第05课有理数的乘除法(原卷版+解析)

第5课有理数的乘除法1、掌握有理数的乘法和除法运算法则；2、学会求一个数的倒数；3、掌握有理数的乘除混合运算4、掌握有理数的加减乘除混合运算知识点1有理数的乘法1.有理数的乘法法则（1）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.（2）任何数与0相乘,都得0.【计算思路】乘法法则两数相乘同号积为正绝对值相乘异号积为负任何数与0相乘积为0【注意】（1）当积的符号确定后,就转化为小学学过的数的乘法了.（2）任何数同1相乘仍得原数,任何数同相乘得原数的相反数.【举例】2.有理数乘法运算律运算律语言叙述字母表示交换律两个数相乘，交换因数的位置,积相等ab=ba结合律三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等(ab)c=a(bc)分配律一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a(b＋c)=ab+ac知识点2倒数1、定义:乘积为1的两个数互为倒数.2、特例:0没有倒数.【注意】(1)倒数是两个数之间的关系,可以说一个数是另一个数的倒数.单独一个数不能说成倒数,当三个或三个以上的数的乘积为1时,也不能说它们互为倒数.(2)0没有倒数.(3)若a≠0,则a的倒数是；3、求一个数的倒数：数的特点方法举例非零整数a(a≠0)直接写成的倒数是分数(m≠0,n≠0)分子、分母颠倒位置的倒数是带分数先化为假分数的倒数是小数先化为分数的倒数是知识点3有理数乘法法则的推广（1）几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数.（2）如果其中有因数为0,那么积等于0.【解题思路】几个有理数相乘无因数0偶数个负因数积为正绝对值相乘奇数个负因数积为负有因数0积为0【注意】（1）进行多个有理数的乘法运算时,一定要注意观察因数中是否有0.（2）多个非零有理数相乘，一定要先确定积的符号,再将绝对值相乘.【总结】第1步:看因数中有没有0;第2步:判断积的符号(根据负因数的个数);第3步:计算积的绝对值.知识点4有理数除法法则1、变除法为乘法:法则描述:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即:a÷b=a×(b≠0).法则2、直接除两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.【注意】（1）两数相除要先确定商的符号,再确定商的绝对值.（2）当除法运算中既有小数又有分数时，一般先将小数统一化成分数,有带分数的将带分数统一化成假分数,再进行运算.【有理数除法法则的选择】（1）能整除时,选用有理数除法法则2.（2）不能整除时,选用有理数除法法则1.【特别提醒】(1)两个数相除,若结果为1,则这两个数相等;若结果为,则这两个数互为相反数.(2)有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律.知识点5有理数的乘除混合运算在进行有理数的乘除混合运算时,可先将除法转化为乘法,再运用乘法法则和运算律进行计算.【注意】（1）积的符号由负因数的个数确定,可借用口诀“偶正奇负﹐有0为0”.（2）结果能化简的要化简【示例】解题步骤第1步将除法化为乘法第2步确定积的符号，并把绝对值相乘第3步运用乘法运算律简化运算第4步求出结果【特别提醒】（1）乘除混合运算是同级运算，运算时按从左到右的顺序进行.（2）除法转化为乘法后可以运用乘法运算律简化运算.知识点6有理数四则混合运算有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与小学所学的混合运算一样,按照“先乘除,后加减”的顺序进行.【注意】化简分数仍遵循“同号得正,异号得负”的符号法则,因此可得“符号移动”法则:分子、分母、分数前的符号,三者有一个或三个为负,结果为负,有两个为负,结果为正.【乘除混合运算的一般步骤】(1)先将除法化为乘法,算式化成连乘的形式.(2)把小数化为分数,带分数化为假分数.(3)由负因数的个数确定积的符号.(4)约分化简.(5)运算顺序:先乘除,后加减，如果有括号，先计算括号内的部分.(6)在计算时,时刻注意符号问题.知识点1有理数的乘法1．计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣42．计算：＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．83．计算：7×（﹣6）＝．4．两个数的积是，其中一个是，则另一个是．5．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．知识点2倒数6．﹣23的倒数是（）A．23 B．﹣23 C． D．﹣7．