专题06线段与角的等量代换模型(原卷版+解析)

专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。模型1.

线段与角度的等量代换模型【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则②若，则③④其中正确的结论是（

）A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④例3．（2023·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（

）A．3 B．7 C．10 D．13例4．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6例5．（2023秋·广东七年级期中）已知：如图所示，则()A．B．C．D．与的大小无法比较例6．（2023秋·安徽安庆·七年级校联考期末）如图所示，已知，，则的度数是A． B． C． D．例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．无法确定例8．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（

）A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义例9．（2023·安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：其中正确的是（）A． B． C． D．例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．例11．（2023.河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分．(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．

例12．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．(1)如图1，，，与的数量关系是：________．(2)如图2，，，与的数量关系是：________．(3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________．(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数．例13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）填空：已知：如图，、相交于点．求证：证明：∵，（______）∴______．（等式性质）同理可得：______又∵，（______）∴，（等量代换）课后专项训练1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较3．（2023.江苏镇江七年级期末）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（）A． B． C． D．以上都不对4．（2023·山西·七年级统考阶段练习）如图，点M，N，P分别是线段AN，AB，NB的中点，则下列说法正确的是（

）A．点N是线段AP的中点 B．点N是线段BM的中点C．线段BM是线段NP的3倍 D．线段AP是线段NB的2倍5．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC=3cm，C为AD中点且AB=10cm，则DB=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm6．（2023.河南南阳七年级期末）在线段MN的延长线上取一点P，使NP＝MN，再在MN的延长线上截取QM＝3MN，那么线段MP的长是线段NQ的长的（）A． B． C． D．7．（2023.上海七年级期末）如图，C是线段上的一点，D是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为16，且所有线段的长度都是正整数，则线段的长度是（

）．A．2 B．3 C．4 D．58．（2023.天津市南开区七年级期末）如图，AOB是一条直线，∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互补的角有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对9．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级联考期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（）对．A．5 B．4 C．3 D．210．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（

）A． B． C． D．11．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，于，则的度数为（

）

A． B． C． D．12．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，于点A，于点D，则下列说法中正确的是（）

①的余角只有；②的补角是；③与互补；④与互余A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④13．（2023春·河北保定·七年级统考期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③14．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，直线相交，若，图中与相等的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．16．（2023春·北京顺义·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是（写出一组满足题意的序号）．①；②和互余；③；④．

17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）一副三角板如图放置，当∠1与∠2互余时，∠1的度数是.

18．（2023秋·广东韶关·七年级校考期末）和互补，且，则，理由是．19．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则．

20．（2023.成都市七年级期末）如图，在同一平面内，，则的度数为．21．（2023·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，已知点，为线段上顺次两点，、分别是，的中点．（1）若，求的长；（2）若，，请用含有，的式子表示出的长．22．（2023.江西省南昌市七年级期末）问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点．若，求线段的长．请补全以下解答过程．解：∵点C是线段的中点，点E是线段的中点∴，，∵，∴___________，∵，∴___________．23．（2023·四川绵阳·七年级校联考期末）如图，点为线段上两点，，点为线段的三等分点（靠近点），点，分别为，的中点．（1）求证：；（2）若，求的长．24．（2023·湖北武汉·七年级校考期末）（1）如图1，C、D为线段上两点，若D为中点，，求的长；（2）如图2，为内两条射线，，求的度数．25．（2023·河南郑州·七年级校考阶段练习）问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长．请补全以下解答过程．解：∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE=+BE∵AD=BE

∴DE=DB+（

），即DE=AB∵DE=4

∴AB=4又∵点B为线段AC的中点，∴AC==8

（

）26．（2023秋·广东佛山·七年级统考期中）已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．(1)如图1，①若∠COF＝20°，求∠BOE的度数；②若∠COF＝α，直接写出∠BOE的度数；（用含α的式子表示）(2)如图2，若∠COE处于图2的位置，试探究∠BOE和∠COF之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．27．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线相交于点O，过点O作平分．若，求的度数．28．（2023春·上海·七年级专题练习）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整：题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性质）∵（

