九年级数学上学期期中考试模拟试卷03(一元二次方程+圆+数据集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率)(原卷版+解析)

（苏科版）2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟测试卷03（测试范围：第1章---第4章）（考试时间120分钟满分120分）选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）1．（2022秋•平昌县校级期末）若方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在2．（2023•永嘉县校级二模）一个不透明的袋中装有11个只有颜色不同的球，其中4个白球，5个红球，2个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为（）A．211 B．311 C．4113．（2022秋•邢台期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（）A．80° B．75° C．70° D．65°4．（2023秋•广陵区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（）A．2013 B．2016 C．2023 D．20215．（2023•耿马县一模）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A．2 B．4 C．8 D．166．（2022秋•宝应县期中）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数7．（2022•文登区一模）如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为（）A．108° B．120° C．135° D．144°8．（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE=14AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=5：2．当边AD或BC所在的直线与⊙OA．8 B．4 C．12 D．12或410．（2023春•定远县期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②第Ⅱ卷（非选择题共90分）填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2023春•阳新县期末）一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是．12．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．从﹣2，0，1这三个数中随机选取两个数，其中一个记为m，另一个记为n，则点（m，n）落在y轴上的概率是．14．（2022秋•集美区校级期中）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为．15．（2023春•虹口区校级期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，那么圆弧形桥拱所在圆的直径为米．16．17．（2022•公安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为18．（2022秋•广陵区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．三、解答题（本大题8小题，满分共66分）19．（8分）（2023秋•泉山区校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）（2x+1）2﹣5＝0；（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．20．（6分）（2022秋•肇源县月考）如图，C为弧AB的中点，OA⊥CD于点M，CN⊥BD于N，且BD为⊙O的直径，若ON＝2，求CD长．21．（7分）（2022秋•建平县期末）（1）有20名志愿者参加公益活动，其中男生有8名，女生有12名．若从这20名志愿者中随机选取1名作为联络员，求选到女生的概率；（2）若该活动的某项工程只在甲、乙2人中选1人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将4张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放在桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．22．（7分）（2023春•肥东县期末）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由．23．（8分）（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．24．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0．（1）判断该方程根的情况，并说明理由；（2）若x1、x2是方程的两根，其和为正，且x12+x22﹣x1x2＝7，求k的值；（3）若等腰三角形的一边长为7，方程的两根x1、x2恰好是该三角形的另两条边长，求这个三角形的周长．25．（9分）（2022春•南岗区期末）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：（1）收集数据．从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：818384858687878889909292939595959999100100（2）整理、描述数据．按下表分段整理描述样本数据：分数x80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100七年级4628八年级3a47（3）分析数据．两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级91899740.9八年级91bc33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：①填空：a＝，b＝，c＝；②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；③从样本数据分析来看，分数较整齐的是年级（填“七”或“八”）；④如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数．26．（12分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．（1）如图（1），A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图（2），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求四边形ABCD的面积；（3）如图（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求BD长的最大值．

（苏科版）2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟测试卷03（测试范围：第1章---第4章）（考试时间120分钟满分120分）选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）1．（2022秋•平昌县校级期末）若方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m﹣2≠0．解得m＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．2．（2023•永嘉县校级二模）一个不透明的袋中装有11个只有颜色不同的球，其中4个白球，5个红球，2个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为（）A．211 B．311 C．411【分析】根据简单概率公式求解即可，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有5个，∴摸出一个球是红球的概率是511故选：D．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=m3．（2022秋•邢台期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（）A．80° B．75° C．70° D．65°【分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得结论．【解答】解：连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCB＝∠DEB＝20°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊角解决问题．4．（2023秋•广陵区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（）A．2013 B．2016 C．2023 D．