2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷26.3 实际问题与二次函数(1)(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷26.3实际问题与二次函数(1)(含答案)-26．3实际问题与二次函数（一）一、双基整合:1．函数y=2x2－3x－1的最小值是________．2．当－1≤x≤3时，二次函数y=x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．3．某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4%，若第x年小明家交房款y元，则y与x之间的函数表达式为_________．4．函数y=x2+2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别为（）A．4和－3B．－3和－4C．5和－4D．－1和－45．将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个；价格每上涨1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，售价应定为（）A．110元B．120元C．130元D．150元6．三金书店销售练习册所获的利润y（元）与所卖的本数x之间的关系满足y=－x2+10000x+24997500，则当0<x≤4500时的最大利润为（）A．2500元B．25002500元C．2250元D．24997500元7．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）A．4元或6元B．4元C．6元D．8元8．某商场超市经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出（1）中函数图象（不考虑x取值范围）；（3）观察图象，x取何值时，y=0；当x在什么范围变化时，经销这种水产品不亏本．（4）超市想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？9．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述正比例函数表达式与二次函数表达式．（2）如果该企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．二、探究创新10．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）．（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）2+的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？三、智能升级11．在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/kg）…25242322…销售量y（kg）…2000250030003500…（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点，连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式．（2）若樱桃进价为13元/kg，试求销售利润P（元）与销售价x（元/kg）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大．答案:1．2．623．y=5000+[9000－5000（x－1）]·0.4%（2≤x≤18）4．C5．B6．B7．C8．（1）y=－10x2+1400x－40000（2）图象略（3）由图象可知，当x=40或100时，y=0（4）80元/千克9．解：（1）当x=5时，yA=2，2=5k，k=0.4，∴yA=0.4x，当x=2时，yB=2.4；当x=4时，yB=3.2．∴，∴yB=－0.2x2+1.6x．（2）设投资B种产品x万元，则投资A种产品（10－x）万元，获得利润W万元，根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4，∴W=－0.2（x－3）2+5.8，当投资B种产品3万元时，可以获得最大利润5.8万元1，所以投资A种产品7万元，B种产品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．10．（1）未租出的设备为套，所有未租出的设备的支出费用为（2x－540）元；（2）y=（40－）x－（2x－540）=－x2+65x+540，∴y=－x2+65x+540；（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套，因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套；（4）y=－x2+65x+540=－（x2－2×325x+3252）+540+×3252）=－（x－325）2+11102.5，∴当x=325时，y有最大值11102.5，但是，当月租金为325时，租出设备套数为34.5，当月租金为330元（租出34套）或租金为320元（租出35套）时，租赁公司收益最大，最大月收益为11100元．11．解：（1）正确描点、连线，由图像可知，y是x的一次函数；设y=kx+b，∵点（25，2000），（24，2500）在图像上，∴，∴y=－500x+14500．（2）P=（x－13）·y=（x－13）·（－500x+14500）=－500x2+21000x－188500=－500（x－21）2+32000．∴P与x的函数关系式为P=－500x2+21000x－188500，当销售价为21元/kg时，能获得最大利润．26．3实际问题与二次函数（二）一、双基整合:1．抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=1：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为_______．2．周长为16cm的矩形的最大面积为______，此时矩形的边长为______，实际上此时矩形是________．3．从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形，余下的面积为48cm2，则原正方形铁片的面积是_______．4．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a米长的篱笆材料，他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，那么选用哪一种方案围成的场地面积较大________．5．若一梯形的上底长是下底长的，高为上底上的4倍还多1，如果下底为x，则梯形的面积S与下底x的函数关系式为________．6．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料的总长为15m，若AB=xm，BC=ym，则y与x的函数表达式为______，窗户的面积S与x的函数关系式为_____，当x≈______时，S最大≈_____，此时通过的光线最多（结果精确到0.01m）7．已知△ABC中，BC=8，BC上高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（E、F不过A、B），设E到BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（如图所示）（）8．用长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）A．m2B．m2C．4m2D．m29．在一个近似直角三角形的空地上要挖一长方形的水池，要求长方形水池的两个边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形的三边长分别为30m，40m，50m，则水池的最大面积可以为（）A．300m2B．325m2C．400m2D．285m210．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？二、探究创新11．如图，在矩形ABCD中，AB=6m，BC=12m，点P从点A出发沿AB边向B以1m/s的速度运动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2m/s的速度运动，P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止运动，设经过t（s）时，△PBQ的面积为Sm2，则（1）用函数表达式表示是：S=_________；（2）用表格表示：t/s123456789S/m2（3）用图象表示：（4）在这个问题中，自变量t的取值范围是______；图象的对称轴是_______，顶点坐标是________；当t______时，S的值随t值的增大而_______；当t>______时，S的值随t值的增大而_______（填“增大”或“减小”）；当t=______时，S取得最大值为_______．