专题07线段中的动态模型(原卷版+解析)

专题07线段中的动态模型线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。2、线段的动态模型解题步骤：1）设入未知量t表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3）根据题设条件建立方程求解；4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型例1．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．例3．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______（2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型例1．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．例2．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒．(1)若点在线段上运动，当时，；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．模型3、阅读理解型（新定义）模型例1．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）【问题解决】（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．例2．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点．(1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______．(2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示）(3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示）课后专项训练1．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，下列结论①，；②当点与点重合时，；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（

）A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④2．（2023秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有．(填序号)

3．（2023·河北承德·统考二模）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为；（用含t的代数式表示，不必写范围）．(2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为；（用含t的代数式表示）；(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则．4．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）如图，点是线段上一点，，动点从出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点从出发以的速度沿直线向终点运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动．在运动过程中，总有，则．5．（2023•奉化区校级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，点C在线段AB上，且BC＝4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ的长为5厘米．6．（2022·广东初一月考）如图，已知A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)写出数轴上点A，B表示的数．(2)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为ts(t＞0)．①写出数轴上点M，N表示的数(用含t的式子表示)．②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点?7．（2022·广西七年级期中）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直接写出答案）8．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A对应的数为，点B对应的数为100．(1)线段的长度为__________、线段中点M对应的数__________；(2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度时，求点Q对应的数．9．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M﹑N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段AM的长度为______；(2)当t为何值时，M、N两点重合？(3)若点P为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．10．（2023秋·重庆忠县·七年级统考期末）如图，在数轴上记原点为点O，已知点C表示数c，点D表示数d，且c，d满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点C与点D之间的距离记作．(1)求的值；(2)若甲、乙两动点分别从C，D同时出发向右运动，甲的速度为每秒3个单位，乙的速度为每秒1个单位，当甲和乙重合时，甲，乙停止运动．当甲到达原点O时，动点丙从原点O出发，以每秒4个单位长度的速度也向右运动，当丙追上乙后立即返向甲运动，遇到甲后再立即返向乙运动，如此往返，直到点甲、乙、丙全部相遇就停止运动，设此过程中丙的速度大小不变求在此过程中丙行驶的总路程，以及丙停留的最后位置在数轴上所对应的有理数：(3)动点A从C出发，以每秒2个单位速度往x轴的正方向运动，同时动点B从D出发，以每秒3个单位速度向点C方向运动，到达C点后立即沿x轴的正方向运动，且点B速度大小不变，设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接写出t的值：若不存在，说明理由．11．（2023秋·安徽芜湖·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．(1)当时，，请求出的长；(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．12．（2023秋·福建莆田·七年级统考期末）【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段，称作互为圆周率伴侣线段．(1)若，则．(2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则．【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．(3)若点、均为线段的圆周率点，求线段MN的长度；(4)在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒，点追上点Q时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请直接写出t的值．13．（2023秋·四川达州·七年级校考期末）如图，点P是线段上任一点，，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为．(1)若，①运动1s后，求的长；②当点D在线段上运动时，与的关系；(2)如果时，，试探索的值．14．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．（1）填空：①A、B两点间的距离________，线段AB的中点表示的数为________；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；（2）求当t为何值时，；（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值．15．（2022秋·浙江·七年级期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动）(1)若cm．①运动1s后，求的长；②当点D在线段上运动时，试说明：．(2)如果s时，cm，试探索的长．16．（2023秋·陕西商洛·七年级统考期末）如图，P是线段上任一点，，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度，D点的运动速度为，运动的时间为．

(1)若，当D在线段上运动时，试说明；(2)若，时，试探索的值．17．（2022·浙江·七年级课时练习）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．18．（2022·河南·南阳市七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为；（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．求：①P、Q相遇时求P对应的数；②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）19．（2022·安徽蚌埠·七年级期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？20．（2023·湖北·七年级期末）已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．（1）如图1，若，，求的长；（2）若，求的值；（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．