2021【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，然后利用整体代入的方法计算2018﹣a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．故选：C．解．5．（2023•耿马县一模）小科同学将一张直径为16的圆形卡纸平均分成4份，用其中一份作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】先求出圆形卡纸的周长，再求出圆锥的底面圆的周长，最后根据圆的周长公式求出半径即可．【解答】解：圆形卡纸的周长为16π，∵16π4=4∴圆锥的底面圆的周长为4π，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，解得：r＝2，即这个圆锥的底面半径为2，故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥的底面圆的周长是解此题的关键．6．（2022秋•宝应县期中）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，追加后5个数据的中位数是5，众数为5，∵数据追加后平均数会变大，∴集中趋势相同的只有中位数和众数，故选：D．【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．7．（2022•文登区一模）如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为（）A．108° B．120° C．135° D．144°【分析】根据五边形的内角公式求出∠ABC，再由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=1∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABF＝36°，∴∠CFE＝∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣36°﹣36°＝108°，故选：A．【点评】此题考查的是正多边形的内角和定理，掌握正多边形的内角和的计算公式、等腰三角形的性质是解决此题的关键．8．（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意得：1+x+x2＝57，整理，得：x2+x﹣56＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE=14AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=5：2．当边AD或BC所在的直线与⊙OA．8 B．4 C．12 D．12或4【分析】过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由EG：EF=5：2，得：EG：EN=5：1，依据勾股定理即可求得【解答】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN＝NF，又∵EG：EF=5∴EG：EN=5又∵GN＝AD＝8，∴设EN＝x，则GE=5x（5x）2﹣x2＝64，解得：x＝4，GE＝45，设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2+ON2得：r2＝16+（8﹣r）2，∴r＝5．∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又AE=1∴AB＝12．同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，∴OH＝AN＝5，∴AE＝1．又AE=14∴AB＝4．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．10．（2023春•定远县期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；②若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0；②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0；④利用求根公式，可得出x0=−b±b2【解答】解：①∵a+b+c＝0，∴x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝﹣4ac＞0，∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴ac2+bc+c＝0，若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确；④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，∴x0=−b±∴±b2−4ac=2ax0∴b2−4ac=(2ax∴正确的结论有①②④．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2023春•阳新县期末）一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是．【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：∵数据18，22，15，13，x，7的中位数为16，∴15+x2∴x＝17，故答案为：17．【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴k−1≠0Δ=解得：k＞12且∴k的取值范围是k＞12且故答案为：k＞12且【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．13．从﹣2，0，1这三个数中随机选取两个数，其中一个记为m，另一个记为n，则点（m，n）落在y轴上的概率是．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中点（m，n）落在y轴上的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中点（m，n）落在y轴上的结果有2种，∴点（m，n）落在y轴上的概率是26故答案为：13【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（2022秋•集美区校级期中）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为．【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，∵x1＞x2，∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，∵x1＝2x2+3，∴m+2＝2（m﹣2）+3，解得m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2．15．（2023春•虹口区校级期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，那么圆弧形桥拱所在圆的直径为米．【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA，根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA，∵AB＝12米，CD＝4米，∴AD=12设圆的半径是r米，根据勾股定理，得r2＝62+（r﹣4）2，解得r＝6.5．故答案为：6.5．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理，注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．16．【分析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，化简得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝15，x2＝20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x＝20，故答案为：20．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．17．（2022•公安县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为【分析】将阴影部分的面积转换为扇形BOD的面积，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，设⊙O的半径为R，由于S阴影部分＝S扇形BOD=2π所以60π×R所以R＝2，故答案为：2．【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，掌握扇形面积的计算公式以及圆周角定理是正确解答的关键．18．（2022秋•广陵区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【分析】作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，先由BC＝2，AB＝AC＝2，再根据勾股定理求得AE=3，由12×2CD=12×2×3=S△ABC求得CD=3，由PQ=(3【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，∵BC＝AB＝AC＝2，∴BE=CE=1∵∠AEB＝90°，∴AE=A∵12∴12∴CD=3∵PQ切⊙O于点Q，CQ＝1，∴PQ⊥CQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ=C∴当CP的值最小时，PQ的值最小，∴当点P与点D重合时，CP的值最小，此时CP=CD=3∴PQ最小=(故答案为：2．