12．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．三、智能升级13．如图，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于M，此时（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围成，才能使铁桶的体积较大？请说明理由．（注：围成铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）答案:1．y=3x2+6x+92．16cm2，4cm，正方形3．64cm24．围成圆形5．S=x2+x6．y=，S=－3.5x2+7.51.074.027．D8．B9．A10．解：设鸡舍宽为xm，面积为ym2，则·x=x（60－2x），y=－2x2+60x，a=－2，b=60，－=－=30（m）11．（1）－t2+6（2）略（3）略（4）0≤t≤6t=3（3，9）<3增大3减小3912．解：设抛物线解析式为y=ax2+6，依题意，得B（10，0），∴a×102+6=0，解得a=－0.06，即y=－0.06x2+6，当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m．13．（1）∵HE=x，AD=120cm，∴AM=AD－HE=120－x，∵HG=y，，即，∴y=+160；（2）S矩形=xy=x·（－x+160）=－x2+160x．当x=－=60时，S最大==480；（3）当S取最大值时，x=60，则y=－×60+160=80，即HG=80，HE=60，围成圆柱形铁桶共有两种围法：①HG做底面周长，HE为圆柱的高，由2r=80，则r=，则V圆柱=r2·h=·（）2·60=；②HE作为底面周长，HG为圆柱的高，由2r′=60，∴r′=，则V′圆柱=（r′）2·h′=（）2·80=<，∴HE作为圆柱的高，使围成的铁桶的体积较大．练习4实际问题与二次函数一、自主学习图26－91.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t－4.9t2(t的单位：s；h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26－9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是()图26－9A.0.7lsB.0.70sC.0.63sD.0.36s2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x2+0.002x，现该车在限速140km∠h的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5m，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速.3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－104.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大?二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.图26－117.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R、P与x的关系式为R=500+30x，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2x/元152030…y/件252010…若日销售量y是销售价x的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12图26－13表26－3x/m51020304050y/m0.1250.524.5812.5(1)请你以表26－3中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；(2)①填写表26－4.表26－4x51020304050②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36m时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+，请回答下列问题：图26－14图26－15（1）花形柱子OA的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?11.《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新，计划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4m，落在地上时距离喷水管4m，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A和喷泉落地点B的连线为横轴，AB垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75m的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－112.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=(x－30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=万元.(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01m，=3.873)图26－17四、模拟链接14.设抛物线y=2x2+kx+1－2k(k为常数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A点在原点O的左侧，B点在原点O的右侧，满足(OA+OB)2－OC=(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D、E两点，使AO恰为△ADE的中线，若存在，求出△ADE的面积，若不存在，说明理由.15.已知抛物线y=x2+(2n－1)x+n2－1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)如图26－18所示，设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－1816.已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6.(1)如图26－19甲所示，在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E.求折痕CD所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G.①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线y=x2+h过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数.图26－19(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K，请你猜想：①折痕IJ所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证.参考答案一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t－4.9t2(t的单位：s；h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26－9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是()A.0.7lsB.0.70sC.0.63sD.0.36s图26－9答案：D2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x2+0.002x，现该车在限速140km∠h的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5m，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速.答案：是3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－10答案：(1)y=x+4；(2)0.76m4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大?