专题08角度中的动态模型(原卷版+解析)

专题08角度中的动态模型角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。【知识储备】1、角度旋转模型解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。2、常见的三角板旋转模型：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。模型1、旋转中的求值模型例1．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）已知，，，分别是，的平分线．(1)如果，重合，且在的内部，如图1，求的度数；(2)如果将图1中的绕点顺时针旋转，如图2．则______（用含的式子表示）；(3)如果的位置和大小不变，的边的位置不变，改变的大小，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，求的度数（用含m的式子表示）．例2.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）模型2、旋转中的定值模型例1．（2023·安徽池州·七年级期末）已知，求：（1）如图1，为内部任意一条射线，平分，平分，求_____．（2）如图2，当旋转到的外部时，的度数会发生变化吗？请说明原因；（3）如图3，当旋转到（）的外部且射线在的下方时，平分，射线在内部，，求的值？例2．（2023•碑林区七年级月考）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）例1．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；(2)作射线，射线为的平分线，设．①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；②当时，请探究与之间的数量关系．例2．（2023·金堂县七年级月考）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=°；(2)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；(3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．模型4、旋转中的分类讨论模型例1．（2023·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．例2．（2023·四川成都·七年级期末）如图，点O为直线MN上一点，将一等腰直角三角板AOB置于直线MN上方，∠A＝90°且将其一锐角顶点与点O重合，射线OP平分∠AON，设∠AOM＝α．(1)若α＝30°，则∠PON的度数为______；(2)若0°＜α＜90°，求∠BOP的度数（用含α的代数式表示）；(3)若0°＜α＜180°，在射线OB，OP，ON中，当其中一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，求α的值．课后专项训练1．（2022秋·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．（1）如图1，若，则；（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．①则；②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为．2．（2023·浙江七年级期中）如图所示，已知，是的平分线，、分别平分、．（1）求的度数；（2）若将绕点旋转到的外部，、仍是、的角平分线，问：的大小是否会改变？3．（2022秋·浙江绍兴·七年级统考期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．(1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数．(2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值．

4．（2022•罗湖区七年级期中）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．5．（2022•商城县七年级期中）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．①则当旋转时间t＝秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．6．（2022·浙江嵊州市·七年级期中）已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒（1）当秒时，求；（2）当，求的值；（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．7．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．(1)当t=12时，∠AOB=°．(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．8．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．(1)当t=12时，∠AOB=°．(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．9．（2022·浙江·杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）10．（2022·浙江镇海区·七年级期中）已知：如图，在内部有（）．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，平分，平分，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．11．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．(1)当时，求的度数；(2)若．①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．12．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）已知，，OM，ON分别是和的平分线．(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，为直角？(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．13．（2022•历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．14．（2022·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．(1)当时，求的度数；(2)当时，则______（用含的式子表示）；(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）15．（2022·山东日照·七年级期末）如图1，O为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若恰好平分（如图2），试说明平分；(2)将三角板绕点O在直线上方顺时针旋转，当落在内部，且时，求的度数；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点O，分别以每秒和每秒的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一条直线上？16．（2022•金华七年级期中）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．17．（2022·河北唐山·七年级期末）如图1，以直线上一点O为端点作射线，使．将一个直角三角板的直角顶点O放在直线上的点O处，边放在射线上．(1)__________；(2)如图2，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动，当射线恰好平分时，求的度数；(3)如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．18．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线．