专题07线段中的动态模型线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。2、线段的动态模型解题步骤：1）设入未知量t表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3）根据题设条件建立方程求解；4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型例1．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．【答案】(1)16，24．(2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．(3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可；（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案为：16，24．(2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．(3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=；当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=．答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段AP和AQ的长是解答本题的关键.例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．【答案】(1)7(2)3或5【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．(1)，，，，如图1，为中点，，，∴，∴，(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，或∵，，点是的中点，∴，∴，∴，∵，故图2（b）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，或，，∴，∴，．∵，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：的长为3或5．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．例3．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______（2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答；(2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答；(3)分两种情况，列出方程即可分别求解．【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动，，，故答案为：，；（2），，动点以的速度从A点沿着运动，当点P在上时，，当点P在上时，，故答案为：或；（3）当点在点的左边时，，即，，解得，当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，．【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型例1．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，由得，即，，，即所以点P在线段AB的处；（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由可知，②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，，综合上述，的值为或；（3）②的值不变.由点、运动5秒可得，如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；如图，当点M、N在点P异侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；所以②的值不变正确，.【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.例2．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒．(1)若点在线段上运动，当时，；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由见解析．【分析】（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）①当点P在线段上，，②当点P在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论．【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，，∴，，∴，∵线段，∴，∴．（2）①当点P在线段上，，如图，∵，为的中点，∴，解得②当点P在线段的延长线上，，如图，同理：，解得综上所述，当时，点P的运动时间t的值为或20．（3）当点P在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图，∵，为的中点，为的中点，∴，，，．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．模型3、阅读理解型（新定义）模型例1．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）【问题解决】（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．【详解】（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．综上，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得，（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t）解得，；综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．例2．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点．(1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______．(2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示）(3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示）【答案】(1)(2)(3)或或或或【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可；（2）根据“最强点”的定义列式即可；（3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况．【详解】（1）解：点是的最强点，，，，，故答案为：；（2）解：是的最强点，，，又，，，，故答案为；（3）解：根据题意，当时、相遇，，解得，阶段一：点、未相遇时，即时，①设时点为的最强点，，，，，解得，又，即，，为大于1的正整数，不满足题意，舍去；②设时，点为的最强点，，，，，解得，又，即，，为大于1的正整数，符合题意；阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时，③设时，点为的最强点，，，，，，又，即，，为大于1的正整数，符合题意；④设时，点为的最强点，，，，，，又，即，，∵n为大于1的正整数，符合题意；阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时，⑤设时，点为的最强点，，，，，，又，即，，符合题意；⑥设时，点为的最强点，，，，，，又，即，，不符合题意，舍去；阶段四：点到达点后，即时，，，点不可能为的最强点；⑦设时，点为的最强点，，，，，又，即，，符合题意；综上所述，当为或或或或时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键．课后专项训练1．（2022秋·河南周口·七年级统考期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，下列结论①，；②当点与点重合时，；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（

）A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出，，即可判断①结论；根据点与点重合时，得到点表示的数为2，即可判断②结论；设点对应的数是，根据数轴上两点之间距离公式得出，，，即可判断③结论；先根据数轴上两点之间距离公式得到，再利用线段中点得到，即可判断④结论．【详解】解：，，，，，①结论正确；点所对应的数是，点所对应的数是4，，，当点与点重合时，且点在点的左侧，点表示的数为2，，②结论错误；当点与点重合时，点对应的数是4，点对应的数是2，设点对应的数是，则，，，，③结论正确；，，，为线段的中点，为线段的中点，，，④结论正确，结论正确的是①③④，故选D．【点睛】本题考查了数轴的性质，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离公式，线段中点的含义．2．（2023秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有．(填序号)

