材料力学第10章构件的疲劳强度

第10章构件的疲劳强度10.1引言10.2交变应力的描述及其分类10.3S-N曲线与材料的疲劳极限10.4影响构件疲劳极限的因素10.5构件的疲劳强度计算与提高构件疲劳强度的途径图10－1上式说明，A点处的应力随时间按正弦规律交替变化〔见图10－1(c)〕，车轴每转一圈，A点处的材料经历一次由拉伸到压缩的应力循环。车轴不停地转动，该处材料反复不断地受力。又如，齿轮上的每个齿，自开始啮合到脱开的过程中，由于啮合压力的变化，齿根上的弯曲正应力自零增大到最大值，然后又逐渐减为零〔见图10－2〕。齿轮不断地转动，每个齿反复不断地受力。

另外，运行着的车辆、船舶、飞机以及海洋采油平台等等，其中的许多重要构件承受着随机变化的应力作用。图10－2图10－3〔2〕疲劳破坏是一个损伤累积的过程。构件在确定的应力水平下发生疲劳破坏需要一个过程，即需要一定量的应力循环次数。

〔3〕构件在破坏前和破坏时都没有明显的塑性变形，即使塑性很好的材料，也将呈现脆性断裂。

〔4〕同一疲劳破坏断口，一般都有明显的两个区域：光滑区域和粗粒状区域。图10－3为传动轴疲劳破坏断口的示意图，这种断口特征提供了疲劳破坏的起源和损伤传递的重要信息。3.疲劳破坏原因分析

构件疲劳破坏的特征与疲劳破坏的机理和损伤传递的过程密切相关。在微观上构件内部组织是不均匀的。对于承载的构件，当循环应力的大小超过一定限度并经历足够屡次的交替反复后，在高应力区的晶界上、夹有杂物与内部空洞等缺陷处、机械加工所造成的刻痕以及其他应力集中处，将产生长度约为10-9~10-4m的细微裂纹〔即所谓疲劳源〕。这种裂纹随着应力循环次数增加而不断扩展，并逐渐形成长度大于10-4m的宏观裂纹。在裂纹扩展过程中，由于应力反复变化，裂纹或时张时合，或左右错动，类似研磨过程，从而形成断口的光滑区。当裂纹尺寸到达其临界尺寸时，构件将发生突然断裂，断口的颗粒状粗糙区就是突然断裂造成的。由于裂纹的生成和扩展需要一定的应力循环次数，因此疲劳破坏需要经历一定的时间历程。宏观裂纹类似于构件上存在着锋利的切口，应力集中造成局部区域的应力到达很大数值，结果使构件在很低的应力水平下发生破坏。另外，裂纹尖端附近的材料处于三向拉伸应力状态，在这种应力状态下，即使塑性很好的材料也会发生脆性断裂，因而疲劳破坏时没有明显的塑性变形。总之，疲劳破坏的过程可理解为：疲劳裂纹萌生→裂纹扩展→断裂。统计说明，疲劳破坏在构件的破坏中占有很大的比重。疲劳破坏常常带有突发性，往往造成严重后果。在机械与航空等领域，很多损伤事故是由疲劳破坏所造成的。因此，对于承受交变应力作用的机械设备与结构，应该十分重视其疲劳强度问题。 10.2交变应力的描述及其分类

图10－4所示是工程中最常见、最根本的恒幅交变应力，其应力在两个极值之间周期性地变化。应力变化一个周期，称为一次应力循环。在一次应力循环中，应力的极大值σmax与极小值σmin，分别称为最大应力与最小应力。图10－4〔10－1〕循环特征反映了交变应力的变化特点，对材料的疲劳强度有直接影响。最大应力与最小应力的代数平均值σm称为平均应力，记为σm，即〔10－2〕最大应力与最小应力的代数值差的一半称为应力幅，记为σa，即〔10－3〕应力幅反映交变应力变化的幅度。在应力循环中，假设应力数值与正负号都反复变化，且有σmax=-σmin，这种应力循环称为对称循环应力〔见图10－5(a)〕，其中r=-1,σm=0,σa=σmax。在应力循环中，假设仅应力的数值在变化而应力的正负号不发生变化，且σmin=0，那么这种应力循环称为脉动循环应力〔见图10－2与图10－5(b)〕，其循环特征r=0。除对称循环外，所有循环特征r≠-1的循环应力，均属于非对称循环应力。所以，脉动循环应力是一种非对称循环应力。图10－5构件在静载荷作用下的应力称为静应力。静应力可看成是循环应力的特例，即σmax=σmin=σm=σ，σa=0,其循环特征r=1。对于图10－4所示的非对称循环应力，可以看成是在不变的静应力σm上叠加一个数值等于应力幅σa的对称循环应力。本章主要讨论对称循环的强度问题。

