专题05线段、角、对角线的计数模型(原卷版+解析)

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023秋·浙江·七年级阶段练习）如图，射线上有，，，则图中有（

）A．1条射线、3条线段B．4条射线、3条线段C．4条射线、6条线段D．7条射线、8条线段例2．（2023秋·浙江七年级月考）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（）种．A．5 B．10 C．15 D．20例3．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）

A．10 B．11 C．18 D．20例4．（2023秋·四川甘孜·七年级统考阶段练习）①如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2；②如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来；③如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来；④应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023春·浙江·七年级课堂例题）图中角的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．例3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：

（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？（3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）。(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（）A．16 B．28 C．32 D．40例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（

）个部分．A．或 B． C．或 D．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（

）A． B． C． D．例4．（2023春·浙江七年级期中）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；（2）n条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到块饼．例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（

）A．8 B．9 C．10 D．12例2．（2023春·山东威海·七年级统考期中）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例3．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成个三角形，则边形的对角线条数为（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（

）A．9 B．54 C．60 D．108例5．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将n边形分成个三角形，一个n边形共有条对角线．例6．（2023秋·浙江七年级课时练习）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数/个45678……从一个顶点出发的对角线的条数/条12345……①___________多边形对角线的总条数/条2591420……②___________（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？课后专项训练1．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个2．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（）条线段．

A．125 B．140 C．155 D．1603．（2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）过平面上A，B，C，D四点中的任意两点作直线，一共可作的直线条数不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．14．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种 B．42种 C．10种 D．84种5．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，以A为一个端点的线段共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．（2023秋·浙江七年级月考）公园里准备修条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（

）A．个 B．个 C．个 D．个7．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形．则、的值分别为（

）A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，48．（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（

）A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形9．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售种不同行程的动车票.10．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）过平面上A、B、C三点中的任意两点作直线，可作条．11．（2023秋·宁夏吴忠·八年级校考阶段练习）已知正多边形的边长为5，从其一个顶点出发共有3条对角线，则该正多边形的周长为．12．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则．13．（2023秋·广西七年级课时练习）如图：已知，，图中以O为顶点的所有角之和为_______．14．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了个三角形，则经过这一点的对角线的条数是条．15．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．16．（2023秋·山东七年级课时练习）如图，O为直线AB上一点，图中小于平角的角有个；若OD、OE分别平分和，则图中共有对互余的角，对互补的角．17．（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备种车票．18．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）已知10条直线两两相交，最多会有的交点数可能是个．19．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是边形．20．（2023秋·广东七年级月考）如图，在锐角内部，画条射线，可得个锐角；画条不同射线，可得个锐角；画条不同射线，可得个锐角照此规律，画条不同射线，可得个锐角．21．（2023秋·四川成都·七年级校考期中）如图，在平面内有A，B，C三点．(1)画直线，线段，射线；(2)在线段上任取一点D（不同于B，C），连接线段；(3)数数看，此时图中线段的条数．22．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，O为直线上一点，，平分．

(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角；(2)求出的度数；(3)请通过计算说明是否平分．23．（2023秋·浙江·七年级专题练习）阅读表：线段上的点数（包括A，B两点）图形线段总条数N34567解答下列问题：(1)在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数；(2)请猜测，线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系？请写出来；(3)变式练习①：如果过每两点可以画一条直线，那么请在下面三组图中分别画线，并回答问题：第（1）组最多可以画条直线；第（2）组最多可以画条直线；第（3）组最多可以画条直线．归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线_____条．（用含n的代数式表示）变式练习②：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握_____次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需_____件礼物．变式练习③：从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备___种车票．24．（2023秋·浙江·七年级专题练习）解答下列各题（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：内射线的条数1234角的总个数________________________（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？25．（2023秋·浙江七年级月考）(1)观察思考如图所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：如果线段AB上有3个点，那么线段总条数为3；如果线段AB上有4个点，那么线段总条数为6；如果线段AB上有5个点，那么线段总条数为________．3＝2＋1＝

