专题04双角平分线模型与角n等分线模型(原卷版+解析)

专题04双角平分线模型与角n等分线模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。模型1.

双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；结论：.例1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（

）A．B．C．D．例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（）A． B． C． D．例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（

）个．

①；②；③；④；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）（）如图，已知，平分，平分，平分，平分，则．（）若按照（）中的方法将平分线作到第次（即平分），那么．

例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或例7．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知，，分别平分、．求的度数．例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若，，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）例9．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．课后专项训练1．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（

）A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个2．（2023秋·广东湛江·七年级统考期末）如图所示，、分别是、的平分线，且，则的度数是．3．（2022秋·海南三亚·七年级统考期末）已知，在同一平面内过点作射线，平分，平分，的度数为．4．（2022秋·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝°．（用含n的代数式表示）5．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上．

6．（2023·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，，是的平分线，是的平分线．求的大小．7．（2023·重庆·七年级校考阶段练习）已知点为直线上的一点，为直角，平分.（1）如图1，若，则______°.（2）如图1，若，求的度数.（用含的代数式表示）（3）如图2，若，平分，且，求的值.

8．（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）（1）如图1，已知线段，C是线段AB上一点，，M是的中点，N是的中点．求线段的长．（2）如图2，已知点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线．①若，求的度数．②如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由．9．（2023春·七年级期中）如图，点，，在一条直线上，，平分．(1)若，求的余角的度数．(2)若，求的度数（用含的式子表示）．10．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．(1)如图1，当时，________，________．(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．图2：__________；图3：__________．11．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线．(1)如图1，若，，、分别是、的角平分线，求的度数；(2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由．12．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）阅读材料并解答问题．数学课上，老师给出了如下问题：如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．以下是小兰的解答过程（部分空缺）：解：如图2因为平分．所以__________________．又因为所以_________．张明说：“我觉得这道题有两种情况，小兰考虑的是在内部的情况，事实上还可以在的外部．”请完成以下问题：(1)请你将小兰的解答过程补充完整．(2)根据张明的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求此时的度数．13．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线与直线相交于点平分．(1)若，求；(2)若，求．

14．（2022秋·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）如图，已知点为直线上一点，，平分，，是的三等分线，求的度数．

15．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，求证：；(3)若，过点O作射线，使，求的度数．

16．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）如图所示，直线相交于点O，平分，平分．(1)求证：;(2)若，求的度数．

17．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）已知：如图，，平分．(1)若，求和的度数；(2)若，则_________．

18．（2023重庆市七年级上学期期末数学试题）已知内部有三条射线，，且在同一个平面内，，射线始终在射线的上方，，．(1)如图，当平分时，求的度数；(2)如图，若时，求的度数．19．（2023秋·山东·七年级课堂例题）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．

专题04.双角平分线模型与角n等分线模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。模型1.

双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；结论：.例1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合已知条件可求得的度数，然后将代入计算即可求得答案．【详解】解：平分，平分，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查角的计算及角平分线的定义，结合已知条件求得是解题的关键．例2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系，再根据选项选取正确答案．【详解】A．∵是的平分线，∴．∵是的平分线，∴，∴，故A正确；B．∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∴，即，故B不正确；C．由B知，，即，故C不正确；D．，故D不正确；故选A．【点睛】此题考查的是角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系是解决此题关键．例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据、分别是、的角平分线，可得，，根据，可得，再结合，可得，问题随之得解．【详解】∵、分别是、的角平分线，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（

）个．

①；②；③；④；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解．【详解】解：由题意得：，，，①，故①正确；②，即，故②正确；③，即，故③正确；④由①得，故④错误；综上，①②③正确，共3个；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系．例5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）（）如图，已知，平分，平分，平分，平分，则．（）若按照（）中的方法将平分线作到第次（即平分），那么．

【答案】【分析】（1）根据角的平分线的定义，得到结合规律计算即可．（2）根据猜想的规律计算即可．【详解】（1）∵平分，平分，平分，平分，∴，，∴，∵，∴，故答案为：．（1）∵平分，平分，平分，平分，∴，，∴，∴，当时，故答案为：．【点睛】本题考查了角的平分线的意义，角的变化规律，熟练掌握规律的探解方法是解题的关键．例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或【答案】C【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；综上，为或或，故选：C．【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．例7．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知，，分别平分、．求的度数．【答案】或【分析】分当在内时及当在外时，两种情况，根据角平分线的性质及角的和与差即可得出答案．【详解】解：当在内时，，，分别平分、，,；

