两个数(与an不相等),构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的().A.第5项 B.第12项C.第13项 D.第6项解析:∵an=2×3n1,∴162=2×3n1,解得n=5.又每相邻两项之间插入两个数,∴a5=b13.答案:C4.定义:称np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数A.an=2n1 B.an=4n1C.an=4n3 D.an=4n5解析:∵数列{an}的前n项的“均倒数”为12∴数列{an}的前n项和Sn=(2n1)n.∴an=SnSn1=(2n1)n(2n3)(n1)(n≥2).∴an=4n3(n≥2),当n=1时,a1=S1=1,满足an=4n3.∴an=4n3(n∈N+).答案:C5.(多选题)已知{an}是等比数列,下列说法中错误的是().A.若a1<a2,则a4<a5B.若a1<a2,则a3<a4C.若S3>S2,则a1<a2D.若S3>S2,则a1>a2解析:等比数列{an}中,q2>0,当a1<a2时,可得a1q2<a2q2,即a3<a4,故B正确;但a4=a1q3和a5=a2q3不能判断大小(因为q3的正负不确定),故A错误;当S3>S2时,a1+a2+a3>a1+a2,可得a3>0,即a1q2>0,可得a1>0,由于q不确定,不能确定a1,a2的大小,故C,D错误.答案:ACD6.已知在等差数列{an}中,a1<a2<…<an,且a3,a6为x210x+16=0的两个实根,则此数列的前n项和Sn=;通项公式为an=.

解析设等差数列{an}的公差为d,因为a1<a2<…<an,所以公差d>0.因为a3,a6为x210x+16=0的两个实根,所以a3=2,a6=8,所以a解得a所以Sn=2n+n(n-1)2×2=n23n,an=a1+(n1)d=2+(n1)×答案:n23n2n47.在正项等比数列{an}中,已知a3=4,a4=a2+6.(1)求{an}的前n项和Sn;(2)对于(1)中的Sn,设b1=S1,且bn+1bn=Sn(n∈N+),求数列{bn}的通项公式.解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由a3=4及a4=a2+6得,4q=4q+化简得2q23q2=0,解得q=2或q=12(舍去负值)于是a1=4q2=1,所以Sn=1-2n1-2=(2)由已知b1=S1=1,bn+1bn=Sn=2n1(n∈N+),所以当n≥2时,由累加法得bn=(bnbn1)+(bn1bn2)+…+(b2b1)+b1=(2n1+2n2+…+21)(n1)+1=2(1-2n-1又b1=1也适合上式,所以{bn}的通项公式为bn=2nn,n∈N+.8.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=an+1SnSn+1,求数列{b解:(1)由题设得a1a4=a2a3=8,结合a1+a4=9,可解得a1=1记公比为q.由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn1=2n1.(2)Sn=a1(1-q因为bn=an所以Tn=b1+b2+…+bn=1S1-1S2+1S2-1S3+…+1B组1.已知数列{an}的前n项和是Sn,如果Sn=3+2an(n∈N+),那么这个数列一定是().A.等比数列B.等差数列C.除去第一项后是等比数列D.除去第一项后是等差数列解析:由题意知,a1=3+2a1,即a1=3.∵Sn=2an+3,an=SnSn1=(2an+3)(2an1+3)(n≥2),∴an=2an1(n≥2),∴anan-1∴数列{an}是等比数列,公比为2.答案:A2.设数列{an}是等比数列(公比q≠1),它的前n项和、前2n项和及前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式恒成立的是().A.X+Z=2YB.Y(YX)=Z(ZX)C.Y2=XZD.Y(YX)=X(ZX)解析由题意,设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=X,S2n=Y,S3n=Z.因为数列{an}是等比数列(q≠1),所以Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列,即X,YX,ZY成等比数列,所以(YX)2=X·(ZY).整理,得Y2XY=ZXX2,即Y(YX)=X(ZX).答案D3.(多选题)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2(n∈NA.{an}是等差数列 B.{an}是递减数列C.1aD.1a解析:因为an+1=2anan+2,a1=所以1a即1a又a1=1,则1a1所以1an是以1为首项,1所以1an=1a1+所以an=2n所以{an}不是等差数列,但为递减数列.答案:BCD4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,若存在自然数p≥10,使得Sp=ap,则当n>p时,Sn与an的大小关系是().A.an>Sn B.an≥SnC.an<Sn D.an≤Sn解析:设数列{an}的公差为d.∵Sp=ap,∴Spap=0,即Sp1=0.∵a1>0,∴d<0.Sn=d2n2+a1d2n,an=dn+(a1d).作出y=d2x2+a1-d2x,y=dx+(第4题)由图象可知,当n>p时,an>Sn.答案:A5.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lga1,lga2,lga4也成等差数列,若a5=10,则S5=.

解析:设{an}的公差为d,则d≠0.由lga1,lga2,lga4也成等差数列,得2lga2=lga1+lga4,∴a22=a1a即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.又d≠0,故d=a1,∴a5=5a1=10,∴d=a1=2,∴S5=5a1+5×42×答案:306.已知{an}是整数组成的数列,a1=1,且点(an,an+1)(n∈N+)在函数y=x2+1的图象上(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bnbn+2<(1)解:由已知得an+1=an+1,∴数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列,∴an=1+(n1)·1=n.(2)证明bn+1bn=2an=2n,bn=(bnbn1)+(bn1bn2)+…+(b2b1)+b1=2n1+2n2+2n3+…+2+1=1-2n1-当n=1时也符合,∴bn=2n1.∵bnbn+2bn+12=(2n1)(2n+21)(2n+11)2=5·2n+4·2n=2n<0,∴bnbn+27.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令b