6＝3＋2＋1＝(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，那么共有________条线段．(3)拓展应用:8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．26．（2023·山东·七年级假期作业）探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角线．（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；（3）探索归纳：对于n边形，共有______条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有______对角线．27．（2023.湖南怀化七年级期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手：（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）当直线条数为5时，把平面最多分成部分，写成和的形式；（2）当直线为n条时，把平面最多分成部分．28．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）观察探究及应用．（1）如图，观察图形并填空：一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；（2）分析探究：由凸边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？29．（2023春·山东·七年级统考期中）【思路探究】（1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？

（2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？

（3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？

【问题解决】（4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？（5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？

30．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）：内部有1个点

内部有2个点

内部有3个点（1）填写下表：五边形内点的个数1234…n分割成的三角形的个数579…（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点？若不能，请说明理由.31．（2023秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）【教材重现】如图是数学教材第135页的部分截图．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．【问题思考】结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：多边形边数四五六……十二……n从一个顶点出发，得到对角线的数量1条…………【问题探究】n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n边形共有对角线（用含有n的代数式表示）．【问题拓展】（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接条线段．（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接条线段．（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接条线段（用含有x的代数式表示，不必化简）．

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023秋·浙江·七年级阶段练习）如图，射线上有，，，则图中有（

）A．1条射线、3条线段B．4条射线、3条线段C．4条射线、6条线段D．7条射线、8条线段【答案】C【分析】根据射线和线段的定义分别计算出条数即可得解．【详解】解：分别以A、B、C、D为端点向右的射线共有4条，线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条，所以，有4条射线、6条线段．故选：C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，射线要根据端点的不同确定．例2．（2023秋·浙江七年级月考）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（）种．A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D，E表示，数出利用上述五点为端点的线段条数即可．【详解】解：设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D，E表示，则共有线段：、、、、、、、、、，共10条，∴要为这次列车制作的单程火车票10种．故选：B．【点睛】本题考查了直线、线段、射线，要注意单程票，切记理解成往返车票而出错．例3．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）

A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【分析】根据有多少条线段单程就需要印制多少种车票进行求解即可．【详解】解：∵图中线段有共10条，∴单程要10种车票，往返就是20种，故选：D．【点睛】本题主要考查了数线段条数，熟知两点构成一条线段是解题的关键．例4．（2023秋·四川甘孜·七年级统考阶段练习）①如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2；②如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来；③如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来；④应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？【答案】②射线有4条，线段有3条；③射线的条数是(2n-2)条，线段的条数是条；④28场．【分析】②写出所有的射线和线段后再计算个数；③根据规律，射线是每个点为端点的射线有两条，但是两边的两个点只有一条；线段是从所有点中任取两个；④根据题意8个队每两个队之间塞一场，和已知点数确定线段数同理，所以代入求值即可．【详解】解：②根据射线的定义可得：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4条；由线段的定义可得线段有：射线有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3条；③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，所以射线的条数是2n-2，线段是从这些点中任取两个点就是一条线段，所以线段的条数是；④∵某校七年级共有8个班进行足球比赛，∴全部赛完共需比赛场次为：（场），∴全部赛完共需比赛场次为28.【点睛】本题考查的是线段和射线的计数问题，在一条直线上有n个点，计线段数或者射线数时，要先写出以A点为端点的线段数或射线数，再写出以B为端点的线段数或射线数，…求出所有的线段数和射线数，然后发现规律，来计出n个点时射线数和线段数，最后代入来解决应用问题．例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根据题目中的规律即可求解；（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据规律即可求解；（3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛．【详解】（1）解：．则．故答案为：，；（2）解：①．②如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条．故答案为：①5047；②100；③，；（3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班；②横线上的线段有条，竖线上的线段有条，则横线和竖线上的线段共有条；③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛，16强分成8组对阵，共有8场比赛，8强分成4组对阵，共有4场比赛，4强分成2组对阵，共有2场比赛，决赛有2场比赛，故共有场比赛．故答案为：①90；②135；③64．【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题．2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023春·浙江·七年级课堂例题）图中角的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据角的定义可进行求解．【详解】解：图中属于角的有：；共6个；故选D．【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握角的定义是解题的关键．例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．【答案】66【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．【详解】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．故答案为：66．例3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：