）∴__________________（等量代换）∵平分（已知）∴____________（角平分线的意义）∴（

）29．（2023秋·甘肃金昌·七年级校考期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.30．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，若与重合，则__________________；(2)如图2，，求的度数；(3)如图3，，求的度数．31．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）把下面的证明过程补充完整．已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且．求证：．证明：（已知）又（）（等量代换）平分（已知）（）（已知）（）（等量代换）（有两个角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定义）32．（2023春·四川眉山·七年级统考期末）如图，在△ABC中BD是边AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，点E在AC的延长线上，求∠BCE的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD=．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（），∴∠BCE=＋128°=（等量代换）．33．（2023·绵阳市·七年级专题练习）对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为，所以点P是点M，N的“4和点”．(1)如图2，已知点A表示的数为，点B表示的数为2．①若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值______．②若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为______．③若点D是点A，B的“k和点”，且，求k的值．(2)数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．34．（2023.江苏七年级月考）已知∠AOD=150°．（1）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，①∠BOC的余角是，比较∠AOB∠COD（填＞，=或＜），理由：；②∠BOC=度；（2）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角，①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数；②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数．35．（2023.河北省保定市唐县七年级期末）（1）如图1，平分．的度数等于______．（2）如图2，点O是直线上的一点，与互余，求的度数．（3）如图3，点C是线段的中点，，求的长．（4）变形、如图4，已知，则的度数为________，和的数量关系为________．

专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。模型1.

线段与角度的等量代换模型【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得答案．【详解】∵，∴，即．故选：B．【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握各线段之间的数量关系是解题的关键．例2．（2023·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则②若，则③④其中正确的结论是（

）A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④【答案】D【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析．【详解】解：∵，分别是线段，的中点，∴，，如图①若，∴，∴，∴，∴，∴，故①正确；②若，∴，∵M、N分别是线段，的中点，∴，，∴，故②正确；∵，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，故④正确，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．例3．（2023·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（

）A．3 B．7 C．10 D．13【答案】B【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论．【详解】解：∵，，∴CD＝3，∵，∴AC＝AD－CD＝7，故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键．例4．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由是的中点，解得，再由线段的和差将整理成，将整理成，最后由整体思想解题即可．【详解】解：是的中点，，BE=AB-AE，，AE=AD+DE，故选：B．【点睛】本题考查线段的和差、线段的中点等知识，是重要考点，难度较易，解题的关键是掌握线段的和差计算方式．例5．（2023秋·广东七年级期中）已知：如图所示，则()A．B．C．D．与的大小无法比较【答案】C【分析】已知，由等式性质得到即可得到答案．【详解】解：∵，∴，即．故选：C．【点睛】本题考查角的有关计算．根据等式性质得到是解题的关键．例6．（2023秋·安徽安庆·七年级校联考期末）如图所示，已知，，则的度数是A． B． C． D．【答案】A【分析】根据∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD．【详解】解：∵∠AOB＝150°，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝150°−90°＝60°，∴∠COD＝∠BOD−∠BOC＝90°−60°＝30°，故选A．【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是分清题中角之间的关系．例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．无法确定【答案】C【分析】由，，可知，进而可得答案．【详解】解：∵，∴故选C．【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等．例8．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（

）A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义【答案】C【分析】根据等量代换即可求解．【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”．例9．（2023·安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：其中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的和差关系，由已知条件进行解答即可．【详解】解：，，即，故正确；又，，故正确；，故正确；，故正确．正确的是，故选：D．【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是明确题意，分清角的和差关系．例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或或【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；（2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得；（3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解．【详解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度数是；（3）的度数是或或或，理由如下：如图1，，，，