答案：(1)y=－10x+280x－1600；(2)14y=(x－8)×[l00－(x－10)×10]=(x－8)(100－10x+100)=(x－8)(－l0x+200)=－10x+280x－1600当x==14，因为y=－10x+280x－1600中的a＜0，故此时y有最大值.二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?答案：(1)y=－4x+64x+30720；(2)增加8台机器，最大生产总量是30976件y=(80+x)(384－4x)=4x+64x+30720因为y=－4x+64x+30720=－4(x－8)2+30976所以x=8时，y最大值=30976.6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.图26－11(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.答案：(1)y=x+6;(2)这辆货运卡车能通过隧道.由图可设抛物线解析式为y=ax+c，由题可知A(－4，2)，E(0，6)，c=6，代入，得2=()2a+6，a=，故解析式为y=x+6；当x=2.4时，y=×2.42+6=4.56＞4.2，所以这辆货运卡车能通过隧道.7.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R、P与x的关系式为R=500+30x，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?答案：(1)日产量为25只；(2)当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元.设生产x只玩具熊猫的利润为y元，依题意得y=px－R=(170－2x)x－(500+30x)=－2x+140x－500，令y=1750，即－2x+140x－500=1750，解得x1=25，x=45，但x=45＞40，不合题意，舍去，所以当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元.对于y=－2x+140x－500，a=－2＜0，x==35时，y最大值==1950.8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2x/元152030…y/件252010…若日销售量y是销售价x的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?答案：(1)9=－x+40；(2)应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12表26－3x/m51020304050y/m0.1250.524.5812.5(1)请你以表26－3中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；图26－13(2)①填写表26－4.表26－4x51020304050②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36m时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?答案：(1)略；(2)表略，y=x；(3)这货船不能通过这河段.三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+，请回答下列问题：图26－14图26－15（1）花形柱子OA的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?答案：(1)1.5m；(2)半径至少是3m，11.《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新，计划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4m，落在地上时距离喷水管4m，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A和喷泉落地点B的连线为横轴，AB垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75m的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－1答案：小道边缘距离喷水管至少应为1m.由已知，得A(－4，0)，B(4，0)，抛物线的顶点C(0，4).设抛物线的关系式为y=ax+4，把x=4，y=0代入，得16a+4=0，解得a=，故抛物线的关系式为y=x+4；为了让身高1.75m的游客不会被喷泉淋湿，抛物线上的点到小道的边缘的距离应不小于1.75m设E是抛物线上纵坐标为1.75的点，当y=1.75时，x+4=1.75，解得x=±3，所以E点的坐标为(－3，1.75).作ED⊥x轴，则D(－3，0)，从而AD=1.12.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=(x－30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=万元.(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.答案：(1)10年所获利润的最大值是100万元；(2)3547.5万元；(3)该项目有极大的开发价值.若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=(x－30)2+10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润M1=10×10=100万元.若对产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是P=(25－30)2+10=9.5万元，则前5年的最大利润M2=9.5×5=47.5万元.设5年中x万元是用于本地销售的投资，则Q=(50－x)2+(50－x)+308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润，则后5年的利润是M3=[(x－30)2+10]×5+(x+x+308)×5=－5(x－20)2+3500，故x=20时，M3取得最大值为3500万元，所以10年的最大利润为M=M2+M3=47.5+3500=3547.5万元，因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值.13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01m，=3.873)图26－17答案：(1)y=x+x+2；(2)13.75m设二次函数的解析式为y=a(x－h)2+k，顶点坐标为(6，5)∴y=a(x－6)2+5，A(0，2)在抛物线上，∴2=62·a+5∴a=∴y=(x－6)2+5，y=x+x+2.当y=0时，x+x+2=0，x=6±(舍6－).∴x=6+≈13.75m四、模拟链接14.设抛物线y=2x2+kx+1－2k(k为常数)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A点在原点O的左侧，B点在原点O的右侧，满足(OA+OB)2－OC=(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D、E两点，使AO恰为△ADE的中线，若存在，求出△ADE的面积，若不存在，说明理由.答案：(1)y=2x+3x－5；(2)存在抛物线上的D、E两点，使AO恰为△ADE的中线，S△ADE=.设x1，x是方程2x－kx+1－2k=0的两根.A(x1，0)，B(x，0)，x1＜0＜x.∴OA=－x1，OB=x.∴x1+x=①x1·x=＜0②∴k＞在抛物线解析式中，令x=0，则y=1－2k..∴C(0，1－2k)，∴OC=|1－2k|=2k－1，由(OA+OB)2－OC=，则(－x+x)2－(2k－1)∴(x1+x)2－4x1x－(2k－1)=①②代入得()2－4×－2k+1=.∴k2－8k－33=0∴k1=3或k2=－11.但k＞，∴k=－11不合题意，舍去，∴k=3.则所求抛物线的解析式为y=2x+3x－5.设存在抛物线上的D、E两点，使AO恰为△ADE的中线.∴O是DE的中点，即D、E关于原点对称.设直线DE的解析式为y=kx，联∴2x+(3－k)x－5=0③设D(x1，y1)，E(x，y2)，x1，x是方程③的解，∴x1+x==0，∴k=3代入方程③中.∴2x－5=0，∴x=±，∴y=±.易求A(，0)，B(1，0).∴S△ADE=2S△AOE=2×·AO·|yE|=2×××=15.已知抛物线y=x2+(2n－1)x+n2－1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)如图26－18所示，设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存