数学知识导航：平面向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3平面向量的数量积知识梳理1。两个向量的夹角(1）定义：已知两个非零向量a，b（如图2-3—1所示），作=a，=b,则∠AOB称为a与b的夹角,记作<a，图2-3-1（2）范围:［0，π],并且〈a,b〉=〈b，a〉。(3）当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直。(4）当〈a，b〉=0时，a与b同向；当<a，b〉=π时，a与b反向。2。向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l（如图2-3-2所示)，作OA=a,过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1在轴l上的坐标叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影).a在轴l上的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则有图2（2)当θ为锐角时，al＞0;当θ为钝角时，al＜0;当θ=0时，al=|a|;当θ=π时，al=—｜a｜。3。向量的数量积（内积)（1）定义：｜a|｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积），记作a·b，即a·b=｜a｜｜b｜cosθ.(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数。(3）几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度|a｜与b在a方向上的射影｜b｜cosθ的乘积,或b的长度｜b｜与a在b方向上的射影｜a|cosθ的乘积.(4)坐标运算：已知a=（a1，a2)，b=（b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2。即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。4。向量数量积的性质设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。（1)e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥ba·b=0;（3）当a与b同向时，a·b=｜a|｜b｜；当a与b反向时，a·b=-|a||b｜.特别的a·a=|a|2或｜a|=.(4)cos<a，b>=；（5)|a·b｜≤｜a｜|b｜.5.向量数量积的运算律交换律：a·b=b·a;结合律：(λa)·b=λ（a·b)=a·(λb)(λ∈R）；分配律：（a+b）·c=a·c+b·c。6.向量垂直的坐标表示已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2），则a⊥ba1b1+a2b2=0(a1,a2)∥(-b2，b1)。7。向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)（1）向量的长度:已知a=(a1,a2）,则｜a|=.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.（2）两点间距离公式：如果A（x1,y1)，B(x2,y2），则|AB｜=.（3）夹角公式：已知a=（a1，a2），b=(b1，b2），则两个向量a、b的夹角为cos〈a，b〉=。知识导学复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及其运算;本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用;难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题。疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系?剖析：难点是对这三种运算易混淆不清。其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上来分析对比。(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定;向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数,其方向由这个实数的符号所决定;两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.(2）从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；考上大学后还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量数量积的运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量数乘的写法同单项式的写法;实数乘法的写法我们已经非常熟悉了。(3)从运算的性质上看:①在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a,b>=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0;在实数的乘法中,若a·b=0，则b=0。②在向量的数量积中，a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a—c)>=。在向量的数乘中，λa=λb（λ∈R）a=b或a≠b；在实数的乘法中,ab=bca=c或b=0.③在向量的数量积中：（a·b）c≠a(b·c）;在向量的数乘中,（λｍ）a=λ（ｍa）（λ∈R，m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c=a(bc)。（4）从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a｜与b在a方向上的射影|b｜cosθ的乘积；在向量的数乘中,λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小｜λ｜倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是ab到数轴原点的距离等于a、b到数轴原点距离的积。2.为什么（a·b)c=a（b·c）不成立？剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式,只需举一个反例即可；突破路径2:利用数量积的几何意义表示来分析；突破路径3：利用反证法，通过向量数量积的坐标表示来分析.思路一:举反例。如图2-3-3所示，设=a,=b,=c,且|｜=1，｜｜=2，|｜=3，〈,〉=，〈，>=，则〈,〉=.图2∴a·b=|a||b｜cos<a，b〉=1，b·c=｜b｜｜c｜cos〈a，b〉=3.∴（a·b）c=c,a(b·c）=3a很明显c=3a不成立，∴(a·b)c=a(b·c再例如：a=（1,2），b=(-3,4),c=(6,—5）,则(a·b)c=［1×（-3）+2×4]（6,-5）=3(6,-5)=（18，—15），a（b·c）=（1,2）［—3×6+4×(-5)]=(-38）(1,2)=（-38，-72）.∴（a·b）c=a（b·c）不成立。思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析.由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ,b·c=μ。则(a·b）c=λc，a（b·c)=μa.由于c,a是任意向量，则λc=μa不成立.∴(a·b）c=a（b·c）不成立.思路三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.设a=（x1,y1),b=（x2，y2),c=（x3,y3).则a·b=x1x2+y1y2，b·c=x3x2+y3y2.∴（a·b)c=(x1x2+y1y2）(x3,y3）=（x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3），a（b·c）=(x3x2+y3y2)（x1,y1）=(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).假设(a·b）c=a(b·c)成立，则有（x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3）=(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.∴y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1。∴y2（y1x3-x1y3)=0，x2(x1y3—x3y1）=0。∵b是任意向量,∴x2和y2是任意实数。∴y1x3—x1y3=0.∴a∥c.这与a，c是任意向量,即不一定共线相矛盾.∴假设不成立.∴(a·b）c=a(b·c）不成立.3.如何应用|a｜=来求平面内两点间的距离?剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离。其突破口是建立平面向量基底或坐标系,转化为进行向量的有关运算.例如:如图2-3—图2-3-4解：设=a,=b。则|a|=3，｜b｜=1，〈a,b〉=