需要注意的是，应力循环是指一点的应力随时间而变化的循环，上述最大应力与最小应力均指一点的应力在应力循环中的数值。它们既不是横截面上由于应力分布不均匀所引起的最大与最小应力，也不是一点应力状态中的最大与最小应力，而且这些应力数值均未计及应力集中因素的影响，是用材料力学根本变形应力公式计算得到的所谓名义应力。 10.3S－N曲线与材料的疲劳极限

1.疲劳试验

材料在循环应力作用下的强度可由疲劳试验测定。最常用的试验是图10－6所示的旋转弯曲疲劳试验。

对于某种材料，制作一组标准光滑小试样〔直径在7~10mm，外表磨光〕。试验时，将试样安装在疲劳试验机的夹具内，并由电动机带动而旋转。试样处于纯弯曲受力状态，每旋转一圈，其内每一点处的材料经历一次对称应力循环。试验一直进行到试样断裂为止。试验中，由计数器计录下试样断裂时所旋转的总圈数或所经历的应力循环次数N，即试样的疲劳寿命。同时，根据试样的尺寸与砝码的重量，计算出试样横截面上的最大弯曲正应力σmax=M/W。对于同组试样分别承受由大至小的不同载荷进行疲劳破坏试验，得到一组关于最大应力σmax与相应疲劳寿命N的数据。图10－62.S－N曲线

材料在一定循环特征下的疲劳强度必须用最大应力σmax与疲劳寿命N两个量才能表示。以最大应力σmax为纵坐标，以疲劳寿命N〔或lgN〕为横坐标，根据上述大量试验数据所绘制的最大应力与疲劳寿命的关系曲线简称为S－N曲线。图10－7是高速钢与45钢的S－N曲线。

可以看出，材料承受的应力愈大，疲劳寿命愈短。寿命N<104〔或105〕的疲劳问题称为低周疲劳，反之称为高周疲劳。图10－73.材料的疲劳极限

试验说明，钢材与灰口铸铁均具有与图10－7类似的S－N曲线。它们的S－N曲线均存在水平渐近线，该渐近线的纵坐标所对应的应力，称为材料的持久极限。持久极限是材料的试样能够经受“无限〞次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力值。持久极限用σr和τr表示，下标r代表循环特征，图10－7中的σ-1即代表45钢在对称循环应力下的持久极限。图10－8有色金属及其合金在对称循环下的S－N曲线没有明显的水平渐近线。图10－8是硬铝与镁合金的S－N曲线。对于这类材料，很难得到材料试样能够经受“无限〞次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力值。工程中根据构件的使用要求，以某一指定的寿命N0〔例如107~108〕所对应的应力作为极限应力，并称为材料的条件疲劳极限。持久极限与条件疲劳极限统称为疲劳极限。

试验说明，钢材在拉压、弯曲、扭转对称循环下的疲劳极限与静强度极限之间存在着一定的数量关系：10.4影响构件疲劳极限的因素1.构件外形的影响很多机械零件的形状都是变化的，如零件上有螺纹、键槽、穿孔、轴肩等等。在构件截面突然变化处会出现应力集中现象。试验说明，应力集中容易促使疲劳裂纹的形成，对疲劳强度有着显著的影响。在对称循环应力作用下，应力集中对疲劳极限的影响，用有效应力集中因数Kσ或Κτ表示，它代表标准试样的疲劳极限与同样尺寸光滑的但存在应力集中试样的疲劳极限的比值。图10－9～图10－11分别给出了阶梯形圆截面钢轴在弯曲、轴向拉压与扭转对称循环时的有效应力集中因数。上述曲线都是在D/d=2且d=30~50mm的条件下测得的。如果D/d<2，那么有效应力集中因数为〔10－4〕〔10－5〕式中，Kσ0与Kτ0是D/d=2的有效应力集中因数；ξ是和比值D/d有关的修正系数，可由图10－12查得。图10－9图10－10图10－11图10－12由以上图表可以看出：圆角半径R愈小，有效应力集中因数愈大；静强度极限σb愈高，应力集中对疲劳极限的影响愈显著。