，又，，，如图2，，即，又，，，

如图3，，，又，，，如图，，，，综上所述，的大小为或或或．【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．例11．（2023.河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求解，，可得答案；（2）先求解，，再证明，，结合角的和差运算可得答案；（3）设，可得，证明，，再利用角的和差关系可得答案．【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．∴，，∴；（2）∵在内部，，，∴，，∵平分，平分．∴，，∴．（3）设，，∴，∵平分，平分．，∴，，∴．【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题关键．例12．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．(1)如图1，，，与的数量关系是：________．(2)如图2，，，与的数量关系是：________．(3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________．(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数．【答案】(1)(2)(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补(4)、或、【分析】（1）根据垂线的定义，得出，，根据直角三角形两锐角互余，得出，，最后根据，得出结论即可；（2）根据垂线的定义得出，，，根据四边形内角和，得出，最后得出结论即可；（3）根据解析（1）（2）总结归纳出结论即可；（4）设另一个角的度数为，则这个角的度数为，根据这两个角相等或互补两种情况列出关于的方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，，∵∴，故答案为；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，故答案为．（3）解：由（1）（2）可得一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补，故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补；（4）解：设另一个角的度数为，则这个角的度数为，根据题意可得或解得或，当时，，当时，，∴这两个角的度数为，或，．【点睛】本题主要考查补角的定义和垂直的定义，余角的性质，直角三角形的性质，四边形内角和，在解题的过程中，要注意分类讨论．例13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）填空：已知：如图，、相交于点．求证：证明：∵，（______）∴______．（等式性质）同理可得：______又∵，（______）∴，（等量代换）【答案】三角形的内角和等于180°,1,2,对顶角相等【分析】根据三角形的内角和定理，对顶角相等填空即可求解．【详解】证明：∵，（三角形的内角和等于180°）∴．（等式性质）同理可得：又∵，（对顶角相等）∴，（等量代换）故答案为：三角形的内角和等于180°,1,2,对顶角相等【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角相等，掌握相关定理是解题的关键．课后专项训练1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB【答案】D【分析】根据线段的中线性质求解即可；【详解】∵D是BC的中点，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了线段中线的性质应用，准确分析是解题的关键．2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD．【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故选：B．【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．3．（2023.江苏镇江七年级期末）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（）A． B． C． D．以上都不对【答案】C【分析】根据M是的中点，N是的中点，得出，，根据，，得出，求出，根据求出结果即可．【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．4．（2023·山西·七年级统考阶段练习）如图，点M，N，P分别是线段AN，AB，NB的中点，则下列说法正确的是（

）A．点N是线段AP的中点 B．点N是线段BM的中点C．线段BM是线段NP的3倍 D．线段AP是线段NB的2倍【答案】C【分析】根据中点的定义，得到AM=MN=NP=PB=，则，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵点M，N，P分别是线段AN，AB，NB的中点，∴AM=MN=NP=PB=，∴，∴,∴C正确；故选：C.【点睛】此题考查了线段中点的定义，两点间的距离，熟练掌握线段四等分点的定义是解本题的关键．5．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC=3cm，C为AD中点且AB=10cm，则DB=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【分析】从AD的中点C入手，得到CD的长度，再由AB的长度算出DB的长度．【详解】解：∵点C为AD的中点，AC=3cm，∴CD=3cm．∵AB=10cm，AC+CD+DB=AB，∴BD=10-3-3=4cm．故答案选：A．【点睛】本题考查了两点间的距离以及线段中点的性质，利用线段之间的关系求出CD的长度是解题的关键．6．（2023.河南南阳七年级期末）在线段MN的延长线上取一点P，使NP＝MN，再在MN的延长线上截取QM＝3MN，那么线段MP的长是线段NQ的长的（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作出图形，结合图形计算即可．【详解】解：根据题意，作出图形，如下所示：设，则，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查线段之间的数量关系，根据意义作出图形，数形结合计算是解决问题的关键．7．（2023.上海七年级期末）如图，C是线段上的一点，D是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为16，且所有线段的长度都是正整数，则线段的长度是（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】可以设出AC和CD的长，再根据图中所有线段的长度之和为16，即可列出等式，再根据线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，即可求出答案．【详解】解：设，，，即：，得：．因为线段的长度与线段的长度都是正整数，所以可知x最大为2，可知：，y为小数，不符合；，，符合题意．所以．故选：B．【点睛】本题考查了比较线段长短的知识，有一定难度，解题的关键是根据题意列出方程式，并探讨解的合理性．8．（2023.天津市南开区七年级期末）如图，AOB是一条直线，∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互补的角有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【答案】D【分析】根据邻补角的定义以及角平分线的定义求得图中角的度数，然后根据互补的定义进行判断．【详解】∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°．∵OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD=30°，∠COE=∠BOE=60°，∴∠AOE=∠BOC=120°，∠DOE=90°，∠DOB=150°，则∠AOD+∠DOB=180°，∠COD+∠DOB=180°，∠AOC+∠BOC=180°，∠COE+∠BOC=180°，∠BOE+∠BOC=180°，∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE+∠AOC=180°，∠AOE+∠COE=180°．总之有8对互补的角．故选D．【点睛】本题考查了补角的定义以及角平分线的定义，正确求得图中角的度数是关键．9．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级联考期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（）对．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据余角的定义找出互余的角即可得解．【详解】解：∵OE平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4对，故选：B．【点睛】本题考查了余角的定义，从图中确定余角时要注意按照一定的顺序，防止遗漏．10．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】互余关系求出，对顶角相等，得到即可；【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等．解题的关键是正确的识图，理清角度之间的和差关系．11．（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，于，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据“同角的余角相等”求解．【详解】解：∵，∴．又∵，∴．∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，运用了“同角的余角相等”求解的．12．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，于点A，于点D，则下列说法中正确的是（）