（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？（3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有个不同的角【分析】（2）根据图1直接数出即可；（3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数．【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1，则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2，在图1的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10个不同的角；若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角．【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可；（2）将代入求解即可．【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有，，∴图中得到3个角；②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有，，∴图中得到6个角；③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角；（2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛．【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键．3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（）A．16 B．28 C．32 D．40【答案】B【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可．【详解】解：∵条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，……∴条直线最多有个交点，∴时，（个），∴条直线最多有个交点．故选：B．【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值．例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（

）个部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根据题意画出图形即可．【详解】如图，

所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选：．【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有．【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；…∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；n条直线相交，交点最多有．故选A．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键．例4．（2023春·浙江七年级期中）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；（2）n条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到块饼．【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56【分析】（1）总结规律，根据规律求解；（2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n(n﹣1)；n条直线两两相交，平面被分成1+n(n+1)块；（3）根据（2）的结论解答即可．【详解】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2＝3个交点；4条直线相交有1+2+3＝6个交点；5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）当n＝10时，（块），故答案为：56【点睛】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键.例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用]把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可.【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=；②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；…n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，．[实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根据对角线公式求解即可．【详解】解：六边形共有多少条对角线有：条．故选B．【点睛】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，n边形对角线的总条数为：是解题的关键．例2．（2023春·山东威海·七年级统考期中）从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．【详解】解：设多边形的边数为，由题意，得：，∴，∴该多边形的边数为7；故选C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．例3．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成个三角形，则边形的对角线条数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数，再求对角线条数即可．【详解】解：依题意有，解得．对角线条数是，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．例4．（2023秋·山东济南·七年级校联考期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（

）A．9 B．54 C．60 D．108【答案】B【分析】n边形的对角线条数公式代入即可求出．【详解】12×（12-3）÷2=54故本题答案为：B【点睛】求多边形的对角线条数是本题的考点，牢记公式是解决此题的关键．例5．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将n边形分成个三角形，一个n边形共有条对角线．【答案】任意不相邻【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可．【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线．故答案为：任意不相邻，，，．【点睛】本题考查多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识．例6．（2023秋·浙江七年级课时练习）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数/个45678……从一个顶点出发的对角线的条数/条12345……①___________多边形对角线的总条数/条2591420……②___________（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？【答案】（1）①；②；（2）135个【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。【详解】（1）由表可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3；从一个顶点可以引出n－3条对角线，则n个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．故答案为：①；②（2）因为（名），18名学生看成是顶点数为18的多边形，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，则由（1）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话为（个）．【点睛】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用：同组三个人之间不能打电话，对应多边形的一个顶点不能与相邻的两个顶点连成对角线，因此18个人对应18个顶点，不同组的两位同学间打一个电话对应连接两顶点的一条对角线.课后专项训练1．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个【答案】C【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3⋯n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C．【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想．2．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（）条线段．

A．125 B．140 C．155 D．160【答案】B【分析】根据已知图形，得出一般规律第个图形的线段条数为，据此即可求出第10个图形的线段条数．【详解】解：观察图形发现第1图形的线段条数为；第2个图形的线段条数为；第3个图形的线段条数为；……观察可知一般规律，第个图形的线段条数为；即第10个图形的线段条数为，故选：B．【点睛】本题属于规律探索题，考查了线段的数量，根据题意图形正确得出一般规律是解题关键．3．（2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）过平面上A，B，C，D四点中的任意两点作直线，一共可作的直线条数不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．1【答案】B【分析】分别讨论，①三点共线，②四点共线，③任意三点都不共线，即可得出答案．【详解】解：（1）当四点共线时，可画1条，如图（1）；（2）当四点中有三点共线时，可画4条，如图（2）；（3）当四点中任意三点不共线时，可画6条，如图（3）；观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，关键是讨论点共线的情况．4．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种 B．42种 C．10种 D．84种【答案】A【分析】根据图示，由线段的定义解决此题．【详解】解：如图，图中有5个站点．往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有（种）．∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为（种）．故选：A．【点睛】本题主要考查线段，熟练掌握清晰的逻辑思维以及线段的定义是解决本题的关键．5．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，以A为一个端点的线段共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据线段的定义“直线上两点间的有限部分（包括两个端点）”找出以A为一个端点的线段即可选择．【详解】解：根据题意可知：以A为一个端点的线段有：AB，AC，AD共3条，故选C．【点睛】本题考查线段的定义，理解线段的定义，正确找出以A为一个端点的线段是解答本题的关键．6．（2023秋·浙江七年级月考）公园里准备修条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】∵有5条直线，每一条直线最多与其它直线有4个交点，∴最多有5×4÷2=10个交点，即这样的报亭最多有10个，故答案为10．7．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形．则、的值分别为（