下列各数中，倒数是它本身的数是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣28．1的倒数是，没有倒数．知识点3有理数乘法法则的推广9．下列算式中，积为负数的是（）A．0×（﹣3） B．2×（﹣3）×4×（﹣5） C．（﹣3）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）10．若a＜c＜0＜b，则a•b•c（）0A．＞ B．＜ C．＝ D．≥11．3×（﹣1）×（﹣）×0＝．知识点4有理数的除法12．计算的结果是（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．913．计算15÷（﹣3）的结果是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．514．计算：＝．15．计算：﹣9÷3÷（﹣3）＝．16．计算：（1）（﹣36）÷9；（2）．知识点5有理数的乘除法混合运算17．计算的结果为（）A．﹣32 B．32 C．﹣64 D．6418．计算（﹣6）÷（﹣）×6的结果是（）A．6 B．36 C．﹣1 D．119．计算：4．20．计算：．知识点6有理数的四则混合运算21．若﹣5□5×1＝0成立，则“□”中的运算符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷22．定义一种新运算：a*b＝ab﹣b．例如：1*2＝1×2﹣2＝0．则（﹣4）*[2*（﹣3）]的值为（）A．﹣3 B．9 C．15 D．2723．计算：．24．如果|a|＝6，|b|＝5，ab＜0，求a+b的值．25．请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是（﹣+）÷（）＝（﹣+）×（﹣30）＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．1．2023的倒数是（）A． B．﹣2023 C． D．20232．计算（﹣2）×3的结果等于（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣63．计算的结果是（）A． B． C． D．64．计算（﹣5）÷的结果等于（）A．﹣25 B．﹣1 C．1 D．255．把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（）A．（﹣）×B．（﹣）×C．（﹣）×（﹣）D．（﹣）×（﹣）6．若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（）A．a﹣b＞0 B．ab＞0 C．a＜﹣b D．|a|＜|b|7．如果a＜0＜b，则的值与0的大小关系是（）A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．不能确定8．计算：的结果为（）A． B． C．﹣1 D．19．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，则4（a+b）+3xy的值是（）A．1 B．2 C．3 D．510．在计算1÷（﹣）时，下列是三位同学的过程．甲：原式＝1÷；乙：原式＝1÷﹣1÷；丙：原式＝1×（3﹣2），则（）A．甲正确B．乙正确C．丙正确D．甲、乙、丙均不正确11．计算6×（﹣﹣+）＝．12．（﹣7）×（﹣6）×0÷（﹣13）＝．13．计算（﹣81）÷×÷（﹣4）结果为．14．在﹣1，2，﹣3，0，5这五个数中，任取两个相除，其中商最小的是．15．计算：（1）；（2）．16．计算：（1）；（2）．17．计算：（1）8+（）﹣5﹣（﹣0.25）；（2）﹣36×（）；（3）﹣2+2÷×2；（4）﹣3.5××÷．18．已知|x|＝6，|y|＝2．（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值．

第5课有理数的乘除法1、掌握有理数的乘法和除法运算法则；2、学会求一个数的倒数；3、掌握有理数的乘除混合运算4、掌握有理数的加减乘除混合运算知识点1有理数的乘法1.有理数的乘法法则（1）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.（2）任何数与0相乘,都得0.【计算思路】乘法法则两数相乘同号积为正绝对值相乘异号积为负任何数与0相乘积为0【注意】（1）当积的符号确定后,就转化为小学学过的数的乘法了.（2）任何数同1相乘仍得原数,任何数同相乘得原数的相反数.【举例】2.有理数乘法运算律运算律语言叙述字母表示交换律两个数相乘，交换因数的位置,积相等ab=ba结合律三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等(ab)c=a(bc)分配律一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a(b＋c)=ab+ac知识点2倒数1、定义:乘积为1的两个数互为倒数.2、特例:0没有倒数.