计量经济学（第3版）课件：时间序列分析

时间序列分析(TimeSeriesAnalysis)第一节时间序列分析的基本概念

经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的变量的均值和方差是常数，不随时间而变。然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪回归”问题(‘spurious’regressionproblem)。为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量的非平稳性(non-stationarity)的系统性检验和协整(cointegration)。协整

协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计量经济学领域最具革命性的进展。

简单地说，协整分析涉及的是一组变量，它们各自都是不平稳的（含义是随时间的推移而上行或下行），但它们一起漂移。这种变量的共同漂移使得这些变量之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研究经济变量间的长期均衡关系。如果这些长时间内的线性关系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的”。误差修正模型一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的关系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态模型的设定、估计和检验的一种新技术。此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计，这是因为短期参数的估计可以通过协整方法使用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型(errorcorrectionmodel)。

在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一些术语和定义。一．平稳性（Stationarity）严格平稳性(strictstationarity)

如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而变，即对于任何n和k，X1,X2,…Xn的联合概率分布与X1+k,X2+k,…Xn+k

的联合分布相同，则称该时间序列是严格平稳的。由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用随机变量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替之，即所谓的“弱平稳性”。2.弱平稳性(weakstationarity)一个时间序列是“弱平稳的”，如果：（1）均值E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）（2）方差Var(Xt)=E(Xt-μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）（3）协方差

Cov(Xt,Xt+k）=E[(Xt-μ)(Xt+k-μ)]＝rk，

t=1,2,…，k≠0（7.3）3.平稳性和非平稳性通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳性。一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差仅依赖于两时期之间的距离（间隔或滞后）k，而与计算这些协方差的实际时期t无关，则该时间序列是平稳的。只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。例如，在图7.1中，某国的私人消费（CP）和个人可支配收入（PDI）这两个时间序列都有一种向上的趋势，几乎可以断定它们不满足平稳性条件（7.1），因而是非平稳的。二．几种有用的时间序列模型1、白噪声（Whitenoise）白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足:（1） E(εt)=0,对所有t成立；（2） Var(εt)=σ2，对所有t成立；（3） Cov(εt,εt+k)=0，对所有t和k≠0成立。白噪声可用符号表示为：

εt～IID(0,σ2)（7.4）注：这里IID为IndependentlyIdenticallyDistributed（独立同分布)的缩写。2、随机漫步（Randomwalk）随机漫步是一个简单随机过程，由下式确定：

Xt=Xt－1+εt

（7.5）其中εt为白噪声。

Xt的均值：

E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt－1)+E(εt)=E(Xt－1)

这表明Xt的均值不随时间而变。

为求Xt的方差，对（7.5）式进行一系列置换：

Xt=Xt－1+εt=Xt－2+εt-1+εt=Xt－3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt

其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初值为0，则

这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件（7.2）不满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。可是，若将（7.5）式Xt=Xt－1+εt写成一阶差分形式：

ΔXt=εt

（7.6)

这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等于白燥声εt，而后者是平稳时间序列。3、带漂移项的随机漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt

（7.7）其中μ是一非0常数，εt为白燥声。

μ之所以被称为“漂移项”，是因为（7.7）式的一阶差分为

ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt

这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序列也是非平稳时间序列。4、自回归过程随机漫步过程（7.5）（Xt=Xt－1+εt）是最简单的非平稳过程。它是

Xt=φXt－1+εt

（7.8）的特例，（7.8）称为一阶自回归过程(AR(1))，该过程在－1＜φ＜1时是平稳的，其他情况下，则为非平稳过程。

更一般地，（7.8）式又是

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt

（7.9）的特例，（7.9）称为q阶自回归过程(AR(q))。可以证明，如果特征方程

1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq

=0（7.10）的所有根的绝对值均大于1，则此过程（7.9）是平稳的，否则为非平稳过程。三．单整的时间序列（Integratedseries）

从（7.6）可知，随机漫步序列的一阶差分序列ΔXt=Xt－Xt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原非平稳序列Xt是“一阶单整的”，表示为I(1)。与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”，表示为I(2)。一般地，若一个非平稳序列必须取d阶差分才变为平稳序列，则原序列是“d阶单整的”(Integratedoforderd)，表示为I(d)。由定义不难看出，I(0)表示的是平稳序列，意味着该序列无需差分即是平稳的。另一方面，如果一个序列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非单整的”。