①的余角只有；②的补角是；③与互补；④与互余A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根据，可得，即可得到，，结合可得，结合即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，∴，，故①错误，∵，故②正确，∵，∴，∵，∴，故③④正确，故选：B；【点睛】本题考查垂直的性质，互补与互余的定义，解题的关键是根据已知条件得到角度数量关系．13．（2023春·河北保定·七年级统考期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由根据等角的余角相等得到，而，即可判断①正确；由，而，即可判断②正确；由，而，即可判断③不正确．【详解】解：∵，∴，而，∴，所以①正确；，所以②正确；，而，所以③不正确；故选：A．【点睛】本题考查了余角和补角，角度的计算，余角的性质，准确识图是解题的关键．14．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）如图，直线相交，若，图中与相等的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据同角的补角相等可证明，根据对顶角相等可证明，．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴图中与相等的角有3个，故选C．【点睛】本题主要考查了对顶角相等，同角的补角相等，灵活运用所学知识是解题的关键．15．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值．【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，……由此可得：，∴，故选C．【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．16．（2023春·北京顺义·七年级统考期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是（写出一组满足题意的序号）．①；②和互余；③；④．

【答案】①③（答案不唯一）【分析】例如添加①③，利用垂线的定义和同角的余角相等即可证明．【详解】解：如选择：①，③，∴，，∴，故答案为：①③（答案不唯一）．【点睛】本题考查了垂线的定义，余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等．17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）一副三角板如图放置，当∠1与∠2互余时，∠1的度数是.

【答案】/度【分析】根据余角的定义和性质，得出，，即可求出．【详解】解：∵∠1与∠2互余，∴，∵与互余，∴，∴，∵与互余，∴，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了余角的定义与性质，解题的关键是熟练掌握同角或等角的余角相等．18．（2023秋·广东韶关·七年级校考期末）和互补，且，则，理由是．【答案】同角的补角相等【分析】根据互补的定义，即可进行解答．相加等于的两个角互补．【详解】解：∵和互补，∴，∵，∴（同角的补角相等），故答案为：，同角的补角相等．【点睛】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，同角的补角相等．19．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则．

