专题13等腰三角形中的分类讨论模型(原卷版+解析)

专题13等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对例2．（2023·四川达州·八年级校考期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（

）A． B．或 C． D．以上都不对例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）A． B．或 C．或 D．例4．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A． B．或 C．或 D．例5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（

）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．例7．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为．例8．（2023·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，建立平面直角坐标系，点坐标为，若是以为腰的等腰三角形，且点在轴上，则满足条件的的坐标是．例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．

(1)的长为__________；（用含的代数式表示）(2)若点在的角平分线上，求的值；(3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值．例10．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．

(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．课后专项训练1．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或112．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出()

A．7个 B．6个 C．4个 D．3个3．（2022·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（

）A． B． C．或 D．或6．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰三角形中一个角为，则它的底角为（

）A．或 B．或 C．或 D．7．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或48．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为．9．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是．19．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为．11．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．12.（2022·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在中，，，在坐标轴上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有__________个.13．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．14．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．15．（2023秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开（该直线需经过点A），使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为．17．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在中，，分别是和的高．若，

（1）的长为()；（2）在的腰上取一点M，当是等腰三角形时，长为()18．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．

19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．

20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，，垂足为，，，．(1)求证：；(2)点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．21．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．

专题13等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰方法：两圆一线具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）例1．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对【答案】B【分析】利用非负数的性质，求出，的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．【详解】解：，又，，，，当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系；当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．例2．（2023·四川达州·八年级校考期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（

）A． B．或 C． D．以上都不对【答案】C【分析】分为腰和底两种情况求解,注意三角形的存在性：通过两个短边和大于最长边可判断三角形存在，反之则无法构成三角形．【详解】解：因为等腰三角形的周长为，其中一边长为，当为腰长时，其余两边的长分别为，,三角形不存在；当为底边长时，其余两边的长都为，三角形存在；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可【详解】解：①当底角为时，顶角，②当顶角为时，顶角度数，综上：顶角度数为或；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．例4．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，，顶角；如图，三角形是钝角时，，顶角，综上所述，顶角等于或．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．例5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（

）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案.【详解】如图所示．网格中满足条件的点C有，共4个,故选B．【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解题的关键.例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．【答案】或或．【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当时，是等腰直角三角形，,，；②如图，当时，过点作，交的延长线于点，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如图，当时，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．综上所述，的长为：或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．例7．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为．【答案】或【分析】画出图形，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：分两种情况讨论：①如图，，

∴，∴；②如图，，∴，∵，，∴，∴；综述：等腰三角形的顶角的度数为或.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，恰当分类并画出图形是解题的关键.例8．（2023·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，建立平面直角坐标系，点坐标为，若是以为腰的等腰三角形，且点在轴上，则满足条件的的坐标是．【答案】或或【分析】分，，，三种情况，利用等腰三角形的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，如图，当时，的坐标为；当时，的坐标为；当时，过点A作轴，垂足为C，∴，∴的坐标为；综上：点B的坐标为或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质，难度适中，关键是注意分情况讨论．例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．

(1)的长为__________；（用含的代数式表示）(2)若点在的角平分线上，求的值；(3)在整个运动中，求出是等腰三角形时的值．【答案】(1)(2)t的值为(3)t的值为或或4【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案；（2）根据角平分线的性质解答即可；（3）分作为底和腰两种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动，∴点P运动的长度为：；故答案为：；（2）解：过点P作于点M，如图所示：

在中，，，，由勾股定理得：，点P在的角平分线上，，，，又，，，，设，则，在中，，，解得：，，即若点P在的角平分线上，则t的值为；（3）解：当作为底边时，如图所示：

则，设，则，在中，，，解得：此时；当作为腰时，如图所示：，此时；时，，，此时，综上分析可知，t的值为或或4．【点睛】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．例10．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．

(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)直线的函数表达式为(2)(3)点的坐标为或或或【分析】（1）由待定系数法可求出答案；（2）据三角形的面积可求出点的纵坐标，代入直线的解析式可得出答案；（3）分四种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质可求出答案．【详解】（1）解：直线：分别与轴，轴交于两点，在中，当时，，点坐标为，点在轴正半轴上，，，设直线的解析式为，，，直线的函数表达式为；（2）解：直线：分别与轴，轴交于两点，在中，当时，，解得，，，，，，，由题意知，点在轴下方，，，，把代入，，解得，；（3）解：若点在轴的正半轴，如图，

，

，是以为底边的等腰直角三角形，，，直线的解析式为，时，，，，，；若点在轴的负半轴，如图，同理可得，，；若点在轴的负半轴，如图，，

，过点作轴于点，是等腰直角三角形，，，，，，，，设，则，，解得，，，；若点在轴的正半轴，如图，过点作轴于点，同理可得，，，，，，综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，面积的计算等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质．课后专项训练1．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或11【答案】D【分析】分边4是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后求解即可．【详解】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3，能组成三角形，周长，若4是腰，则三角形的三边分别为4、4、3，能组成三角形，周长，综上所述，此三角形的周长是10或11．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形．2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出()