【注意】(1)倒数是两个数之间的关系,可以说一个数是另一个数的倒数.单独一个数不能说成倒数,当三个或三个以上的数的乘积为1时,也不能说它们互为倒数.(2)0没有倒数.(3)若a≠0,则a的倒数是；3、求一个数的倒数：数的特点方法举例非零整数a(a≠0)直接写成的倒数是分数(m≠0,n≠0)分子、分母颠倒位置的倒数是带分数先化为假分数的倒数是小数先化为分数的倒数是知识点3有理数乘法法则的推广（1）几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数.（2）如果其中有因数为0,那么积等于0.【解题思路】几个有理数相乘无因数0偶数个负因数积为正绝对值相乘奇数个负因数积为负有因数0积为0【注意】（1）进行多个有理数的乘法运算时,一定要注意观察因数中是否有0.（2）多个非零有理数相乘，一定要先确定积的符号,再将绝对值相乘.【总结】第1步:看因数中有没有0;第2步:判断积的符号(根据负因数的个数);第3步:计算积的绝对值.知识点4有理数除法法则1、变除法为乘法:法则描述:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即:a÷b=a×(b≠0).法则2、直接除两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.【注意】（1）两数相除要先确定商的符号,再确定商的绝对值.（2）当除法运算中既有小数又有分数时，一般先将小数统一化成分数,有带分数的将带分数统一化成假分数,再进行运算.【有理数除法法则的选择】（1）能整除时,选用有理数除法法则2.（2）不能整除时,选用有理数除法法则1.【特别提醒】(1)两个数相除,若结果为1,则这两个数相等;若结果为,则这两个数互为相反数.(2)有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律.知识点5有理数的乘除混合运算在进行有理数的乘除混合运算时,可先将除法转化为乘法,再运用乘法法则和运算律进行计算.【注意】（1）积的符号由负因数的个数确定,可借用口诀“偶正奇负﹐有0为0”.（2）结果能化简的要化简【示例】解题步骤第1步将除法化为乘法第2步确定积的符号，并把绝对值相乘第3步运用乘法运算律简化运算第4步求出结果【特别提醒】（1）乘除混合运算是同级运算，运算时按从左到右的顺序进行.（2）除法转化为乘法后可以运用乘法运算律简化运算.知识点6有理数四则混合运算有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与小学所学的混合运算一样,按照“先乘除,后加减”的顺序进行.【注意】化简分数仍遵循“同号得正,异号得负”的符号法则,因此可得“符号移动”法则:分子、分母、分数前的符号,三者有一个或三个为负,结果为负,有两个为负,结果为正.【乘除混合运算的一般步骤】(1)先将除法化为乘法,算式化成连乘的形式.(2)把小数化为分数,带分数化为假分数.(3)由负因数的个数确定积的符号.(4)约分化简.(5)运算顺序:先乘除,后加减，如果有括号，先计算括号内的部分.(6)在计算时,时刻注意符号问题.知识点1有理数的乘法1．计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣4【分析】根据有理数乘法的计算得出结论即可．【解答】解：（﹣1）×（﹣3）＝1×3＝3，故选：A．2．计算：＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8【分析】根据有理数的乘法运算即可得出结论．【解答】解：＝（﹣2）×3＝﹣6，故选：A．3．计算：7×（﹣6）＝﹣42．【分析】直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣42．故答案为：﹣42．4．两个数的积是，其中一个是，则另一个是．【分析】根据有理数的乘法运算即可求出答案．【解答】解：另外一个数是：÷（﹣）＝，故答案为：．5．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．【解答】解：（1）3*（﹣4），＝4×3×（﹣4），＝﹣48；（2）（﹣2）*（6*3），＝（﹣2）*（4×6×3），＝（﹣2）*（72），＝4×（﹣2）×（72），＝﹣576．知识点2倒数6．﹣23的倒数是（）A．23 B．﹣23 C． D．﹣【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：﹣23的倒数是﹣．故选：D．7．下列各数中，倒数是它本身的数是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣2【分析】根据倒数的定义，可知倒数是它本身的数是±1．