2024-2025学年山东省临沂市高二上学期学科素养水平监测数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年山东省临沂市高二上学期学科素养水平监测数学检测试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.3.已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（）A. B. C. D.4若圆与圆有3条公切线，则（）A.5 B.4 C.3 D.25.空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.7 D.6.若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（）A.1 B.2 C. D.47.若，两点到直线的距离相等，则（）A B. C.2或 D.2或8.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（）A. B.C. D.10.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（）A.当时，的方程是B.当时，以为直径的圆与的公共弦长为C.当时，圆的圆心在线段的延长线上D.以为直径圆始终与相交11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（）A.椭圆的中心在直线上B.C.直线与椭圆所在平面所成的角为D.椭圆的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点是点在坐标平面内的射影，则________.13.若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是________.14.《九章算术》中记录“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为________，异面直线与所成角的余弦值为_______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，.（1）试用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.16.已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点.（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程.17.如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，中点，是与的交点.（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.18.在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.）（1）求的方程；（2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点.19.已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义，若两点，，满足，称点，在曲线的同侧；，称点，在曲线的两侧.（1）若曲线，判断，两点在曲线的同侧还是两侧；（2）已知曲线，为坐标原点，求点集所构成图形的面积；（3）记到点与到轴的距离之和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点，在曲线两侧，求曲线的方程和实数的取值范围2024-2025学年山东省临沂市高二上学期学科素养水平监测数学检测试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角.【详解】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为.故选：D.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】把方程化为椭圆标准方程即可得到结果.【详解】由得椭圆标准方程为，∴，∴离心率.故选：B.3.已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.两个向量平行，则它们对应坐标成比例，我们可以根据这个性质来求解的值.【详解】因为，所以与平行.对于两个平行向量和，根据向量平行的性质，它们对应坐标成比例，即.由，交叉相乘可得，解得.故选：A.4.若圆与圆有3条公切线，则（）A.5 B.4 C.3 D.2【正确答案】A【分析】若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和来求解的值.【详解】圆，其圆心坐标为，半径.圆，其圆心坐标为，半径.因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距.根据两点间距离公式，圆心与的距离.又因为，即.移项可得.两边平方可得，解得.故选：A.5.空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.7 D.【正确答案】D【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积.【详解】因为，，，所以，，所以，，，所以，因为，所以，所以，以，为邻边的平行四边形的面积为.故选：D6.若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（）A.1 B.2 C. D.4【正确答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离.【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径.根据点到直线的距离公式，则.根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.由勾股定理，当取最小值时，最小，此时.故选：B.7.若，两点到直线的距离相等，则（）A. B. C.2或 D.2或【正确答案】C【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，得，解得或，即实数的值为或.故选：C8.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出与的关系，然后通过向量关系求出.【详解】对于椭圆，可得，.可求出，所以焦点，.设，，在中，根据余弦定理.已知，，则.又因为点在椭圆上，根据椭圆的定义，将展开得.用减去可得：即则.代入中，可得.因为，所以..则，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】对截距分类讨论，利用截距式及其斜率计算公式即可得出．【详解】当直线经过原点时，可得直线方程为：，即．当直线不经过原点时，可设的直线方程为：，把点代入可得：，可得．综上可得：直线的方程为：或．故选：BC．10.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（）A.当时，的方程是B.当时，以为直径的圆与的公共弦长为C.当时，圆的圆心在线段的延长线上D.以为直径的圆始终与相交【正确答案】ACD【分析】根据题意设，由可得轨迹，当时，可得轨迹的方程，根据圆与圆的位置关系确定相交弦长从而可判断A，B；根据圆心的坐标确定与，坐标关系即可判断C；分别判断与时，圆的端点在圆内还是外即可判断圆与圆的位置，从而判断D.【详解】设，因为，，则，整理得点的轨迹为为，对于A，B，当时，的方程是，故A正确；此时圆心，半径，又以为直径的圆圆心为，半径为2，圆的方程为，所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为：，故公共弦长，故B不正确；对于C，由于方程为，则此时圆心坐标为，当时，，则圆的圆心在线段的延长线上，故C正确；对于D，由于以为直径的圆方程为，圆的圆心为，半径为，当时，，因为圆的圆心在线段的延长线上，又，则，，故点在圆内，在圆外，即此时以为直径的圆始终与相交；当时，，的圆心在线段的延长线上，又，，则，，故点在圆外，在圆内，即此时以为直径的圆始终与相交；综上，以为直径的圆始终与相交，故D正确.故选：ACD.11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（）A.椭圆的中心在直线上B.C.直线与椭圆所在平面所成的角为D.椭圆的离心率为【正确答案】BD【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误；椭圆长轴长，过作于D，连，显然四边形为矩形，又，则，过作交延长线于C，显然四边形为矩形，椭圆焦距，故B正确；所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误；所以椭圆的离心率，故D正确；故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点是点在坐标平面内的射影，则________.【正确答案】【分析】由题意可得，结合空间向量模的坐标表示即可求解.【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以，得，所以.故13.若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是________.【正确答案】【分析】求圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系列不等式，求解即可得的取值范围.【详解】圆心到直线的距离为，若圆上恰有个点到直线的距离等于，所以，则，解得。所以的取值范围是.故答案为.14.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为________，异面直线与所成角的余弦值为_______【正确答案】①.2②.##0.2分析】利用面面垂直得线面垂直，建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用空间向量解决线面角和线线角问题.【详解】过点作的垂线，垂足分别为，则.由四边形，均为等腰梯形得，，.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，∴,由题意得，平面的法向量为.设与平面所成角为，则，由得，，∴.∵，∴异面直线与所成角的余弦值为.故答案：2；.思路点睛：本题考查立体几何综合问题，具体思路如下：（1）过点作的垂线，垂足分别为，由得.（2）由平面平面得平面，.（3）以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用空间向量解决线面角和线线角问题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，.（1）试用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解；（2）用，，表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可.【小问1详解】【小问2详解】，，.16.已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点.（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程.【正确答案】（1）（2），.【分析】（1）设出过圆与圆的交点的圆系方程，得到圆心后代入直线中计算即可得；（2）由题意可得直线所过定点，再借助垂径定理即可得，再求出的圆心关于直线的对称点的坐标即可得解.【小问1详解】设经过圆与圆的交点的圆的方程为：，即为，圆心为，代入得，，所以方程为；【小问2详解】由得，所以直线经过与的交点，由，得交点，所以当时最短，因为，所以，解得，即直线的方程为由（1）得，半径，设圆心关于直线的对称点，则，解得，所以关于对称的圆的方程为.17.如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，是与的交点.（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根据给定的几何体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求求解.（2）由（1）中信息，利用空间位置关系的向量证明推理得解.【小问1详解】在直三棱柱中，，，以为原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的法向量为m=x1,y1,z所以点到平面的距离.【小问2详解】由（1）知，，设，则，，平面的一个法向量为，由，得，而平面，所以存在点，当时，平面.18.在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.）（1）求的方程；（2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线