(1)求图1中的度数．(2)如图2，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，在转动过程中三角板一直处于直线的上方．①当时，求旋转角的值；②在转动过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．19．（2023·浙江·七年级期中）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为．（1）用含t的代数式表示：_______，_______．（2）在运动过程中，当时，求t的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角（大于而小于）？20．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．(1)如图2，若，则______，______；(2)若射线是的角平分线，且．①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）②在旋转过程中，若，则此时______．

专题08角度中的动态模型角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。【知识储备】1、角度旋转模型解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。2、常见的三角板旋转模型：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。模型1、旋转中的求值模型例1．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）已知，，，分别是，的平分线．(1)如果，重合，且在的内部，如图1，求的度数；(2)如果将图1中的绕点顺时针旋转，如图2．则______（用含的式子表示）；(3)如果的位置和大小不变，的边的位置不变，改变的大小，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，求的度数（用含m的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据角平分线的定义得：，，相减可得的度数；（2）根据角的和差，即可计算即可；（3）根据角的和差计算即可．【详解】（1）解：如图1平分，，，∵平分，，，．（2）解：由（1）可知，，，∵，，．故答案为：；（3）理由：∵，，，∴，∵平分，∴，∵，∴【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义、角的和差计算等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差进行角度计算，属于中考常考题型．例2.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分【解析】（1），∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒（2）度∵，平分，∴∴，∴解得：秒（3）如图：∵，由题可设为，为，∴∵，，解得：秒答：经过秒平分．模型2、旋转中的定值模型例1．（2023·安徽池州·七年级期末）已知，求：（1）如图1，为内部任意一条射线，平分，平分，求_____．（2）如图2，当旋转到的外部时，的度数会发生变化吗？请说明原因；（3）如图3，当旋转到（）的外部且射线在的下方时，平分，射线在内部，，求的值？【答案】（1）；（2）的度数不变，（3）．【分析】（1）由平分，平分，得，，利用角的和差，由可求即可；（2）的度数不变，根据平分，平分，可求，由，可求即可；（3）又可得，由平分，得计算和差，由可求．【详解】（1）∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，故答案为：；（2）的度数不变，理由如下，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，∴的度数不变；（3）∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查角的和差倍分的计算，涉及角平分线，掌握角平分线定义，以及角的和差计算方法是解题关键．例2．（2023•碑林区七年级月考）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∴∠MOC＝∠MOB=12∠又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD=12∠∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．模型3、旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）例1．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；(2)作射线，射线为的平分线，设．①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；②当时，请探究与之间的数量关系．【答案】(1)，理由见解析(2)①②【分析】（1）根据，，即可确定两个角的大小；（2）①根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可；②分两种情况：当时，当时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．【详解】（1）解：，理由如下：，，，又，；（2）①恰好平分，，，为的平分线，，，，，，；②分情况讨论：当时，，，为的平分线，，，；当时，，，为的平分线，，，；综上所述，．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．例2．（2023·金堂县七年级月考）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=°；(2)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；(3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）20；（2）20º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．分析：（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；（3）∠COE﹣∠BOD=20°，理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．点睛：本题考查了角的综合计算，能根据图形和已知条件求出各个角之间的关系是解此题的关键．模型4、旋转中的分类讨论模型例1．（2023·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【答案】(1)30°(2)(3)分钟【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；（2）根据题意分类讨论，分为射线OC在∠AOB内部和外部两种情况计算即可；（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=∠AOB增加的度数，建立方程解出答案即可．（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴；（2）当射线OC在∠AOB内部时，如图所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴，∴；当射线OC在∠AOB外部时，如图所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴，∴；综上所述，∠MON的度数为；（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴设经过x分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°，∵分针OB的运动速度为每分钟转动：，时针OA的运动速度为每分钟转动：，∴，解得，所以经过分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键．例2．（2023·四川成都·七年级期末）如图，点O为直线MN上一点，将一等腰直角三角板AOB置于直线MN上方，∠A＝90°且将其一锐角顶点与点O重合，射线OP平分∠AON，设∠AOM＝α．