）A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，4【答案】B【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2．【详解】解：对角线的数量m=5-3=2条；分成的三角形的数量为n=5-2=3个．故选：B．【点睛】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解题的关键是熟记：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2．8．（2023春·浙江·八年级专题练习）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（

）A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形【答案】A【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，，解得：，即这个多边形是六边形，故选：A【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．9．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售种不同行程的动车票.【答案】【分析】根据题意画出示意图，数出线段的条数，再根据往返是两种不同的车票，可得答案．【详解】解：由图知：成都与重庆之间往返的动车，中途还需停靠3个站，共有10条线段，∵往返是两种不同的车票，∴铁路部门对此运行区间应准备20种不同的火车票．故答案为20．【点睛】此题主要考查了数学知识解决生活中的问题；需要掌握正确数线段的方法．10．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）过平面上A、B、C三点中的任意两点作直线，可作条．【答案】1或3【分析】分两种情况：当三点共线时、当三个点不在同一条直线上时来解答．【详解】解：如图，过平面上A、B、C三点中的任意两点作直线，当三点共线时，可作1条；当三个点不在同一条直线上时，可作3条．故答案为：1或3．

【点睛】此题考查过点作直线的规律探究，正确理解过两点有且只有一条直线，解题中运用分类思想解决问题．11．（2023秋·宁夏吴忠·八年级校考阶段练习）已知正多边形的边长为5，从其一个顶点出发共有3条对角线，则该正多边形的周长为．【答案】【分析】多边形的边数多边形从其一个顶点出发对角线条数．【详解】解：正多边形从其一个顶点出发共有条对角线，则该正多边形为正六边形，所以该正多边形的周长．故答案为：．【点睛】本题主要考查多边形，牢记多边形的边数与从其一个顶点出发对角线条数的关系是解题的关键．12．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则．【答案】【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线.的交点个数，找出规律即可解答.【详解】如图：2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，5条直线相交最多有个交点，6条直线相交最多有个交点，…n直线相交最多有个交点．所以，而最少可以得到1个交点，，故答案为：．【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点.13．（2023秋·广西七年级课时练习）如图：已知，，图中以O为顶点的所有角之和为_______．【答案】【分析】先找出所有以O为顶点的角，然后根据∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°，求解即可得到答案．【详解】解：如图所示，以O为顶点的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB，∵∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°∴∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB=4∠AOB+2∠COE=300°故答案为：300°．【点睛】本题主要考查了角的定义和角的计算，解题的关键在于能够准确找出以O为顶点的角．14．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了个三角形，则经过这一点的对角线的条数是条．【答案】【分析】可根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．【详解】设多边形有条边，则，解得故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是故答案为：．【点睛】此题考查了多边形的对角线，多边形有条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．15．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．【答案】七【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，计算可求解．【详解】解：由题意得：，故过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形的多边形为七边形，故答案为：七．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键．16．（2023秋·山东七年级课时练习）如图，O为直线AB上一点，图中小于平角的角有个；若OD、OE分别平分和，则图中共有对互余的角，对互补的角．【答案】945【分析】观察图像，有5条射线，每两条射线可以构成一个角，则可以构成个角，其中有1个平角，进而可得小于平角的角的个数；根据OD、OE分别平分和，则构成了2对相等的角，且不相等的两个角的和为90°，则可以求得互余的角的度数，根据互补的定义可得分别将平角分成了2个角，且有两对相等的角，据此分析即可【详解】观察图像，有5条射线，每两条射线可以构成一个角，则可以构成个角，其中有1个是平角，则图中小于平角的角有9个；若OD、OE分别平分和，则,则互余的角有4对；分别将平角分成了2个角，即，3对，2对互补的角有5对故答案为：【点睛】本题考查了互余互补的定义，角的定义，理解以上定义是解题的关键．17．（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备种车票．【答案】20【分析】根据题意，作出图形，根据线段的知识解决问题即可．【详解】如图：共有10条线段，,又题中是往返列车，往返的车票都不相同，所以共有10×2＝20种车票，故答案为20．【点睛】本题主要考查运用直线、射线、线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法．18．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）已知10条直线两两相交，最多会有的交点数可能是个．【答案】45【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，求得n条直线相交，最多有个交点；将代入上式即可求解．【详解】解：3条直线相交，最多有个交点；4条直线相交，最多有个交点；5条直线相交，最多有个交点；5条直线相交，最多有个交点；…∴n条直线相交，最多有个交点；∴10条直线相交，最多有个交点．故答案为：45．【点睛】此题考查平面内不重合直线的交点个数问题，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多个交点是解题的关键．19．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是边形．【答案】六【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可．【详解】解：设此多边形有条边，由题意，得，解得，这个多边形是六边形．故答案为：六．【点睛】此题考查多边形的对角线；解题关键在于理解题意找出等量关系列出方程．20．（2023秋·广东七年级月考）如图，在锐角内部，画条射线，可得个锐角；画条不同射线，可得个锐角；画条不同射线，可得个锐角照此规律，画条不同射线，可得个锐角．