第二节平稳性的检验平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。前者使用自相关函数(Autocorrelationfunction)，后者使用单位根(Unitroots)。单位根方法是目前最常用的方法，因此本节中，我们仅介绍单位根方法。一．单位根考察（7.8）式的一阶自回归过程，即

Xt=φXt－1+εt

（7.11）其中εt为白噪声，此过程可写成

Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt

（7.12）其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后，如Xt

的一期滞后可表示为L(Xt），即

L(Xt）=Xt－1

由上节所知，自回归过程Xt平稳的条件是其特征方程的所有根的绝对值大于1。由于这里特征方程为1－ΦL=0，该方程仅有一个根L=1/φ，因而平稳性要求－1＜φ＜1。因此，检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为：

H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1

接受原假设H0表明Xt是非平稳序列，而拒绝原假设（即接受备择假设Ha）则表明Xt是平稳序列。实践中，上述原假设和备择假设采用如下形式：这是因为，首先，可以假设，因为绝大多数经济时间序列确实如此；其次，意味着是爆炸性的，通常不予考虑，这意味着备择假设实际上是。单位根检验方法的由来

在Φ=1的情况下，即若原假设为真，则（7.11）就是随机漫步过程（7.5），从上节得知，它是非平稳的。因此，检验非平稳性就是检验Φ=1是否成立，或者说，就是检验单位根是否存在。换句话说，单位根是表示非平稳性的另一方式。这样一来，就将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。（7.11）式Xt=φXt－1+εt两端各减去Xt-1，我们得到

Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt

（7.13）其中Δ是差分运算符，δ=Φ－1。前面的假设

H0：φ=1Ha：φ＜1

可写成如下等价形式：

H0：δ=0Ha：δ＜0

在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程是非平稳的。换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1或δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性的问题简化成在方程（7.11）的回归中，检验参数Φ=1是否成立或者在方程（7.13）的回归中，检验参数δ=0是否成立。这类检验可用t检验进行，检验统计量为：

或（7.14）其中，和分别为参数估计值和的标准误差，即这里的问题是，（7.14）式计算的t值不服从t分布，而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。二．Dickey-Fuller检验（DF检验）迪奇（Dickey）和福勒（Fuller）以蒙特卡罗模拟为基础，编制了（7.14）中tδ统计量的临界值表，表中所列已非传统的t统计值，他们称之为τ统计值。这些临界值如表7.1所示。后来该表由麦金农（Mackinnon）通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。

有了τ表，我们就可以进行DF检验了，DF检验按以下两步进行：第一步：对（7.13）式执行OLS回归，即估计

△Xt=δXt-1+εt

（7.15）得到常规tδ值。第二步：检验假设

H0：δ=0Ha：δ＜0

用上一步得到的tδ值与表7.1中查到的τ临界值比较，判别准则是：若tδ>τ，则接受原假设H0，即Xt非平稳。若tδ＜τ，则拒绝原假设H0，Xt为平稳序列。Dickey和Fuller注意到τ临界值依赖于回归方程的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程中相对应的τ统计表，这两类方程是：

△Xt=α+δXt-1+εt

（7.16）和

△Xt=α+βt+δXt-1+εt（7.17）二者的τ临界值分别记为τμ和τT。这些临界值亦列在表7.1中。尽管三种方程的τ临界值有所不同，但有关时间序列平稳性的检验依赖的是Xt-1的系数δ，而与α、β无关。(7.17)式通常用于有明确时间趋势的序列的单位根检验.

在实践中，经济数据一般不用（7.15）式那样的无常数项的形式。带漂移项的时间序列通常采用（7.17）式，而不带漂移项的时间序列采用（7.16）式。例7.1检验某国私人消费时间序列的平稳性。

用表7.2中的私人消费（Ct）时间序列数据，估计与（7.16）和（7.17）相对应的方程，分别得到如下估计结果：(1)△=12330.48-0.01091Ct-1R2=0.052(t:)(5.138)(-1.339)DW=1.765(2)△=15630.83+346.4522t-0.04536Ct-1R2=0.057(t:)(1.966)(0.436)(-0.5717)DW=1.716