(1)若α＝30°，则∠PON的度数为______；(2)若0°＜α＜90°，求∠BOP的度数（用含α的代数式表示）；(3)若0°＜α＜180°，在射线OB，OP，ON中，当其中一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，求α的值．【答案】(1)75°(2)45°-α(3)120°或150°【分析】（1）利用平角180°减去α，先求出∠AON，然后再利用角平分线的定义求出∠PON即可；（2）利用平角180°减去α，先求出∠AON，然后再利用角平分线的定义求出∠AOP，最后利用∠AOP减去45°即可解答；（3）分三种情况，OB是∠PON的平分线，ON是∠POB的平分线，OP是∠BON的平分线．(1)解：∵∠AOM=α=30°，∴∠AON=180°-∠AOM=180°-30°=150°，∵射线OP平分∠AON∴∠PON=∠AON=×150°=75°，故答案为：75°；(2)∵∠AOM=α，∴∠AON=180°-∠AOM=180°-α，∵射线OP平分∠AON∴∠AOP=∠AON=×（180°-α）=90°-α，∵△AOB是等腰直角三角形，∠A=90°，∴∠AOB=45°，∴∠BOP=∠AOP-∠AOB=90°-α-45°=45°-α；(3)分三种情况：当OB是∠PON的平分线，如图：∵∠AOM=α，∴∠AON=180°-∠AOM=180°-α，∵射线OP平分∠AON∴∠PON=∠AON=×（180°-α）=90°-α，∵∠AOB=45°，∴∠BON=180°-∠AOM-∠AOB=180°-α-45°=135°-α，∵OB是∠PON的平分线，∴∠PON=2∠BON=270°-2α，∴90°-α=270°-2α，∴α=120°，当ON是∠POB的平分线，如图：∵射线OP平分∠AON，∴∠AOP=∠PON，∵ON是∠POB的平分线，∴∠PON=∠BON，∴∠AOP=∠PON=∠BON，∵∠AOB=45°∴∠AON=∠AOB=45°×=30°，∴∠AOM=180°-∠AON=180°-30°=150°，当OP是∠BON的平分线，∵射线OP平分∠AON，∴OP不可能平分∠BON，综上所述：α的值为120°或150°．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．课后专项训练1．（2022秋·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．（1）如图1，若，则；（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．①则；②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为．【答案】/度/度或【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；（2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．∵∴,故答案为：（2）①∵，是的两条三分线，，∴，故答案为：；②∵，，是的两条三分线，∴，由旋转得：，分两种情况：当是的三分线，且时，可得，∴，∴，即；当是的三分线，且时，可得，∴，即；故答案为：或．【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．2．（2023·浙江七年级期中）如图所示，已知，是的平分线，、分别平分、．（1）求的度数；（2）若将绕点旋转到的外部，、仍是、的角平分线，问：的大小是否会改变？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义求得∠AOC=∠BOC=∠AOB，再由角平分线的定义求得，∠DOC=∠BOC，∠EOC=∠AOC即可求解；（2）分在图形下方和在图形上方，根据角平分线的定义即可解决问题．【详解】（1）∵，分别平分、，∴，．∵，∴．（2）的大小不会改变．理由如下：①在图形下方，如图，则；②在图形上方，如图，则，即．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．3．（2022秋·浙江绍兴·七年级统考期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．

(1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数．(2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值．【答案】(1)；(2)秒或秒．【分析】（1）根据“三分角”的定义及角的和差关系，列式计算即可求解；（2）分两种情况讨论，当和时，计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵是的“三分角”，∴，∴，∴；（2）解：∵，是的平分线，∴，∵是的“三分角”，∴，分两种情况讨论，当，此时秒；当，此时秒；综上，t的值为秒或秒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，“三分角”的定义，掌握新定义是解题的关键．4．（2022•罗湖区七年级期中）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解题思路】（1）根据：角度＝速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．②通过计算分析OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．【解答过程】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=12∠NOE∴90°﹣3°t＝75°，解得：t＝5．此时∠MOA＝3°×5＝15°=12∠∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9°t﹣3°t＝90°÷2，解得t＝2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9°t﹣3°t＝180°+90°÷2，解得t＝32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9°t＝（90°﹣3°t）÷2，解得t＝14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）＝（3°t﹣90°）÷2，解得t＝38．故EF能平分∠NOB，t的值为14或38s．5．（2022•商城县七年级期中）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．①则当旋转时间t＝7或25秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．【解题思路】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行线的性质分别求得∠AOD度数，从而求得t的值；②当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；③由∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE、∠BOE＝90°﹣∠AOE得∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°．【解答过程】解：（1）∠BOC＝∠BOE，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠BOC＝∠BOE；（2）①∵∠COE＝140°，∴∠COD＝40°，如图1，当AB在直线DE上方时，∵AB∥OC，∴∠AOC＝∠A＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t＝7；如图2，当AB在直线DE下方时，∵AB∥OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，则∠AOD＝90°+20°＝110°，∴t=360°−110°故答案为：7或25；②当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣40＝40，解得t＝8；当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝40，解得：t＝32；综上，t的值为2、8、32；③∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，∴∠AOC﹣∠BOE的值为50°．