【答案】【分析】设，表示出，根据与互余，，得出关于的等式，求解即可．【详解】解：设，比大，，与互余，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了互余的定义，一元一次方程，解题的关键是利用互余建立一元一次方程求解．20．（2023.成都市七年级期末）如图，在同一平面内，，则的度数为．【答案】65°或115°或165°【分析】分当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，三种情况画出图形求解即可．【详解】解：如图1所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部时，∵∠AOC=25°，∠COD=50°，∴∠AOD=25°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=65°；如图2所示，当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部时，∵∠AOC=25°，∠COD=50°，∴∠AOD=75°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=165°；如图3所示，当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，∵∠AOC=25°，∠COD=50°，∴∠AOD=25°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=115°；综上所述，∠BOD的度数为65°或115°或165°．故答案为：65°或115°或165°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，画出对应图形是解题的关键．21．（2023·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，已知点，为线段上顺次两点，、分别是，的中点．（1）若，求的长；（2）若，，请用含有，的式子表示出的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据比例关系先求解出AC，BD，再根据中点的定义求解AM，BN，从而AB-AM-BN=MN即可计算；（2）根据题意可得AC+BD，从而结合中点的定义计算出MC+DN，则通过MC+CD+DN=MN即可计算．【详解】（1）∵，，∴，，∵、分别是，的中点，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，∵、分别是，的中点，∴，，则，∴，∴．【点睛】本题考查了线段有关的计算问题，中点的定义，熟练根据题意确定出各线段之间的数量关系是解题关键．22．（2023.江西省南昌市七年级期末）问题：如图，点C是线段的中点，点D在线段上，点E是线段的中点．若，求线段的长．请补全以下解答过程．解：∵点C是线段的中点，点E是线段的中点∴，，∵，∴___________，∵，∴___________．【答案】【分析】先由线段的中点意义得出，，再根据进行代换可得，继而求解即可．【详解】解：∵点C是线段的中点，点E是线段的中点∴，，∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是两点间的距离，线段的和差及线段的中点，解答此类问题时要注意各线段之间的和、差关系．23．（2023·四川绵阳·七年级校联考期末）如图，点为线段上两点，，点为线段的三等分点（靠近点），点，分别为，的中点．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）设，利用题中已给的关系和线段的和差表示CM和DN，即可证明结论；（2）先根据求得k的值，再用线段的和差表示，将k的值代入计算即可．【详解】（1）设．如图，因为为线段的三等分点（靠近点），所以．因为，所以．

又点分别为的中点，所以，所以，可得，所以；

（2）由（1）知因为，即，所以，又，所以．【点睛】本题考查了线段的中点和求两点之间的距离，能正确表示各个线段的长度是解此题的关键．24．（2023·湖北武汉·七年级校考期末）（1）如图1，C、D为线段上两点，若D为中点，，求的长；（2）如图2，为内两条射线，，求的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求得，由中点的定义得到，再利用线段的和与差即可求解；（2）设，则，，根据题意列方程求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，∵D为中点，∴，∴；（2）设，∵，∴，∵，∴，依题意得，解得，∴．【点睛】本题考查两点间的距离以及角的和差，利用线段中点的性质，线段的和差，角的和差是解题关键．25．（2023·河南郑州·七年级校考阶段练习）问题：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，AD=BE，若DE=4，求线段AC的长．请补全以下解答过程．解：∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE=+BE∵AD=BE