两种情况下，tδ值分别为-1.339和-0.571，二者分别大于表7.1中从0.01到0.10的各种显著性水平下的τμ值和τT值。因此，两种情况下都不能拒绝原假设，即私人消费时间序列有一个单位根，或换句话说，它是非平稳序列。

下面看一下该序列的一阶差分（△Ct）的平稳性。做类似于上面的回归，得到如下结果：(3)△2=7972.671-0.85112△Ct-1R2=0.425(t:)(4.301)(-4.862)DW=1.967(4)△2=10524.35-114.461t-0.89738△Ct-1R2=0.454(t:)(3.908)(-1.294)(-5.073)DW=1.988其中△2Ct=△Ct-△Ct-1。

两种情况下，tδ值分别为-4.862和-5.073，二者分别小于表7.1中从0.01到0.10的各种显著性水平下的τμ值和τT值。因此，都拒绝原假设，即私人消费一阶差分时间序列没有单位根，或者说该序列是平稳序列。综合以上结果，我们的结论是：

△Ct是平稳序列，△Ct～I(0）。而Ct是非平稳序列，由于△Ct～I(0），因而

Ct～I(1）。ADF检验

ADF检验的全称是扩展的迪奇－福勒检验（AugmentedDickey-Fullertest）,它是DF检验的扩展，适用于扰动项服从平稳的AR(P)过程的情形。ADF与DF检验的区别是在（7.13）式中增加若干个的滞后项作为解释变量，即要回归的方程变为

要检验的当然还是的系数是否为0，检验的临界值和拒绝法则与DF检验相同。

在方程（7.18）中应当包括多少个滞后变动项，并无硬性的标准。一般做法是包括尽可能多的的滞后项，当然也不能太多，因为会影响自由度。实践中可根据数据的频率和样本的规模来选择p。对于年度数据，一、两个滞后即可，月度数据，可考虑取p＝12。第三节协整

让我们考察弗里德曼的持久收入假设：私人总消费（Ct）是持久私人消费和暂时性私人消费（εt）之和，持久私人消费与持久个人可支配收入（Yt）成正比。则消费函数为：

其中0＜β1≤1。用表7.2中数据对此消费函数进行OLS估计，假定持久个人收入等于个人可支配收入，我们得到：

=0.80969YtR2=0.9924(t:)(75.5662)DW=0.8667

除DW值低以外，估计结果很好。t值很高表明回归系数显著，R2也很高，表明拟合很好。可是，由于方程中的两个时间序列是趋势时间序列或非平稳时间序列，因此这一估计结果有可能形成误导。结果是，OLS估计量不是一致估计量，相应的常规推断程序不正确。格兰杰（Granger）和钮博尔德（Newbold）在1974年发表的论文“SpuriousRegressioninEconometrics”中对此进行了深入研究。

文中指出，如果和是相互独立的随机漫步时间序列，那么由于和相互独立，在的回归中的估计值应当接近于0，相应的t统计值应当不显著。但事实上Granger和Newbold发现，在100次回归试验中（样本大小为50），的有23次的有24次的有53次本应不显著的t统计值在大多数回归中却是显著的！Granger和Newbold把这种现象称为伪回归（SpuriousRegression），因为这类回归发现两个时间序列显著相关而实际它们根本不相关。

他们进一步指出，如果在时间序列的回归中DW值低于R2，则应怀疑有伪回归的可能。我们上面的结果正是如此（R2=0.9924>DW=0.8667）。

考虑到经济学中大多数时间序列是非平稳序列，则我们得到伪回归结果是常见的事。避免非平稳性问题的常用方法是在回归中使用时间序列的一阶差分。可是，使用变量为差分形式的关系式更适合描述所研究的经济现象的短期状态或非均衡状态，而不是其长期或均衡状态，描述所研究经济现象的长期或均衡状态应采用变量本身。

由上面的讨论，自然引出了一个明显的问题：我们使用非均衡时间序列时是否必定会造成伪回归？对此问题的回答是，如果在一个回归中涉及的趋势时间序列“一起漂移”，或者说“同步”，则可能没有伪回归的问题，因而取决于t检验和F检验的推断也没有问题。这种非均衡时间序列的“同步”，引出了我们下面要介绍的“协整”概念。一．协整的概念

