数学知识导航独立性检验

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1独立性检验知识梳理1。利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个随机变量的______________，常用______________表示。2.用样本估计总体时，由于抽样的随机性，结果并不唯一，因此，由某个样本得到的推断有可能正确，也有可能错误.利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本量n越大，这个估计______________.3.一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值类A和类B,Ⅱ也有两类取值类1和类2，可列联表如下：Ⅱ合计类1类2Ⅰ类Aaa+b类Bdc+d合计a+ca+b+c+d则χ2=________________________________________________其中n=__________________________为样本量.要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤是__________________________（1）______________________________________________________________________（2）______________________________________________________________________（3）______________________________________________________________________知识导学可以利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能够较精确地给出这种判断的可靠程度，x2的值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，当数据a、b、c、d都不小于5时,可用课本中的表1-1-4来判断。疑难突破1.独立性检验与数学中的反证法的区别与联系是什么呢？可以用反证法的思想解释假设检验原理，它们的对应关系为：反证法：假设检验要证明结论A备择假设H1在A不成立的前提下进行推理在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下推理推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H1成立的小概率事件发生,意味着H1成立的可能性很大没有找到矛盾，不能对A下任何结论,即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设从上述对比中可以看出,假设检验的思想和反证法类似.不同之处：一是假设检验中用有利于H1的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾；二是假设检验中接受原假设的结论相当于反证法中没有找到矛盾.把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2=当χ2很大时，就认为所涉及的两个分类变量有关系;否则，就认为没有充分的证据显示这两个变量有关系.2。独立性检验的一般步骤为：（1）提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；（2）根据2×2列联表与公式χ2=计算χ2的值；(3）把χ2的值与临界值比较，确定Ⅰ与Ⅱ有关的程序或无关系，具体比较时可参考以下标准；①如果χ2〉10。828，则有99.9%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；②如果χ2〉7.879，则有99.5%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；③如果χ2〉6。635，则有99％的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；④如果χ2>5。024,则有97.5％的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；⑤如果χ2>3。841，则有95%的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；⑥如果χ2>2。706，则有90％的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关系；⑦如果χ2≤2.706,就没有充分证据显示Ⅰ与Ⅱ有关系,这时就认为Ⅰ与Ⅱ无关系成立,只要χ2≤2.706我们就认为Ⅰ与Ⅱ有关系.典题精讲【例1】对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下：又发作心脏病未发作过心脏病全计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别.思路解析:从所给的列联表中可知病人有两种类型：做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术.每种类型又有两种情况，又发作过心脏病，未发作过心脏病，问题是：用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系.这是一个独立性检验问题，解决的方法是先计算χ2，用χ2的大小来决定是否又发作过心脏病与心脏搭桥手术有关还是无关。解:假设做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有关系。由于a=39，b=157，c=29，d=167,a+b=196，c+d=196，a+c=68,b+d=324，n=392，由公式可得χ2的观测值为：χ2===1。78因为χ2=1。78<2。706，所以我们没有理由说心脏搭桥手术与又发作心脏病有关系。绿色通道：此类问题的一般解法是利用χ2=；求出χ2的值，再此利用χ2与临界值的大小关系，来判断假设是否成立.黑色陷阱：在解题时应注意准确代数与计算，有些同学常把数代错，或计算错误，用错公式等，同时，准确进行比较与判断也非常重要.【变式训练】在一次恶劣气候的飞机航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况,如下表所示，请你根据所给的数据判定是否在恶劣气候飞行中男人比女人更容易晕机？晕机不晕机合计男人243155女人82634合计325789解：由题意可知a=24,b=31，c=8，d=26，a+b=55，c+d=34,a+c=32,b+d=57，n=89,代入公式得，χ2===3.689，因为χ2=3。689＞2。706。因此，我们有90%的把握认为男人比女人更容易晕机。【例2】在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?所得的结论在什么范围内有效？思路分析：把所给数据列出列联表，被调查的人有两种状态：秃顶、不秃顶。每个状态又有两种情况：患心脏病、患其他病.这是一个2×2列联表的独立性检验的问题，因而需求出χ2,用它的大小可以确定是否拒绝原来的假设，从而得出两个量之间的关系。解：根据题目所给的数据得到如下列联表:患心脏病患其他病合计秃顶214175389不秃顶4515971048合计6657721437假设秃顶与心脏病无关。由于a=214，b=175，c=451，d=597,则a+b=389,c+d=1048,a+c=665，b+d=772,n=1437。因此,χ2==≈16.373>10。828.因而我们有99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关系。绿色通道：正确判断出列联表,比较易于观察，因此对结论的判断才不会出现偏差。【变式训练】在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据:存活数死亡数合计未采取新措施11436150采取新措施13218150合计24654300试问新措施对防治猪白痴是否有效？解：由题意可知：a=114,b=36,c=132,d=18∴a+b=150,c+d=150，a+c=246，b+d=54,n=300，代入公式可得,χ2===7。317因为χ2=7。317＞6。635因此我们有99%的把握认为新措施对防治猪白痢是有效果的.【例3】(2006年全国高考卷Ⅱ,文19）某批产品成箱包装,每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件,1件，2件二等品，其余为一等品。（1）求抽检的6件产品中恰有1件二等品的概率；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.思路分析：本题是相互独立事件概率公式的应用类问题，要求会用公式P(A·B）=P（A）·P(B)来解决实际问题.解:设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i=0,1;Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品"，i=0，1,2。（1）由题意可知，所求的概率为P1=P（A1·B0）+P（A0·B1)=P(A1）P（B0）+P(A0）P（B1）=.（2）解法1：所求的概率为P2=1—P（A0·B0)-P1=解法2:所求的概率为P2=P(A1·B1）+P（A0·B2）+P（A1·B2）=P（A1）P（B1）+P(A0)P（B2)+P（A1）P（B2）=。绿色通道：本题考查互斥事件的概率及相互独立事件的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力和合理推理的能力。【变式训练】袋子A和B中各装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率为，从B中摸出一个红球的概率为P。（1）从A袋中有放回地摸球，每次摸出一个球，共摸5次.求：①恰好有3次摸出红球的概率；②第一次，第三次，第五次均摸出红球的概率；（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1∶2，将两个袋子中的球混装在一起后，从中摸出一个红球的概率为,求P的值。解：（1）①②P=。（2）设A袋中有m个球，则B袋中有2m个球，由,可求得p=.问题探究问题:把一颗质地均匀的骰子任意投掷一次，设事件A为“掷出偶数点”，B为“掷出3的倍数点”.求（1）事件A，B，，的概率，以及事件A∩B,∩B，A∩,∩的概率，(2）判断P(A∩）与P（A）·P(）,P（A∩B）与P（A)·P（B），P（∩B）与P（）·P（B），P（∩）与P()·P（）的大小关系。导思：要判断P(A∩）与P(A）·P（)，P（A∩B）与P(A）·P（B)，P（∩）与P（）·P（B），P(∩）与P(）·P()的大小关系，首先要知道P（A∩B）是指A、B同时交事件的概率.即A、B同时发生的概率，然后再计算P（A∩B）的值。在处理此类问题时,要分清楚是相互独立事件同时发生的概率，即交事件还是和事件的概率。探究：（1)P（A)=,P（B）=所以P（）=1—，P（）=1-.P（A∩B）=P（掷出6点）=·=.P（∩B）=P（掷出3点