数学知识导航：平面向量的基本定理及坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理一、平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a=λ1e1+λ2e2,其中的不共线的向量e1和e2叫做这个平面内所有向量的一组基底。二、向量的夹角两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角。三、平面向量的正交分解、向量的坐标及坐标运算1。平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2。向量的坐标平面内的任意向量a都可以由x、y唯一确定,我们把有序实数对(x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标。3。和与差的坐标运算两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差)。已知向量a=(x1，y1)，b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2），a-b=(x1-x2,y1-y2).4。实数与向量积的运算实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。已知向量a=(x1,y1）,则λa=（λx1,λy1)。5。向量的坐标与端点坐标的换算一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。已知A(x1，y1)、B（x2，y2），则=(x2-x1，y2-y1)。四、平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1）,b=(x2，y2)(b≠0），当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b共线。知识导学要学好本节内容，可通过探究活动分析向量e1、e2可能的位置，区分出共线、不共线两种情况。在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。平面向量基本定理是平面向量的核心内容之一。通过理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，根据向量的坐标，判断向量是否共线.疑难突破1。平面向量基本定理。剖析：（1）设e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任意向量,则a能用e1和e2来线性表示（存在性）.图2—3-1如图2—3-1,在平面内任取一点O,作=e2，=e1，=a。过点C作平行于直线的直线，与直线交于点N；过点C作平行于直线的直线,与直线交于点M。由向量的线性运算性质可知存在实数λ1和λ2,使得=λ1=λ1e1,=λ2=λ2e2.=+=+=λ1e1+λ2e2。也就是说，任一向量都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式。(2)上述线性组合的表示是唯一的,即实数λ1和λ2唯一确定(唯一性）.若存在λ1，λ2,μ1,μ2∈R，且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1）e1+(λ2—μ2)e2=0。∵e1和e2不共线,∴λ1-μ1=0,λ2-μ2=0.∴λ1=μ1,λ2=μ2。(3)任何一组不共线向量都可以作为基底,但为了解题方便，一组向量a、b作为基底时应满足条件：①a、b不共线;②a、b的夹角已知；③a、b的模已知.(4）解决具体问题时，适当选择一组基底e1和e2，利用平面向量基本定理，把几何问题转化为关于e1和e2的代数问题。2。平面向量的正交分解.剖析：我们可以借助实例形象直观地来理解平面向量的正交分解，如一木块在一斜面上静止，斜面上的木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块平行于斜面的力F1的作用，这是摩擦力的来源；一是木块产生垂直于斜面的压力F2。也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2.F1、F2就是重力G的一组分解。注意到F1和F2垂直，这种分解就是正交分解。3。从多个角度来理解向量的坐标.剖析：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，则(1)i=(1,0），j=（0，1）,0=(0，0）。(2)在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a,则点A的位置由向量a唯一确定.(3）设=xi+yj，则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标（x，y）.因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示，即以原