【点评】本题重点考查等边三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题8小题，满分共66分）19．（8分）（2023秋•泉山区校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）（2x+1）2﹣5＝0；（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）（2x+1）2﹣5＝0，（2x+1）2＝5，2x+1=5或2x+1=−∴x1=−1+（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，[（x﹣3）+2x]（x﹣3）＝0，即（3x﹣3）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3；【点评】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．20．（6分）（2022秋•肇源县月考）如图，C为弧AB的中点，OA⊥CD于点M，CN⊥BD于N，且BD为⊙O的直径，若ON＝2，求CD长．【分析】连接OC，如图，先根据垂径定理得到∴CM＝DM，AC=AD，再利用AB=AD=BC得到∠AOD＝∠AOC＝∠BOC＝60°，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系，在Rt△OCN中求出OC＝4，然后在Rt△【解答】解：连接OC，如图，∵OA⊥CD，∴CM＝DM，AC=∵C为弧AB的中点，∴AC=∴AB=∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOC=1∵CN⊥BD，∴∠ONC＝90°，在Rt△OCN中，∵∠CON＝60°，∴OC＝2ON＝2×2＝4，在Rt△OCM中，∵∠COM＝60°，∴OM=12∴CM=3OM＝23∴CD＝2CM＝43．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和含30度角的直角三角形三边的关系．21．（7分）（2022秋•建平县期末）（1）有20名志愿者参加公益活动，其中男生有8名，女生有12名．若从这20名志愿者中随机选取1名作为联络员，求选到女生的概率；（2）若该活动的某项工程只在甲、乙2人中选1人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将4张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放在桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【分析】（1）选到女生的概率用女生的人数除以总人数即可．（2）先画出树状图，结合树状图分别求出两人获胜概率，是否公平就要看两人获胜概率是否相同．若相同，则公平，否则就不公平．【解答】解：（1）P(（2）画树状图如下：∵共有12种等可能的情况，和为偶数的情况有4种，奇数的情况有8种，∴P(奇数)=∵P（奇数）≠P（偶数），∴不公平．【点评】本题主要考查了概率的求法和根据树状图求概率，掌握每种概率的求法和树状图的画法是解题的关键．22．（7分）（2023春•肥东县期末）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由．【分析】（1）设AB的长为x米，由羊圈的总面积为300平方米，可列方程，即可求解；（2）根据题意列出方程，由根的判别式可求解．【解答】解：（1）设AB的长为x米，由题意可得：x（77+3﹣4x）＝300，解得：x1＝5，x2＝15，当x＝5时，80﹣4x＝60＞30，故x＝5不合题意，当x＝15时，80﹣4x＝20＜30，∴AB的长是15米；（2）羊圈的总面积不能为500平方米，理由如下：设AB的长为x米，由题意可得x（77+3﹣4x）＝500，∴x2﹣20x+125＝0，∴△＝400﹣500＝﹣100＜0，∴羊圈的总面积不能为500平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（8分）（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA∴AD=3OD=又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中点，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切线．【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．24．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0．（1）判断该方程根的情况，并说明理由；（2）若x1、x2是方程的两根，其和为正，且x12+x22﹣x1x2＝7，求k的值；（3）若等腰三角形的一边长为7，方程的两根x1、x2恰好是该三角形的另两条边长，求这个三角形的周长．【分析】（1）计算根的判别式的值，通过根的判别式的意义得到结论；（2）利用根与系数的关系，结合已知条件得到k2+2k﹣3＝0，解方程求出k的值即可；（3）由题意得出方程的另一根为7，将x＝7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．理由如下：Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2k）＝4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2是方程的两根，∴x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2k，∵x12+x22﹣x1x2＝7，∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝7，∴[2（k+1）]2﹣3（k2+2k）＝7，∴k2+2k﹣3＝0，解得k＝1或﹣3，∴x1+x2＞0，∴2（k+1）＞0，∴k＞﹣1，∴k＝1；（3）解：由题意，∵x1≠x2，∴只能取x1＝7或x2＝7，即7是方程的一个根，将x＝7代入得：49﹣14（k+1）x+k2+2k＝0，解得：k＝5或k＝7，当k＝5时，方程的另一个根为5，此时三角形三边分别为7、7、5，周长为19；当k＝7时，方程的另一个根为9，此时三角形三边分别为7、7、9，周长为23；故三角形的周长为19或23．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系以及等腰三角形的性质．25．（9分）（2022春•南岗区期末）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：（1）收集数据．从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：818384858687878889909292939595959999100100（2）整理、描述数据．按下表分段整理描述样本数据：分数x80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100七年级4628八年级3a47（3）分析数据．两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级91899740.9八年级91bc33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：①填空：a＝，b＝，c＝；②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；③从样本数据分析来看，分数较整齐的是年级（填“七”或“八”）；④如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数．【分析】①根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a＝6，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；②根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；③根据方差进行评价即可作出判断；④用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可．【解答】解：①∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，∴b=90+92八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，∴c＝95，故答案为：6，91，95；②甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；故答案为：甲；③∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，∴分数较整齐的是八年级，故答案为：八；④因为样本中七年级不低于95分