6．（2022·浙江嵊州市·七年级期中）已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒（1）当秒时，求；（2）当，求的值；（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．【答案】（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线【分析】（1）分别算出秒时转过的角度，用减去转过的角度即可；（2）分两种情况进行讨论：相遇前以及相遇后，分别计算即可；（3）分三种情况进行讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别进行计算即可．【详解】（1）当时，，∴．（2），，与相遇前，当时，∵，∴，，与相遇后，时，，∴不垂直，当时，，∵，，∴，，综上所述，当或60时，．（3）当平分时，，∴，，当平分时，，，，，当平分时，，，（不合题意），综上所述，当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．【点睛】本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．7．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．(1)当t=12时，∠AOB=°．(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．【答案】(1)60°(2)27或45(3)12或24或48【分析】（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t．（1）解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，故答案为：60°．（2）存在满足条件的t值。①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，∴15t−360=180−5t，解得：t=27，②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，∴720-15t=5t-180，解得：t=45，（3）(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：15t−5t=180°−60°，解得：t=12，②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：15t−5t=180°+60°，解得：t=24，③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，得：15t−5t=180°+360°−60°，解得：t=48，符合题意，综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．【点睛】本题考查一元一次方程在角度计算中的应用，解题的关键是根据射线的旋转，分情况进行讨论．8．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．(1)当t=12时，∠AOB=°．(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．【答案】(1)60°(2)27或45(3)12或24或48【分析】（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t．（1）解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，故答案为：60°．（2）存在满足条件的t值。①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，∴15t−360=180−5t，解得：t=27，②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，∴720-15t=5t-180，解得：t=45，（3）(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：15t−5t=180°−60°，解得：t=12，②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：15t−5t=180°+60°，解得：t=24，③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，得：15t−5t=180°+360°−60°，解得：t=48，符合题意，综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．【点睛】本题考查一元一次方程在角度计算中的应用，解题的关键是根据射线的旋转，分情况进行讨论．9．（2022·浙江·杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）【答案】（1）；（2）t的值为3或7.5；（3）当或时，为定值，此时补全的图形见解析．【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．【详解】（1）平分，；（2）由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动此时（秒）则OF停止转动时，即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧因此，分以下2种情况：①当OE在OC左侧时，则由得，解得②当OE在OC右侧时，则由得，解得综上，t的值为3或7.5；（3）射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为（秒）由题意，分OM与OB在一条直线上（）、ON与OB在一条直线上（）、OM与OA在一条直线上（）三个临界位置①当时，如图1所示此时，则为定值②当时，如图2所示此时，则不为定值③当时，如图3所示此时，则为定值④当时，如图4所示此时，则不为定值综上，当或时，为定值．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．10．（2022·浙江镇海区·七年级期中）已知：如图，在内部有（）．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，平分，平分，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．【答案】（1）170°；（2）65°；（3）19【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD计算即可；（2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可；（3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可．【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=150°+20°=170°（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)=150°-85°=65°（3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°又∵∠BOM=∠AON∴70-t=（15+t）∴t=19【点睛】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．11．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．(1)当时，求的度数；(2)若．①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，∵，∴此时与重合，射线运动的度数为，即，∴当时，．（2）①若时，分下面三种情形讨论：（i）如图1，当时，，∴，符合．（ii）如图2，当时，，∴，符合．（iii）如图3，当时，，∴，不在范围内，舍去．综上所得或．②如图4，∵，∴，，∴最大度数为，最大度数为．∵，∴当时，，∴，即，∴运动至外部．此时，，，∴，∵平分，∴，∴，又，∴．【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．