表10－1和表10－2分别给出了螺纹、键槽和花键以及横孔处的有效应力集中因数。至于其他情况下的有效应力集中因数，可查阅有关手册。表10－1螺纹、键槽和花键的有效应力集中系数表10－2横孔处的有效应力集中系数2.构件截面尺寸的影响

构件尺寸对疲劳极限也有着明显的影响，这是疲劳强度与静强度的主要差异之一。弯曲与扭转疲劳试验说明，构件疲劳极限随横截面尺寸的增大而降低。

截面尺寸对疲劳极限的影响，用尺寸因数εσ或ετ表示，它代表光滑大尺寸试样的疲劳极限与光滑小尺寸试样的疲劳极限之比值。图10－13给出了圆截面钢轴在对称循环弯曲与扭转时的尺寸因数。图10－13可以看出：试样的直径愈大，疲劳极限降低愈多；材料的静强度愈高，截面尺寸的大小对构件疲劳极限的影响愈显著。

弯曲与扭转时，构件横截面上的应力是非均匀分布的，其疲劳极限随截面尺寸增大而降低的原因，可用图10－14加以说明。图中所示为承受弯曲作用的两根直径不同的试样，在最大弯曲正应力相同的条件下，大试样的高应力区比小试样的高应力区厚，因而处于高应力状态的材料〔包括晶粒、晶界、夹杂物、缺陷〕多。所以，在大试样中，疲劳裂纹形成和扩展的概率比较高。另外，高强度钢的晶粒较小，在尺寸相同的情况下，晶粒愈小，那么高应力区所包含的晶粒晶界愈多，愈易产生疲劳裂纹。

轴向加载时，光滑试样横截面上的应力均匀分布，截面尺寸对构件的疲劳极限影响不大，可取尺寸因数εσ≈1。图10－143.构件外表质量的影响

构件工作时，最大应力一般发生在表层，而表层又常常存在着机械加工的刀痕、擦伤等各种缺陷，它们本身就是一些初始裂纹。因此，构件外表的加工质量与表层状况，对构件的疲劳强度也存在显著影响。

外表加工质量对构件疲劳强度的影响用外表质量因数β表示，它代表用某种方法加工的试样的疲劳极限与经磨削加工的光滑试样的疲劳极限的比值。外表质量因数与加工方法的关系如图10－15所示。

可以看出：外表加工质量愈低，疲劳极限降低愈多；材料的静强度愈高，加工质量对构件疲劳强度的影响愈显著。图10－154.对称循环下构件的疲劳极限

综合考虑应力集中、截面尺寸、外表加工质量等影响构件疲劳极限的因素后，构件在对称循环下的疲劳极限(σ-1)与(τ-1)分别为〔10－6〕〔10－7〕 10.5构件的疲劳强度计算与

提高构件疲劳强度的途径

对称循环应力下构件的疲劳强度条件

如果规定构件承受循环应力的疲劳平安因数为nf，那么拉压杆与梁在对称循环应力下的许用应力为〔10－8〕按照应力比较法，拉压杆与梁在对称循环应力下的强度条件为〔10－9〕式中σmax代表拉压杆与梁横截面上最大的工作应力。工程上大都采用平安因数法建立构件的疲劳强度条件，即要求构件的实际平安因数不小于规定的平安因数。由〔10－8〕、〔10－9〕两式可知，拉压杆与梁在对称循环应力下的工作平安因数为〔10－10〕相应的强度条件那么为〔10－11〕同理，轴在对称循环切应力下的疲劳强度条件为〔10－12〕〔10－13〕式中，τmax代表横截面上的最大切应力。非对称循环应力下构件的疲劳强度条件