【答案】3610【分析】从一个锐角顶点引出条不同射线，可得个锐角，依据规律解答即可．【详解】解：在锐角内部，画条射线，可得3个锐角；；画条不同射线，可得6个锐角；；画条不同射线，可得10个锐角；；照此规律，画条不同射线，可得个锐角．故答案为：3，6，10，．【点睛】本题考查了射线和角的概念，掌握规律的探求方法是解题的关键．21．（2023秋·四川成都·七年级校考期中）如图，在平面内有A，B，C三点．(1)画直线，线段，射线；(2)在线段上任取一点D（不同于B，C），连接线段；(3)数数看，此时图中线段的条数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6条【分析】（1）根据条件画图即可．（2）根据已知条件画图即可．（3）根据图，数出线段条数即可．【详解】（1）解：如图，直线，线段，射线即为所求．（2）如图，线段即为所求；（3）由题可得，图中有线段，，，，，，一共6条．所以图中线段的条数为6．【点睛】此题考查了直线、线段、射线，解题的关键熟知概念并会画图．22．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，O为直线上一点，，平分．

(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角；(2)求出的度数；(3)请通过计算说明是否平分．【答案】(1)9个(2)(3)平分，过程见解析【分析】（1）根据角的定义进行求解即可；（2）根据角平分线的定义得到，再根据平角的定义进行求解即可；（3）先求出的度数，进而求出的度数，由此即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得，图中小于平角的角有，∴图中有9个小于平角的角；（2）解：∵平分，∴，∴；（3）解：∵∴，∴，∴平分．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的概念，灵活运用所学知识是解题的关键．23．（2023秋·浙江·七年级专题练习）阅读表：线段上的点数（包括A，B两点）图形线段总条数N34567解答下列问题：(1)在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数；(2)请猜测，线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系？请写出来；(3)变式练习①：如果过每两点可以画一条直线，那么请在下面三组图中分别画线，并回答问题：第（1）组最多可以画条直线；第（2）组最多可以画条直线；第（3）组最多可以画条直线．归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线_____条．（用含n的代数式表示）变式练习②：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握_____次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需_____件礼物．变式练习③：从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备_____种车票．【答案】(1)画出图形见解析；，(2)线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系为：(3)变式练习①：3；6；10；归纳结论：；变式练习②：1225；2450；变式练习③：36【分析】（1）根据图中规律画出图形，写出结果；（2）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式；（3）①根据两点确定一条直线作图分析；归纳结论：根据数字变化规律列出代数式；②根据归纳结论代入相应的数值求解；③从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），那么一共有9个站，即，将，代入（2）中的关系式即可．【详解】（1）解：线段上的点数（包括A，B两点）为6个时，如图：此时，线段总条数，线段上的点数（包括A，B两点）为7个时，如图：此时，线段总条数，填表如下：线段上的点数（包括A，B两点）图形线段总条数N34567（2）解：线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系为：；（3）解：①第（1）组最多可以画3条直线，第（2）组最多可以画6条直线，第（3）组最多可以画10条直线，故答案为：3；6；10；归纳结论：如果平面上有个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条，故答案为：；②当时，（次），（件），∴某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握1225次手，最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需2450件礼物，故答案为：1225；2450；③当时，（种），∴从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备36种车票，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了线段的定义，此题在线段的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，注意第三问是要求的单趟的车票种类．24．（2023秋·浙江·七年级专题练习）解答下列各题（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：内射线的条数1234角的总个数________________________（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；（3）把2020代入求解即可．【详解】解：（1）填表如下：内射线的条数1234角的总个数361015（2）当时，角总个数为：，当时，角总个数为：，当时，角总个数为：，当时，角总个数为：，当时，角总个数为：，即内射线的条线是n时，角总个数为：（3）当内有射线条数是2020时，角总个数为：（个）．【点睛】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n-1）个角．25．（2023秋·浙江七年级月考）(1)观察思考如图所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：如果线段AB上有3个点，那么线段总条数为3；如果线段AB上有4个点，那么线段总条数为6；如果线段AB上有5个点，那么线段总条数为________．3＝2＋1＝