【答案】①③/③①【分析】①根据线段的中点的定义以及点D、E可确定点C、F表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点E在点D的右侧时以及点E在点D的左侧时，可得到点E表示的数，由点F为线段的中点可得点F表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到的长，从而确定点P、Q，即可得到的长；④当时，可得到的长，从而确定点P、Q，进而判断．【详解】解：①若点E表示的数是3，∵点F为线段的中点，D表示的数是1，∴，即F表示的数是2，∵数轴上点A、B表示的数分别是−9，−1，点C为线段的中点，∴点C表示的数为，∴，故①正确；②若，当点E在点D的右侧时，则点E表示的数是4，∵点F为线段的中点，∴，即F表示的数是，∴，当点E在点D的左侧时，则点E表示的数是，∵点F为线段的中点，∴，即F表示的数是，∴，综上，或，故②不正确；③当时，，∵B、D表示的数分别是，1，∴P、Q表示的数分别是，∴，故③正确；④当时，，，∴P、Q表示的数分别是，，∵点P在D、Q的左侧，不可能是线段的中点，故④不正确；故答案为：①③．【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2023·河北承德·统考二模）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为；（用含t的代数式表示，不必写范围）．(2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为；（用含t的代数式表示）；(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则．【答案】(1)(2)(3)100【分析】（1）根据线段的和与差可得，即可求得；（2）根据P的速度和矩形的周长，求得P运动的总时间，进一步求得矩形的速度，即可求得；（3）根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度，求解即可．【详解】（1）解：若矩形速度为l，则点A的速度也为l，则运动的距离为，故，即的值为；故答案为：．（2）解：点P的速度为2，则运动总时间为（秒），从M到N，长度为70，所以矩形运动速度为，所以当点Р在边上时，点Р对应的数为，故答案为：．（3）解：点P对应的数不变，说明矩形向右运动，点Р向左运动，二者速度“抵消”了，所以矩形的运动速度与点P的运动速度相等，所以，解得，故答案为：100．【点睛】本题看了数轴，矩形的周长，动点问题等，根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度是解题的关键．4．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）如图，点是线段上一点，，动点从出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点从出发以的速度沿直线向终点运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动．在运动过程中，总有，则．【答案】/6厘米【分析】设运动时间为秒，，将图中线段用和的代数式表示出来，再根据求解即可．【详解】解：设运动时间为秒，，则，依题意得，，，，根据在运动过程中，总有得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．5．（2023•奉化区校级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，点C在线段AB上，且BC＝4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ的长为5厘米．解：设运动时间为t秒．①如果点P向左、点Q向右运动，由题意，得：t+2t＝5﹣4，解得；②点P、Q都向右运动，由题意，得：2t﹣t＝5﹣4，解得t＝1；③点P、Q都向左运动，由题意，得：2t﹣t＝5+4，解得t＝9．④点P向右、点Q向左运动，由题意，得：2t﹣4+t＝5，解得t＝3．综上所述，经过或1或3秒9秒时线段PQ的长为5厘米．6．（2022·广东初一月考）如图，已知A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)写出数轴上点A，B表示的数．(2)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为ts(t＞0)．①写出数轴上点M，N表示的数(用含t的式子表示)．②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点?【答案】（1）A点表示-10；B点表示2；（2）①点M表示的数是-10+3t；点N表示的数是6-t；②t=.【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据CN＝CQ可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得OP=OQ，再根据数轴的性质解答即可.【解析】（1）∵C表示的数为6，BC=4，∴OB=6-4=2，∴B点表示2，∵AB=12，∴AO=12-2=10，∴A点表示-10；（2）①由题意得：AP=6t，CQ=3t，∵M为AP中点，∴AM=AP=3t，∴在数轴上点M表示的数是-10+3t，∵点N在CQ上，CN＝CQ，∴CN=t.∴在数轴上点N表示的数是6-t.②∵原点O恰为线段PQ的中点，∴OP=OQ，∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，∴-10+6t与6-3t互为相反数，∴-10+6t=-(6-3t)，解得：t=，∴t=时，原点O恰为线段PQ的中点.【点睛】本题主要考查中点的定义、线段之间的和差关系及数轴的性质，熟练掌握线段中点知识的运用是解题关键.7．（2022·广西七年级期中）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.（直接写出答案）【答案】（1）；（2）x=或；（3）分钟或t=2分钟时点P到点M，点N的距离相等．【分析】（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（-3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．【解析】解：（1）∵M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，∴x的值是．故答案为：；（2）存在符合题意的点P；∵点M为-3，点N为1，则点P分为两种情况，①点P在N点右侧，则，解得：；②点P在M点左侧，则，解得：；∴.（3）设运动t分钟时，点P对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t．①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，所以：-3-t=1-4t，解得t＝，符合题意．