当OC在外时，，，分别平分、，,；综上所述，的度数为或．【点睛】本题考查了角的平分线的计算，根据题意分情况讨论是解题的关键．例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若，，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．【详解】（1）∵，平分，∴∵分别平分，．∴∴．（2）若射线在的内部，如图2∵，，、分别平分、．∴∴．所以当射线在的内部时，．若射线在外部时，如图3∵，，、分别平分、．∴∴．所以当射线在的外部时，．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．例9．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．【详解】（1）解：，，，是的平分线，，；答：的度数为．（2）解：是的平分线．，是的平分线，，，，答：的度数为．（3）解：由（2）得，，又，，，，，，，当，，；当，，【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．课后专项训练1．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（

）A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个【答案】C【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，∴，故A选项不符合题意；，故B选项不符合题意；∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意；∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．2．（2023秋·广东湛江·七年级统考期末）如图所示，、分别是、的平分线，且，则的度数是．【答案】【分析】利用角的平分线的性质计算．【详解】解：∵是的平分线，，∴，又∵是的平分线，∴，故答案为：．【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算．解题的关键是先找出角与角之间的关系，再运算．3．（2022秋·海南三亚·七年级统考期末）已知，在同一平面内过点作射线，平分，平分，的度数为．【答案】或【分析】分在内部或在外部两种情况，根据角平分线的定义得出，，由，结合的度数求解即可．【详解】解：当在内部时，如图所示：射线平分，射线平分，，，，，，；当当在内部时，如图所示：射线平分，射线平分，，，，，，；综上分析可知，的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义，注意分类讨论，是解题的关键．4．（2022秋·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝°．（用含n的代数式表示）【答案】【分析】根据角的和差即可得到结论．【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：．【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．5．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上．

【答案】【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案．【详解】解：设，，，，，平分，平分，平分，，，，，故正确，符合题意；，度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意；，故正确，符合题意；，，，故正确，符合题意；综上所述，正确的有：，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．6．（2023·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，，是的平分线，是的平分线．求的大小．【答案】【分析】由角分线的定义得到，，再代入计算即可．【详解】解：∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴．∴的大小为．【点睛】本题考查角平分线的定义，角的有关计算的应用．解题的关键结合图形确定．7．（2023·重庆·七年级校考阶段练习）已知点为直线上的一点，为直角，平分.（1）如图1，若，则______°.

（2）如图1，若，求的度数.（用含的代数式表示）（3）如图2，若，平分，且，求的值.