∴DE=DB+（

），即DE=AB∵DE=4

∴AB=4又∵点B为线段AC的中点，∴AC==8

（

）【答案】DB；AD，等量代换；2AB，中点定义【分析】先根据AD=BE求出AB=DE，再根据线段的中点的定义解答即可；【详解】∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE=DB+BE，∵AD=BE，∴DE=DB+AD（等量代换），即DE=AB，∵DE=4，∴AB=4，又∵点B为线段AC的中点，∴AC=2AB=8（中点定义），故答案为：DB、AD、等量代换、2AB、中点定义；【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义并着重训练同学们的逻辑推理能力；26．（2023秋·广东佛山·七年级统考期中）已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．(1)如图1，①若∠COF＝20°，求∠BOE的度数；②若∠COF＝α，直接写出∠BOE的度数；（用含α的式子表示）(2)如图2，若∠COE处于图2的位置，试探究∠BOE和∠COF之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)①40°②(2)∠BOE＝2∠COF，理由见解析【分析】（1）①根据角平分线得出∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，结合题意得出∠EOF＝70°，再结合图形即可得出结果；②方法与①类似；（2）由角平分线得出∠AOE＝2∠EOF，再结合图形及各角之间的数量关系求解即可得出结果．【详解】（1）解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE.∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－20°＝70°.∴∠AOE＝2∠EOF＝140°.∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－140°＝40°②∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE.∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－α∴∠AOE＝2∠EOF＝180°-2α.∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝2α；（2）∠BOE＝2∠COF.理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－∠COF∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝∠AOB－2∠EOF＝180°－2（90°－∠COF）＝2∠COF．【点睛】题目主要考查角平分线的定义及角度的计算，找准图中各角之间的数量关系是解题关键．27．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线相交于点O，过点O作平分．若，求的度数．【答案】70°【分析】根据角平分线的定义和对顶角相等解答即可．【详解】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝20°，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠EOF＝90°－20°＝70°．【点睛】本题主要考查了角的平分线和角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，是解答本题的关键．28．（2023春·上海·七年级专题练习）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整：题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性质）∵（

）∴__________________（等量代换）∵平分（已知）∴____________（角平分线的意义）∴（

）【答案】∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换．【分析】利用已知条件，进行推理即可．【详解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知），∴∠BOF＝∠COB−∠COF＝32°（等式性质），∵∠AOE＝∠FOB（对顶角相等），∴∠AOE＝32°（等量代换），∵OA平分∠DOE（已知）∴∠AOE＝∠AOD（角平分线的意义），∴∠DOE＝64°（等量代换）．故答案为：∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换．【点睛】本题考查的是证明的步骤和格式，解题关键是熟练掌握对顶角相等、等量代换、角平分线的意义．29．（2023秋·甘肃金昌·七年级校考期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.【答案】（1）120°，60°；（2）∠DOE与∠AOB互补，理由见解析.【分析】（1）∠AOB的度数等于已知两角的和，再根据补角的定义求解；（2）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断．【详解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，其补角为180°-∠AOB=180°-120°=60°.（2）∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠AOE=∠AOC=×50°=25°.∠DOE与∠AOB互补.理由如下：∵∠DOC=35°，∠AOE=25°，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=∠DOC+∠AOE=60°.∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，∴∠DOE与∠AOB互补.考点：补角的意义，互为补角的判断30．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，若与重合，则__________________；(2)如图2，，求的度数；(3)如图3，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据角平分线的定义知，，，据此求解得出答案，（2）根据角平分线的定义知，，再根据可得出答案，（3）根据角平分线的定义知，，，再根据可得答案．【详解】（1），重合，,平分，平分，，，,故答案为：．（2）（2），平分，，同理，．（3），平分，，同理，．【点睛】本题主要考查角的和差关系和角平分线的定义、熟练掌握角的和差的表示以及角平分线的定义是解决本题的关键．31．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）把下面的证明过程补充完整．已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且．求证：．证明：（已知）又（）（等量代换）平分（已知）（）（已知）（）（等量代换）（有两个角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定义）【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC【分析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC．【详解】证明：（已知）又（对顶角相等）（等量代换）平分（已知）（角平分线定义）（已知）（直角三角形两个锐角互余）（等量代换）ADC（有两个角互余的三角形是直角三角形）（垂直的定义）故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC【点睛】考核知识点：对顶角性质、角平分线定义、直角三角形定义、垂直定义．理解垂直的定义和直角三角形性质是解题关键．32．（2023春·四川眉山·七年级统考期末）如图，在△ABC中BD是边AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，点E在AC的延长线上，求∠BCE的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD=．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（），∴∠BCE=＋128°=（等量代换）．【答案】90°；25°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；25°；153°．【分析】根据垂直的定义及直角三角形两个锐角互余得出∠BAD=25°．再由三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=90°．∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD=25°．∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BCE=25°＋128°=153°（等量代换）．故答案为：90°；25°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；25°；153°．【点睛】题目主要考查垂直的定义及直角三角形两个锐角互余