在方程（7.18）中，持久收入假设要求两时间序列Ct和Yt的线性组合，即时间序列Ct－β1Yt必须是平稳的，这是因为此序列等于εt，而暂时性私人消费（εt）按定义是平稳时间序列。可是，Ct和Yt都是非平稳时间序列，事实上，不难验证：Ct～I(1），Yt～I(1）。也就是说，尽管Ct～I(1），Yt～I(1），但持久收入假设要求它们的线性组合εt=Ct－β1Yt是平稳的，即εt=Ct－β1Yt～I(0）。在这种情况下，我们说时间序列Ct和Yt是协整的(Cointegrated)。下面给出协整(Cointegration)的正式定义。协整的定义

如果两时间序列Yt～I(d)，Xt～I(d)，并且这两个时间序列的线性组合a1Yt+a2Xt

是(d-b)阶单整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b)（d≥b≥0），则Yt

和Xt被称为是（d,b）阶协整的。记为

Yt,Xt～CI(d,b)这里CI是协整的符号。构成两变量线性组合的系数向量（a1，a2）称为“协整向量”。

下面给出本节中要研究的两个特例。

1、 Yt,Xt～CI(d,d）在这种情况下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(0），即两时间序列的线性组合是平稳的，因而Yt,Xt～CI(d,d）。

2、 Yt,Xt～CI(1,1)

在这种情况下，d=b=1，同样有a1Yt+a2Xt～I(0)，即两时间序列的线性组合是平稳的，因而

Yt,Xt～CI(1,1）。

让我们考虑下面的关系

Yt=β0+β1Xt

（7.19）

其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。当0=Yt－β0－β1Xt时，该关系处于长期均衡状态。对长期均衡的偏离，称为“均衡误差”，记为εt：

εt=Yt－β0－β1Xt

若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值0波动。也就是说，均衡误差εt应当是一个平稳时间序列，即应有

εt～I(0），E(εt）=0。按照协整的定义，由于

Yt～I(1），Xt～I(1），且线性组合

εt=Yt－β0－β1Xt～I(0）因此，Yt

和Xt是（1，1）阶协整的，即

Yt，Xt～CI(1,1）协整向量是（1,－β0,－β1）

综合以上结果，我们可以说，两时间序列之间的协整是表示它们之间存在长期均衡关系的另一种方式。因此，若Yt

和Xt是协整的,并且均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信，方程

Yt=β0+β1Xt+εt

（7.20）将不会产生伪回归结果。由上可知，如果我们想避免伪回归问题，就应该在进行回归之前检验一下所涉及的变量是否协整。二．协整的检验

我们下面介绍用于检验两变量之间协整的两种简单方法。1、Engle-Granger法步骤1.用上一节介绍的单位根方法求出两变量的单整的阶，然后分情况处理,共有三种情况：（1） 若两变量的单整的阶相同，进入下一步；（2） 若两变量的单整的阶不同，则两变量不是协整的；（3） 若两变量是平稳的，则整个检验过程停止，因为你可以采用标准回归技术处理。

步骤2.

若两变量是同阶单整的，如I(1），则用OLS法估计长期均衡方程（称为协整回归）：

Yt=β0+β1Xt+εt并保存残差et，作为均衡误差εt的估计值。

应注意的是，虽然估计出的协整向量（1，－，－）是真实协整向量（1，－β0，－β1）的一致估计值，这些系数的标准误差估计值则不是一致估计值。由于这一原因，标准误差估计值通常不在协整回归的结果中提供。步骤3.

对于两个协整变量来说，均衡误差必须是平稳的。为检验其平稳性，对上一步保存的均衡误差估计值（即协整回归的残差et）应用单位根方法。具体作法是将Dickey—Fuller检验法用于时间序列et，也就是用OLS法估计形如下式的方程：

△et=δet-1+νt

（7.21）

有两点须提请注意：（1）（7.21）式不包含常数项，这是因为OLS残差et应以0为中心波动。（2）Dickey—Fullerτ统计量不适于此检验，表7.3提供了用于协整检验的临界值表。