根据理论分析推导的结果，构件在非对称循环应力下的疲劳强度条件为〔10－14〕〔10－15〕〔10－16〕〔10－1７〕式中，σ0与τ0代表材料在脉动循环应力下的疲劳极限。ψσ与ψτ之值也可以从有关手册中查到。对于碳钢,ψσ=0.1~0.2;对于合金钢，ψσ=0.2~0.3。弯扭组合交变应力下构件的疲劳强度条件

对于一个弯扭组合变形的构件，如果弯曲与扭转都是交变应力，其疲劳强度条件公式〔高夫公式〕为〔10－18〕式中，nσ与nτ分别为仅考虑弯曲循环应力与仅考虑扭转循环应力时构件的工作平安因数，它们应分别按式〔10－10〕、式〔10－13〕或式〔10－14〕、式〔10－15〕计算；nστ代表构件在弯扭组合交变应力下的实际工作平安因数，nf是规定平安因数。图10－16例10－1图10－16所示阶梯形圆截面钢轴，由铬镍合金钢制成，承受对称循环的交变弯矩，其最大值Mmax=700N·m，试校核该轴的疲劳强度。轴径D=50mm，d=40mm，圆角半径R=5mm，强度极限σb=1200MPa，材料在弯曲对称循环应力下的疲劳极限σ-1=480MPa，疲劳平安因数nf=1.6，轴外表经精车加工。

解(1)计算工作应力。对于该阶梯形圆截面钢轴，危险截面位于应力集中的轴肩细轴的横截面A－A处。在交变弯矩作用下，由材料力学弯曲应力公式计算该截面的名义最大弯曲正应力为(2)确定影响因数。首先计算轴肩处的几何特征：然后由图10－9与由图10－12根据σb=1200MPa分别对应查得将其代入式〔10－4〕，计算轴肩处的有效应力集中因数为由图10－13与图10－15，查得尺寸因数与外表质量因数分别为(3)校核疲劳强度。将有关数据代入式〔10－11〕，计算该轴危险截面A－A实际的工作平安因数为可见，该阶梯形轴满足疲劳强度要求。例10－2图10－17所示阶梯形圆截面钢杆，承受非对称循环的轴向载荷F作用，其最大与最小值分别为Fmax=100kN与Fmin=10kN，试校核该杆的疲劳强度。杆径D=50mm，d=40mm，圆角半径R=5mm，强度极限σb=600MPa，材料在拉压对称循环应力下的疲劳极限σ-1=170MPa，敏感因数ψσ=0.05，疲劳平安因数nf=2，杆外表经精车加工。

解(1)计算工作应力。

对于该阶梯形圆截面钢杆，危险截面位于应力集中的粗细交界细杆的横截面A－A处。在非对称循环轴向载荷作用下，由材料力学轴向拉压正应力公式计算该截面的名义最大与最小正应力为显然，该拉压杆所承受的交变应力的循环特征r=0.1，其平均应力与应力幅分别为图10－17(2)确定影响因数。首先计算轴肩处的几何特征：由于图10－10中没有静强度σb=600MPa的钢材的应力集中因数图线，可先根据查得σb=400MPa与σb=800MPa的钢材对应的应力集中因数Kσ0分别为1.38和1.72。然后，利用线性插值法，求得σb=600MPa的钢材的有效应力集中因数为再由图10－12查得，对应的修正因数为将Kσ０与ξ代入式〔10－4〕，计算该拉压杆的有效应力集中因数为由图10－15，查外表质量因数为对于轴向受力的拉压杆，尺寸因数为(3)校核疲劳强度。将有关数据代入式〔10－14〕，计算该拉压杆危险截面A－A的工作平安因数为可见，该阶梯形拉压杆符合疲劳强度要求。例10－3图10－18所示阶梯形圆截面钢轴，在危险截面A－A上，内力为同相位的对称循环交变弯矩与交变扭矩，其最大值分别为Mmax=1.5kN·m与Tmax=2.0kN·m，设规定的疲劳平安因数nf=1.5，试校核轴的疲劳强度。轴径D=60mm，d=50mm，圆角半径R=5mm，强度极限σb=1100MPa，材料在对称循环应力下的弯曲疲劳极限σ-1=540MPa，扭转疲