②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．情况1：如果点M在点N左侧，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．因为PM=PN，所以3-2t=1-t，解得t=2．此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．情况2：如果点M在点N右侧，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因为PM=PN，所以2t-3=t-1，解得t=2．此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，符合题意．综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．8．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A对应的数为，点B对应的数为100．(1)线段的长度为__________、线段中点M对应的数__________；(2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度时，求点Q对应的数．【答案】(1)120，40(2)20(3)或【分析】（1）利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可；（2）设经过x秒后，两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，根据题意，列出方程，求出的值，进而求出点C对应的数即可；（3）分点在点的右侧和点在点的左侧，两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：，线段中点M对应的数为；故答案为：；（2）解：设经过x秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相遇．由题意，得：，解得：，，∴C对应的数为20．（3）解：由（1）知：．①设电子蚂蚁P和电子蚂蚁Q运动t秒时，Q在P左侧相距10个单位长度．依题意，得，解得，∴点Q表示的数为：；②设电子蚂蚁P和电子蚂蚁Q运动y秒时，Q在P右侧相距10个单位长度．依题意，得，解得：，∴点Q对应的数为：．综上：当两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度时，求点Q对应的数为：或．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，列出一元一次方程，是解题的关键．9．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M﹑N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段AM的长度为______；(2)当t为何值时，M、N两点重合？(3)若点P为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，当或时，【分析】（1）直接根据路程=时间×速度求解即可；（2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可；（3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可．【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，∴，故答案为：；（2）解：由题意，，，由得，∴当时，M、N两点重合；（3）解：存在时间t，使．由题意，，，则，当分点P在Q的左边时，，解得；当点P在Q的右边时，，解得，故当或时，．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．10．（2023秋·重庆忠县·七年级统考期末）如图，在数轴上记原点为点O，已知点C表示数c，点D表示数d，且c，d满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点C与点D之间的距离记作．(1)求的值；(2)若甲、乙两动点分别从C，D同时出发向右运动，甲的速度为每秒3个单位，乙的速度为每秒1个单位，当甲和乙重合时，甲，乙停止运动．当甲到达原点O时，动点丙从原点O出发，以每秒4个单位长度的速度也向右运动，当丙追上乙后立即返向甲运动，遇到甲后再立即返向乙运动，如此往返，直到点甲、乙、丙全部相遇就停止运动，设此过程中丙的速度大小不变求在此过程中丙行驶的总路程，以及丙停留的最后位置在数轴上所对应的有理数：(3)动点A从C出发，以每秒2个单位速度往x轴的正方向运动，同时动点B从D出发，以每秒3个单位速度向点C方向运动，到达C点后立即沿x轴的正方向运动，且点B速度大小不变，设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接写出t的值：若不存在，说明理由．【答案】(1)19(2)丙的运动的总路程为26，丙对应的有理数为19.5(3)存在，t的值为：1，，，19【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性可得，然后问题可求解；（2）当甲到达原点O时，丙从原点O出发，则甲到达O点需要3秒，然后可得乙的位置，进而可得丙的运动时间，最后问题可求解；（3）由（1）可知，然后根据题意可分①当点A、B分别在点O的左侧和右侧时，②当点A、B都在点O的左侧时，③当点B到达点C返回时，此时点A在点O的右侧，④当点B到达点C返回时，点A、B都在点O的右侧，进而分类求解即可．【详解】（1）解：∵，且，∴，∴，∴；（2）解：当甲到达原点O时，丙从原点O出发，则甲到达O点需要秒，此时乙的位置为，设丙运动t秒后停止，由题意得，解得，此时丙的位置在，即丙对应的有理数为19.5，丙的运动的总路程为；（3）解：存在，使得，理由如下：由（1）可知：，∴，由题意可分：①当点A、B分别在点O的左侧和右侧时，存在，∵，∴，∴，解得：；②当点A、B都在点O的左侧时，存在，即点A、B重合，∴，∴，解得：；③当点B到达点C返回时，此时点A在点O的右侧，存在，∴，∴，解得：；④当点B到达点C返回时，点A、B都在点O的右侧，存在，∴，∴，解得：；综上所述：当t的值为：1，，，19时，存在．【点睛】本题主要考查线段的和差关系、数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键．11．（2023秋·安徽芜湖·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．(1)当时，，请求出的长；(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．【答案】(1)(2)(3)或12cm【分析】（1）由题意，当时，，，则，可得，由即可求解；（2）由，可知，，即，即可求解；（3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别求解即可．【详解】（1）解：根据、的运动速度知：，，则，∵，∴，即，∴，，∴，则；（2）根据、的运动速度知：∵，∴，即，∴；（3）当点在线段上时，∵，∴；∵，∴，又∵，∴；当点在的延长线上时，．综上所述，或12cm．【点睛】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系式解题的关键．12．（2023秋·福建莆田·七年级统考期末）【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段，称作互为圆周率伴侣线段．(1)若，则．(2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则．【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．(3)若点、均为线段的圆周率点，求线段MN的长度；(4)在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒，点追上点Q时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请直接写出t的值．【答案】(1)(2)(3)(4)，，，【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可；（2）根据线段的圆周率点的定义以及相关线段的大小比较即可；（3）由题意可知，点表示的数是，设点离点近，且，根据题意可得关于的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可，①点在左侧，；②点在左侧，；③点在点，点之间，且；④点在点，点之间，且．【详解】（1）解：，，，，故答案为：；（2）解：，，，，；故答案为：；（3）解：由题意可知，点表示的数是，若点，为线段的圆周率点，设点离点近，且，根据题意可得：，解得：，；（4）解：由题意可知，点，，所表示的数分别为：，，，当，，三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，有下列四种情况：①点在左侧，；，解得：，②点在左侧，；，解得：，③点在点，点之间，且；，解得：，④点在点，点之间，且；，解得：，符合题意的的值为：，，，．【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，数形结合、分类讨论是解题关键．13．（2023秋·四川达州·七年级校考期末）如图，点P是线段上任一点，，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为．(1)若，①运动1s后，求的长；②当点D在线段上运动时，与的关系；(2)如果时，，试探索的值．【答案】(1)①，②(2)或【分析】（1）①先求出与的长度，然后利用即可求出答案．②用t表示出的长度即可求证；（2）当时，求出的长度，分两种情况：D点在C点的左边和D点在C点的右边，即可求解．【详解】（1）解：①由题意可知：，∵，，∴，∴；