由表7-3中可见，Ct和Yt都是非平稳的，而ΔCt和ΔYt都是平稳的。这就是说，

Ct～I(1），Yt～I(1）因而我们可以进入下一步。

第四步，得出有关两变量是否协整的结论。用tδ＝－3.150与表7－3中的临界值相比较（m=2），采用显著性水平α=0.05，tδ大于临界值τ，因而接受et非平稳的原假设，意味着两变量不是协整的，我们不能说在私人消费和个人可支配收入之间存在着长期均衡关系。可是，如果采用显著性水平α=0.10，则－3.150与表7－3中的临界值大致相当，因而可以预期，若α=0.11，tδ将小于临界值τ，我们接受et为平稳的备择假设，即两变量是协整的，或者说两变量之间存在着长期均衡关系。2、Durbin-Watson法

此方法非常简单，步骤如下：步骤1.估计协整回归方程

Yt=β0+β1Xt+εt

保存残差et，计算DW统计值（现称为“协整回归”Durbin—Watson统计值（CRDW）），即

CRDW=

其中为残差的算术平均值。步骤2.

根据下述原假设和备择假设得出有关两变量协整的结论：

H0：et非平稳，即非协整

H1：et平稳，即协整若CRDW＜d，则接受原假设H0；若CRDW＞d，则拒绝原假设H0。这里原假设成立的临界d值为d=0，对应于显著性水平为0.01，0.05和0.10的临界值分别为0.511，0.386和0.322。例7.3某国私人消费和个人可支配收入的协整

将CRDW应用于上例。第一步：由上例中（7.26）式知CRDW=1.021

第二步：因为CRDW=1.021大于上面提到的临界值,

故拒绝原假设，接受备择假设，因此得出结论：私人消费和个人可支配收入可以协整。*第四节误差修正模型（ECM）

协整分析中最重要的结果可能是所谓的“格兰杰代表定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果两变量Yt和Xt是协整的，则它们之间存在长期均衡关系。当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的，扰动项是均衡误差εt。两变量间这种短期不均衡关系的动态结构可以由误差修正模型（errorcorrectionmodel）来描述，ECM模型是由Sargan提出的。这一联系两变量的短期和长期行为的误差修正模型由下式给出：

ΔYt=滞后的（ΔYt，ΔXt）+λεt-1+vt

（7.28）－1＜λ＜0

其中Yt～I(1），Xt～I(1）

Yt

，Xt～CI(1，1）

εt=Yt－β0－β1Xt～I（0）

vt=白噪声，λ为短期调整系数。（7.28）式是ECM模型的一般形式，实践中可根据情况建立具体的ECM模型。最简单的是一阶ECM模型，形式如下：不难看出，在（7.28）中，所有变量都是平稳的，因为

Yt～I(1),Xt～I(1)

ΔYt～I(0),ΔXt～I(0)Yt,Xt～CI(1,1)

εt～I(0))因此，有人或许会说，该式可用OLS法估计。但事实上不行，因为均衡误差εt不是可观测变量。因而在估计该式之前，要先得到这一误差的值。Engle和Granger建议采用下述两步方法估计方程(7.28):第一步：估计协整回归方程

Yt=β0+β1Xt+εt得到协整向量的一致估计值（1，－，－），用它得出均衡误差εt的估计值

et=Yt－－Xt第二步：用OLS法估计下面的方程

ΔYt=滞后的（ΔYt,ΔXt）+λet-1+vt

（7.29）一、误差修正模型的估计：两步法例7.4估计某国私人消费和个人可支配收入之间的误差修正模型。第一步：由例7.2中7.26式协整回归的结果：

=11907.23+0.779585Yt(7.30)(t:)(3.123)(75.566)R2=0.994DW=1.021

我们得到残差et。

第二步：估计误差修正模型，结果如下：

=5951.557+0.28432ΔYt－

0.19996et-1(7.31)(t:)(7.822)(6.538)(－2.486)R2=0.572DW=1.941

（7.31）中的结果表明个人可支配收入Yt的短期变动对私人消费存在正向影响。此外，由于短期调整系数是显著的，表明每年实际发生的私人消费与其长期均衡值的偏差中的20%（0.19996）被修正。二、误差修正模型的估计：动态建模方法

以韩德瑞(D.F.Hendry)为代表的动态建模方法（也称为伦敦经济学院(LSE)方法）指出自回归分布滞后模型（ADL）是最通用的线性模型形式。当变量为非平稳时间序列时ADL模型尤为适用，因为只要模型包括了足够多的滞后项，就一定能摆脱单位根的困扰。当变量间存在协整关系时，EC