【解答】解：倒数是它本身的数是±1，故选：A．8．1的倒数是1，0没有倒数．【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解答】解：1的倒数是1，0没有倒数．故答案为：1，0．知识点3有理数乘法法则的推广9．下列算式中，积为负数的是（）A．0×（﹣3） B．2×（﹣3）×4×（﹣5） C．（﹣3）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）【分析】根据有理数的乘法法则进行判断便可．【解答】解：A、0×（﹣3）＝0，结果为0，不符合题意；B、2×（﹣3）×4×（﹣5）＝120，结果为正，不符合题意；C、（﹣3）×（﹣5）＝15，结果为正，不符合题意；D、（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）＝﹣120，结果为负，符合题意．故选：D．10．若a＜c＜0＜b，则a•b•c（）0A．＞ B．＜ C．＝ D．≥【分析】根据有理数乘法法则即可得答案．【解答】解：∵a＜c＜0＜b，∴a•b•c＞0，故选：A．11．3×（﹣1）×（﹣）×0＝0．【分析】根据有0因数和有理数的乘法法则计算．【解答】解：原式＝0，故答案为：0．知识点4有理数的除法12．计算的结果是（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【分析】根据有理数除法法则，求出计算：（﹣3）÷（﹣）的结果是多少即可．【解答】解：原式＝（﹣3）×（﹣3）＝9，故选：D．13．计算15÷（﹣3）的结果是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：15÷（﹣3）＝﹣5．故选：A．14．计算：＝．【分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝÷＝×＝．故答案为：．15．计算：﹣9÷3÷（﹣3）＝1．【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：﹣9÷3÷（﹣3）＝﹣9××（﹣）＝1．故答案为：1．16．计算：（1）（﹣36）÷9；（2）．【分析】根据有理数除法法则，除以一个数等于乘上这个数的倒数，转化成有理数的乘法进行运算，即可得到答案．【解答】解：（1）（﹣36）÷9＝﹣（36÷9）＝﹣4；（2）．知识点5有理数的乘除法混合运算17．计算的结果为（）A．﹣32 B．32 C．﹣64 D．64【分析】从左到右依次计算即可．【解答】解：原式＝16×（﹣4）＝﹣64．故选：C．18．计算（﹣6）÷（﹣）×6的结果是（）A．6 B．36 C．﹣1 D．1【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．【解答】解：（﹣6）÷（﹣）×6＝（﹣6）×（﹣6）×6＝36．故选：B．19．计算：4．【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝××＝8．20．计算：．【分析】先把除法变为乘法，再约分即可得出结果．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．知识点6有理数的四则混合运算21．若﹣5□5×1＝0成立，则“□”中的运算符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【分析】把加减乘除的符号代入计算即可求解．【解答】解：﹣5+5×1＝﹣5+5＝0，故A选项符合题意；﹣5﹣5×1＝﹣5﹣5＝﹣10，故B选项不符合题意；﹣5×5×1＝﹣25，故B选项不符合题意；﹣5÷5×1＝﹣1×1＝﹣1，故B选项不符合题意．故选：A．22．定义一种新运算：a*b＝ab﹣b．例如：1*2＝1×2﹣2＝0．则（﹣4）*[2*（﹣3）]的值为（）A．﹣3 B．9 C．15 D．27【分析】把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的法则进行运算即可．【解答】解：（﹣4）*[2*（﹣3）]＝（﹣4）*[2×（﹣3）﹣（﹣3）]＝（﹣4）*（﹣6+3）＝（﹣4）*（﹣3）＝﹣4×（﹣3）﹣（﹣3）＝12+3＝15．故选：C．23．计算：．【分析】利用有理数的乘法运算，先去小括号，再去中括号．【解答】解：＝×（0.75﹣+0.25）＝×（0.75+0.25﹣）＝×（1﹣）＝×＝．24．如果|a|＝6，|b|＝5，ab＜0，求a+b的值．【分析】先运用绝对值和有理数乘法知识求得a，b的值，再代入求解．【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝5，∴a＝±6，b＝±5，∵ab＜0，∴a＝6，b＝﹣5或a＝﹣6，b＝5，当a＝6，b＝﹣5时，a+b＝6﹣5＝1；当a＝﹣6，b＝5时，a+b＝﹣6+5＝﹣1，∴a+b的值是1或﹣1．