A．7个 B．6个 C．4个 D．3个【答案】A【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，圆弧经过的格点即为第三个顶点的位置，作AB的垂直平分线，如果经过格点，则这样的点也满足条件，由上述作法即可求得答案.【详解】如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点，故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据题意画出符合条件的等腰三角形．3．（2022·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等边三角形，∴点重合，∴符合条件的点P有2个；故选B．【点睛】本题考查等腰三角形性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．【详解】解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．【详解】解：分两种情况：①高在三角形的内部时，如图：

，，，∴，∴；②高在三角形的外部时，如图：

，，，∴，∴．故底角度数为或，故选D．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．6．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）等腰三角形中一个角为，则它的底角为（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，②当这个角是顶角时，设该等腰三角形的底角是，则，解可得，，即该等腰三角形的底角的度数是；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键；注意分类讨论思想的应用．7．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．【详解】解：当时，，，当时，则，，三条线段，，不能构成三角形，当时，则，，三条线段，，不能构成三角形，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．8．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为．【答案】40°或100°【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小．【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：，①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°；②当40°角为底角时，该等腰三角形顶角度数。故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键．9．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是．【答案】或【分析】根据题意分等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵，，∴，∴∴三角形的底角为；②当为钝角三角形时，如图2，∵，，∴，∵，∴∴∴三角形的顶角为，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．19．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为．【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时，作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB，由题意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此时，C点坐标为(4，6)；②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时，作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可证得△BOA≌△AQC，∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此时，C点坐标为(6，2)；③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时，作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°，同①理，可证得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，则，即：，解得：，∴ON=2+1=3，∴此时，C点坐标为(3，3)；综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3)．【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键．11．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．【答案】8【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．12.（2022·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在中，，，在坐标轴上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有__________个.【答案】6【分析】分类讨论：AB=AM时，AB=BM时，AM=BM时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得到符合题意的点的个数.【详解】①当AB=AM时，在y轴上有2个满足条件的点M,在x轴上有1个满足条件的点M;②当AB=BM时，在y轴上有1个满足条件的点M,在x轴上有2个满足条件的点M,有1点与AB=AM时的x轴负半轴上的点M重合；③当AM=BM时，在x轴、y轴上各有1个满足条件的点M，有一点与AB=AM时的x轴负半轴上的点M重合．综上所述，符合条件的点M共有6个．故答案为:6.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，注意有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故存在重合的情况，此为解题的关键.13．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．【答案】或或．【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，当DE=DF时，如图1，此时DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，∴，∴，设，则，则在直角△DHE中，，解得，当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，∴，设，则，∴，即∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴在△AHE和△BNE中，∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，设，则，在直角△AEH中，，解得，当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，同理∴故答案为：或或．【点睛】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．14．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到.然后对中的边进行讨论，然后在中，利用三角形内角和定理即可求得的度数.【详解】∵是的中垂线,∴，∴，∵,∴，设,则，

①当时,则在中，根据三角形内角和定理可得：,解得:,则；②当时,,而,故此时不成立；③当时,在中，根据三角形内角和定理得到：，解得:，即的度数为或，故答案为或．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对的边进行讨论是解题的关键.15．（2023秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开（该直线需经过点A），使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是．【答案】8或【分析】分两种情况进行讨论：①当时，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求得剪出的等腰三角形的面积；②当时，是等腰三角形，根据勾股定理可求得的长，再根据可求得剪出的等腰三角形的面积．【详解】解：①如图1：当时，是等腰直角三角形，则；②如图2：当时，是等腰三角形，在中，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得，则，综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或，故答案为：8或．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的定义，关键是采用分类讨论的思想进行计算．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为．【答案】13或24或【分析】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得的值．【详解】解：，，，．①当时，；②当时，，；③当时，，，，在中，，即，解得．综上，当为等腰三角形时，或24或．故答案为：13或24或．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在中，，分别是和的高．若，

（1）的长为()（2）在的腰上取一点M，当是等腰三角形时，长为()【答案】6或【分析】（1）由分别是和的高得到，由得到，，，则，则，即可得到答案；（2）分点在边上和点在边上两种情况分别画图进行求解即可．【详解】（1）∵分别是和的高．∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，故答案为：6（2）当点在边上时，如图，

∵，∴是等腰三角形，∴，，∴，当点在边上时，①若，如图，

∵在中，，分别是的高．平分，∵于点，∴，即时，为等腰三角形；②如图3，当时，为等腰三角形；

，∴，过点E作，与的延长线相交于点F，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，③如图4，当时，为等腰三角形；过点M作于点Q，与交于点O，

∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，过点M作于点P，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，综上可知，长为，故答案为：或．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．18．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知在中，．过三角形顶点的一条直线将分割为两个等腰三角形．求的度数．

【答案】【分析】分三种情况：当时，当，时，当，时，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵，设，则，∵，即：，可得：，如图，当时，

此时，，∵，即：，解得：，即：；如图，当，时，此时，，∵，即：，解得：，即：（不符合题意，舍去）；

如图，当，时，

此时，，∵，即：，解得：，即：（不符合题意，舍去）；综上所述：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在中，，，点为上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求的度数．