2025届广东省汕头市潮南实验学校高三一诊考试数学试卷含解析

2025届广东省汕头市潮南实验学校高三一诊考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．2．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（）A． B． C． D．3．已知集合，，若，则（）A．4 B．－4 C．8 D．－84．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（）A．的值域是 B．是奇函数C．是周期函数 D．是增函数5．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．36．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．58．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（）A． B．C． D．9．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（）A．正相关，相关系数的值为B．负相关，相关系数的值为C．负相关，相关系数的值为D．正相关，相关负数的值为10．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）A． B． C． D．11．设，，，则（）A． B． C． D．12．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________．14．设数列的前n项和为，且，若，则______________.15．在中，内角的对边分别是，若，，则____.16．已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；（2）为的导函数，当，时，求证：．18．（12分）中，内角的对边分别为，.（1）求的大小；（2）若，且为的重心，且，求的面积.19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.21．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积.22．（10分）已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.2、B【解析】

①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断.【详解】若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.3、B【解析】

根据交集的定义，，可知，代入计算即可求出.【详解】由，可知，又因为，所以时，，解得.故选：B.【点睛】本题考查交集的概念，属于基础题.4、C【解析】

根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.5、A【解析】，故，故选A.6、D【解析】

通过列举法可求解，如两角分别为时【详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题7、A【解析】

根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.【详解】，，对任意的，存在实数满足，使得，易得，即恒成立，，对于恒成立,设，则，令，在恒成立，，故存在，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增.,将代入得：，，且，故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.8、A【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．【详解】由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，设是的中心，则平面，，，外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，∴，解得，球体积为．故选：A．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．9、C【解析】

根据正负相关的概念判断．【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．故选：C．【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．10、D【解析】

根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数，则，所以.又的图象关于直线对称可得，，即，，由函数的单调区间知，，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.11、A【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】，，，因此，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.12、B【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14、9【解析】

用换中的n，得，作差可得，从而数列是等比数列，再由即可得到答案.【详解】由，得，两式相减，得，即；又，解得，所以数列为首项为-3、公比为3的等比数列，所以.故答案为：9.【点睛】本题考查已知与的关系求数列通项的问题，要注意n的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.15、【解析】

由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：.由故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16、【解析】

作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）极大值，极小值；（2）详见解析.【解析】

首先确定函数的定义域和；（1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论.【详解】由题意得：定义域为，，（1）当时，，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.（2）要证：，即证：，即证：，化简可得：．，，即证：，设，令，则，在上单调递增，，则由，从而有：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理，转化为，分析运算即得解；（2）由为的重心，得到，平方可得解c,由面积公式即得解.【详解】（1）由，由正弦定理得C，即∴∵∴，又∵∴（2）由于为的重心故，∴解得或舍∴的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）．．（2）最大距离为．【解析】

（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线的参数方程为，设，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】（1）由，得，则曲线的直角坐标方程为，即．直线的直角坐标方程为．（2）可知曲线的参数方程为（为参数），设，，则到直线的距离为，所以线段的中点到直线的最大距离为．【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.20、（1）；（2）不能，理由见解析【解析】

（1）设，则，由此即可求出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案．【详解】解：（1）设，则，，所以椭圆方程为；（2）设直线的方程为，与联立得，∴，因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为，设直线的方程为，联立整理得，，所以关于对称，由正弦定理得，因为,所以，由上得，假设存在直线满足题意，设，按某种排列成等比数列，设公比为，则，所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符，所以不存在满足题意的直线．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．21、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.在中，.在中，由正弦定理得，所以.所以的面积.22、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为