25．请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是（﹣+）÷（）＝（﹣+）×（﹣30）＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（﹣+﹣）÷（﹣）的结果，再算出原式结果即可．【解答】解：原式的倒数是：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42）＝﹣（7﹣9+28﹣12）＝﹣14，故原式＝﹣．1．2023的倒数是（）A． B．﹣2023 C． D．2023【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒数是．故选：C．2．计算（﹣2）×3的结果等于（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6【分析】运用有理数乘法法则进行求解．【解答】解：（﹣2）×3＝﹣（2×3）＝﹣6，故选：D．3．计算的结果是（）A． B． C． D．6【分析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可．【解答】解：．故选：B．4．计算（﹣5）÷的结果等于（）A．﹣25 B．﹣1 C．1 D．25【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数．【解答】解：（﹣5）÷＝（﹣5）×5＝﹣25．故选：A．5．把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（）A．（﹣）× B．（﹣）× C．（﹣）×（﹣） D．（﹣）×（﹣）【分析】根据除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数可得．【解答】解：把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（﹣）×（﹣），故选：D．6．若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（）A．a﹣b＞0 B．ab＞0 C．a＜﹣b D．|a|＜|b|【分析】根据图中的点的位置即可确定a、b的正负，即可判断．【解答】解：根据数轴可知：a＜0、b＞0，|a|＜|b|，A、a﹣b＜0，故该选项不符合题意；B、ab＜0，故该选项不符合题意；C、∵a+b＞0，∴a＞﹣b，故该选项不符合题意；D、|a|＜|b|，故该选项符合题意；故选：D．7．如果a＜0＜b，则的值与0的大小关系是（）A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．不能确定【分析】根据有理数的除法法法则解答即可．【解答】解：∵a＜0＜b，∴＜0．故选：B．8．计算：的结果为（）A． B． C．﹣1 D．1【分析】利用有理数的乘法和除法法则计算并判断即可．【解答】解：＝﹣1×（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：A．9．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，则4（a+b）+3xy的值是（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b，xy的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：a+b＝0，xy＝1，则原式＝3，故选：C．10．在计算1÷（﹣）时，下列是三位同学的过程．甲：原式＝1÷；乙：原式＝1÷﹣1÷；丙：原式＝1×（3﹣2），则（）A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．甲、乙、丙均不正确【分析】根据题目中的式子，通过变形，即可判断甲、乙、丙是否正确．【解答】解：1÷（﹣）＝1÷（﹣），故甲错误，1÷（﹣）≠1÷﹣1÷，故乙错误；1÷（﹣）＝1×（﹣6）≠1×（3﹣2），故丙错误；故选：D．11．计算6×（﹣﹣+）＝﹣4．【分析】根据乘法分配律计算．【解答】解：6×（﹣﹣+）＝﹣6×﹣6×+6×＝﹣3﹣2+1＝﹣4．故答案为：﹣4．12．（﹣7）×（﹣6）×0÷（﹣13）＝0．【分析】根据有理数的乘除混合运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝42×0÷（﹣13）＝0÷（﹣13）＝0．故答案为：0．13．计算（﹣81）÷×÷（﹣4）结果为4．【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．【解答】解：（﹣81）÷×÷（﹣4）＝（﹣81）×××（﹣）＝4．故答案为：4．14．在﹣1，2，﹣3，0，5这五个数中，任取两个相除，其