②由题意可知：

∴，∴，

∴；（2）解：当时，，当点D在C的右边时，∵，∴，∴，∴；

当点D在C的左边时，∴，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．14．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．（1）填空：①A、B两点间的距离________，线段AB的中点表示的数为________；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；（2）求当t为何值时，；（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值．【答案】（1）①10；3；②点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；（2）1或3；（3）5【分析】（1）①根据点A表示的数为-2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；（2）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论；（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到的值．【详解】解：（1）①8-（-2）=10，-2+×10=3，故答案为：10，3；②由题可得，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；故答案为：-2+3t，8-2t；（2）∵t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，∴|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，又=×10=5，∴|5t-10|=5，解得：t=1或3，∴当t=1或3时，；（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，∴|MP|=|AP|=×3t=t，|BN|=|BP|=（|AP|-|AB|）=×（3t-10）=2t-，∴=t-（2t-）=5．【点睛】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．15．（2022秋·浙江·七年级期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动）(1)若cm．①运动1s后，求的长；②当点D在线段上运动时，试说明：．(2)如果s时，cm，试探索的长．【答案】(1)①cm；②见解析(2)的长为11cm或13cm【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案；②用t表示出、、的长度即可求证；（2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．【详解】（1）①当时，cm，cm，∵cm，cm，∴cm，∴cm；②∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴．（2）当时，cm，cm，当点D在C的右边时，如图：，∴cm；当点D在C的左边时，如图：，∴cm；综上可得，AP的长为11cm或13cm．

【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键．16．（2023秋·陕西商洛·七年级统考期末）如图，P是线段上任一点，，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度，D点的运动速度为，运动的时间为．

(1)若，当D在线段上运动时，试说明；(2)若，时，试探索的值．【答案】(1)见解析(2)或【分析】（1）用t表示出、、的长度，即可证得；（2）当时，求出、的长度，分点D在C的右边和点D在C的左边两种情况，分别根据线段的和差关系进行计算．【详解】（1）解：由题意可知：，，∴，，∴，

∴；（2）解：当时，，，当点D在C的右边时，∵，∴，∴，∴；

当点D在C的左边时，可得，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查了列代数式，线段的和差计算，正确分类讨论是解题的关键．17．（2022·浙江·七年级课时练习）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒，cm，cm，，②当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，运动时间为：18÷3=6（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，运动时间为：36÷3=12（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，综上，MN的长是12cm或24cm．【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长．18．（2022·河南·南阳市七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为；（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．求：①P、Q相遇时求P对应的数；②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16．【分析】（1）根据中点的定义可得；（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B