数学知识导航：从位移的合成到向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2从位移的合成到向量的加法知识梳理1.向量的加法(1)向量加法法则①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则。其具体做法是将向量b平移,使向量b的起点与向量a的终点重合,则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.②平行四边形法则:已知两个不共线向量a、b(如图2—2—1），作=a,=b，则A、B、D三点不共线,以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图2—2-1③多边形法则：ｎ个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线，这ｎ个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则。多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2）几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则,因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.（3）运算律交换律：a＋b=b＋a；结合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c）。2。向量的减法（1)向量的减法是向量加法的逆运算。求两个向量的差，必须把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。（2）利用相反向量的定义，一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.（3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图。知识导学学好本节有必要复习物理学中三角形法则和平行四边形法则；善于应用+=和—=解决向量问题。疑难突破1.向量加法与实数加法的联系.剖析：讨论两种运算的联系，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析。（1)运算法则：向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是两个实数的和的绝对值等于这两个实数中较大数的绝对值减去较小数的绝对值，和的符号与较大绝对值加数的符号相同。（2）运算结果:向量的和还是向量，实数的和还是实数。（3)运算律：向量的加法与实数的加法类似，都满足交换律与结合律;向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形法则验证。图2—2-2如图2—2—2，作=a，=b，=c，连结、、，则=a+b,=b+c.∵=+=a+(b+c），=+=(a+b)+c，∴(a+b）+c=a+（b+c).(4）运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则.由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算来进行.2。在化简时，为什么总是错误地得出=？剖析:根据解题经验，的结果是和中的一个向量，到底是哪一个向量呢?把结果通过向量加法的三角形法则验证.假设=，则有=+，由于表示、、的有向线段正好构成三角形即△OAB，如图2-2—3所示。图2—2-3由向量加法的三角形法则知=+.所以=是错误的，应该是=.为了防止出现类似错