12．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）已知，，OM，ON分别是和的平分线．(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，为直角？(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．【答案】(1)25°(2)①n°＋25°，②n＝65(3)∠MON=m°＋25°【分析】（1）如图1，根据OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根据ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，进而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；（2）①根据图形中角的和差关系可直接求出；②当∠MON＝90°时，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，（3）根据图中角的和差关系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，（2）①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，②当∠MON＝90°时，n°＋25°＝90°，∴n＝65，（3）如图3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．故答案是：∠MON＝m°＋25°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角的和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义，并能结合图形分析角的和差关系．13．（2022•历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．【解题思路】（1）由平角的定义可得，∠AOB＝180°，所以∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，再由角平分线的性质可得∠MOD的度数；（2）由（1）可知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，再分当射线OP在∠BOC内部时，和当射线OP在∠BOC外部时两种情况，根据图中和差关系求∠COP的度数即可；（3）在射线OP旋转的过程中，OM和ON的相对位置在不断的变化，存在两种情况满足条件，画出草图，根据角度的和差关系求解即可．【解答过程】解：（1）由题意可知，∠AOB＝180°，∵∠BOC＝100°，∴∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝50°；（2）由（1）知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝50°；②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），∠COP＝∠BOC+∠BOP＝150°，综上所述，∠COP的度数为50°或150°；（3）∵ON平分∠COD，∴∠CON=12∠①如图3，∠COM＝∠CON﹣∠MON＝25°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COM＝50°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC＝﹣∠BOC＝30°，∴旋转的时间t＝30°÷5°＝6（秒）；②如图3（1），此时，∠COM＝∠CON+∠MON＝65°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COM＝130°，∴∠COE＝180°﹣130°＝50°，∴∠BOE＝100°﹣50°＝50°，∴旋转的时间＝（360°﹣50°）÷5°＝62（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．14．（2022·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．(1)当时，求的度数；(2)当时，则______（用含的式子表示）；(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）【答案】(1)60°(2)2α(3)360°-2α【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD可求；（2）利用（1）中方法可求；（3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数．（1）∵∠COD=90°，∠COE=30°，∴∠DOE=90°-30°=60°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°．∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°．（2）∵∠COD=90°，∠COE=α，∴∠DOE=90°-α．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α．∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α．故答案为：2α．（3）由题意：∠DOE=α-90°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°．∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α．故答案为：360°-2α．【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键．15．（2022·山东日照·七年级期末）如图1，O为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若恰好平分（如图2），试说明平分；(2)将三角板绕点O在直线上方顺时针旋转，当落在内部，且时，求的度数；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点O，分别以每秒和每秒的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一条直线上？【答案】(1)见解析(2)(3)第10秒或70秒时，OD与OC恰好在同一条直线上【分析】（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，即可得；（2）设，则，当OD在的内部时，，则，计算得，即可得；（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则，，分OD与OC重合、OD与OC的反向延长线重合两种情况分别讨论即可得．（1）解：∵OD恰好平分，∴，∵，∴，，∴，∴OE平分．（2）解：设，则，当OD在的内部时，，∵，∴，，∴，即的度数为．（3）解：设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则，，当OD与OC重合时，，解得，当OD与OC的反向延长线重合时，，解得，∴第10秒或70秒时，OD与OC恰好在同一条直线上．【点睛】本题考查了角平分线的性质，余角的性质，角度的计算，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论．16．（2022•金华七年级期中）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．【解题思路】（1）根据“好线”的定义可得∠AOP的度数，然后分①当OP在∠AOB的外部时，②当OP在∠AOB的内部时两种情况可得答案；（2）直接根据角平分线的定义可得问题的答案；（3）设旋转的时间为t秒，根据题意列出方程，求解可得答案．【解答过程】解：（1）∵OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，∴∠AOP＝2∠BOP＝60°，①当OP在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，②当OP在∠AOB的内部时，∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝90°．