6＝3＋2＋1＝(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，那么共有________条线段．(3)拓展应用:8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【答案】(1)10(2)；（3）见解析.(3)把8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，线段上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行＝28(场)比赛．【详解】【分析】（1）根据图形可以得出5个点的线段总数为1+2+3+4=10条，故得出结论；（2）根据题意就可以得出m个点就有1+2+3+…+(m-1)=条线段；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【详解】（1）根据题意可知线段AB上有5个点，那么线段总条数为1+2+3+4=10条，故答案为10；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x=m（m﹣1），∴x=，故答案为；（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行=28场比赛，答：一共要进行28场比赛.【点睛】本题考查了规律性问题，线段的条数，根据题意得出直线上点的个数与线段的总条数间的规律是解题的关键.26．（2023·山东·七年级假期作业）探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角线．（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；（3）探索归纳：对于n边形，共有______条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有______对角线．【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；（3）根据探索，可发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案．【详解】解：（1）经过点可以做1条对角线；同样，经过点可以做1条；经过点可以做1条；经过点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．故答案为：1、1、1、2；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线，故答案为：5、9；（3）探索归纳：对于边形，共有条对角线．故答案为：；（4）特例验证：十边形有对角线．故答案为：35.【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键．27．（2023.湖南怀化七年级期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手：（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）当直线条数为5时，把平面最多分成部分，写成和的形式；（2）当直线为n条时，把平面最多分成部分．【答案】16，1+2+3+4+5；1+n（n+1）．【详解】试题分析：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成1+1+2+3+4+5=16部分；（2）根据（1）的规律，得出当直线为n条时，把平面最多分成：1+1+2+3+…+n=1+n（n+1）．考点：探寻规律．28．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）观察探究及应用．（1）如图，观察图形并填空：一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；（2）分析探究：由凸边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？【答案】（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）；（4）54【分析】（1）根据图形数出对角线条数即可；（2）根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，进而可得共可作n(n-3)条对角线；（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，即可解答；（4）把n=12代入（3）计算即可．【详解】解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线；故答案为：2；5；9；（2）∵从凸4边形的一个顶点出发，可作1条对角线，从凸5边形的一个顶点出发，可作2条对角线，从凸6边形的一个顶点出发，可作3条对角线，从凸7边形的一个顶点出发，可作4条对角线，…∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，若允许重复计数，共可作n(n-3)条对角线；故答案为：(n-3)；n(n-3)．（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，故答案为：．（4）把n=12代入计算得：=54．故一个凸十二边形有54条对角线．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发