【答案】（1）22.5（2）（3）160【分析】(1)由∠AOE=45°，可以求得∠BOE=135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠EOC=67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF=∠EOF−∠EOC=22.5°；(2)由(1)的方法即可得到∠COF=°；(3)先设∠BOF为x°，再根据角的关系得出方程，解答后求出n的值即可．【详解】解：（1）∵∠AOE=45°，∴=135°，∵平分，∴∠EOC=67.5°∵为直角，∴∠COF=∠EOF−∠EOC=22.5°；（2））∵，∴，∵平分，∴∵为直角，∴（3）设为，为，为，平分，则可得：，解得：，所以可得：，，故的值是160.故答案为：160【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，角的和差，准确识图是解题的关键．8．（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）（1）如图1，已知线段，C是线段AB上一点，，M是的中点，N是的中点．求线段的长．（2）如图2，已知点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线．①若，求的度数．②如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②不变，理由见解析【分析】（1）根据线段中点定义可求，的长度，然后根据求解即可；（2）①先根据角平分线的定义求出，，然后根据邻补角定义求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据求解即可；②根据角平分线定义可得，，根据邻补角定义可得，代入计算即可解决问题．【详解】解：（1）∵，，M是的中点，N是的中点，∴，，∴；（2）①∵射线是的平分线，，∴，，又∴，∵射线是的平分线，∴，∴；②的度数不变．理由如下：∵射线、分别是、的平分线，，，又，．【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，有关角平分线的计算，掌握线段中点的定义和角平分线定义是解题的关键．9．（2023春·七年级期中）如图，点，，在一条直线上，，平分．(1)若，求的余角的度数．(2)若，求的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用与的倍数关系求出的度数，然后利用余角的定义求解即可；（2）先计算出，的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴的余角的度数为（2）解：∵，，∴，，又平分，∴，∴．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，余角的定义等知识，正确识图，找准角的有关关系是解题的关键．10．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．(1)如图1，当时，________，________．(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．图2：__________；图3：__________．【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)，【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；（2）根据（1），可得，问题得解；（3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解．【详解】（1）∵射线、射线分别平分、，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：，；（2），理由如下：在（1）中有：，，，∴；（3）图2中，，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∵射线、射线分别平分、，∴，，∴，∵，，∴；图3中，，理由如下：∵，∴，∵射线、射线分别平分、，∴，，∵，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键．11．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线．(1)如图1，若，，、分别是、的角平分线，求的度数；(2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)；(2)．理由见解析【分析】（1）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可；（2）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解.【详解】（1）解：∵，，、分别是、的角平分线，∴，，∴；（2）解：．理由如下，∵，∴设，则，设，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，则，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．12．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）阅读材料并解答问题．数学课上，老师给出了如下问题：如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．以下是小兰的解答过程（部分空缺）：解：如图2因为平分．所以__________________．又因为所以_________．张明说：“我觉得这道题有两种情况，小兰考虑的是在内部的情况，事实上还可以在的外部．”请完成以下问题：(1)请你将小兰的解答过程补充完整．(2)根据张明的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求此时的度数．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据,即可求解；（2）根据角平分线的定义得出，根据,即可求解．【详解】（1）解：如图2因为平分．所以．又因为所以．故答案为：；；．（2）解：如图1因为平分．所以．又因为所以．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．13．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线与直线相交于点平分．

(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，平分，可得，根据，计算求解即可．（2）由，设，则，由，可得，解得，则，，根据，求解即可．【详解】（1）解：∵，平分，∴，∴．（2）解：∵，设，则．∵，∴，解得，∴，，∴．【点睛】本题考查了角平分线，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．14．（2022秋·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）如图，已知点为直线上一点，，平分，，是的三等分线，求的度数．

【答案】【分析】根据角平分线的性质得到，再根据角的三等分线定义得到，再由平角的定义得到，即可解答．【详解】∵，平分，∴，∵，是的三等分线，∴，又，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的三等分线，平角的定义，根据图形确定所求角与已知角的关系是解题的关键．15．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，求证：；(3)若，过点O作射线，使，求的度数．

【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）根据角平分线的意义求出，再由求解即可；（2）先由角平分线的定义得出，再求出，利用等式的性质即可证明；（3）先由角平分线的意义和角的和差得出，再分两种情况进行讨论：①当在直线下方时，②当在直线上方时，进行求解即可．【详解】（1）∵平分，，∴，∵，∴；（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，①当在直线下方时，；②当在直线上方时，；综上所述，的度数是或．【点睛】本题考查了角平分线的意义和角的和差，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．16．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）如图所示，直线相交于点O，平分，平分．(1)求证：;(2)若，求的度数．

【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由角平分线的定义得到，，又由得到，结论得证；（2）由得到，由得到，根据对顶角相等即可得到的度数．【详解】（1）∵平分，平分，∴，，∵，∴，即.（2）由（1）可知，∴，∵，∴，∵，∴，即的度数为．【点睛】此题考查了几何图形中的角的计算，用到了角平分线的定义、对顶角的性质、垂直的定义、邻补角等知识，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键．17．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）已知：如图，，平分．

(1)若，求和的度数；(2)若，则_________．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出，根据对顶角的性质得到，进而求出，根据角平分线的定义可得，进而可求出的度数；（2）先求出，根据角平分线的定义得到，进而可求出的度数．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，角的和差，数形结合是解答本题的关键．18．（2023重庆市七年级上学期期末数学试题）已知内部有三条射线，，且在同一个平面内，，射线始终在射线的上方，，．(1)如图，当平分时，求的度数；(2)如图，若时，求的度数．【答案】(1)；(2)的度数为或．【分析】（1）根据题意，求得、的度数，再根据角平分线的定义，求得的度数，从而得到的度数，即可求解；（2）分两种情况，在的上方或在的下方，分别求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可得：，，设当在的上方时，，∴，∴，由可得，解得，即；当在的下方时，则，∴，∴由可得解得，即；综上，的度数