广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈Rx2−x−2<0，B=y∣y=A.−1,4 B.0,2 C.12,1 2.命题“∃x>0,x2+x>0”的否定是A.∀x>0,x2+x>0 B.∀x>0,x2+x≤03.已知等边▵ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=A.12AB+34AC B.14.将函数fx=sin2x−π6的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)A.0,π8 B.π8,π45.已知x>0，y>0，且1x+2y=1，则2x+1yA.4 B.42−1 C.66.将曲线y=e2x(e为自然对数的底数)绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanA.e B.e2 C.2e D.7.如图，在已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，N是棱AB上的点，且AN=A.1341 B.1354 C.351278.已知函数f(x)=cos3x−cos2x，x∈(0,π)，若f(x)有两个零点x1,A.14 B.−14 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为a1、a2，则下列说法不A.z1z2=a1⋅a2 B.z1−z10.已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S25A.当n=24，Sn最大 B.使得Sn<0成立的最小自然数n=48

C.a23+11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BCA.三棱锥P−A1QC的体积为定值

B.直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是22

C.在直三棱柱ABC−A1B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=m,1，b=m,−1，若2a−b13.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n∈N∗，14.若存在a，b，c∈π,2π(a,b,c互不相等)，满足sinωa+sin四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在ΔABC中，角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，且2(1)求角C的值；(2)若c=5，2tanA=3tanB16.(本小题12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(−1,0)，F21,0，点A(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求▵OMN面积的取值范围．17.(本小题12分)(一)如图所示，已知四棱锥P−ABCD中，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2，∠ABC=∠ADC=90(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)当四棱锥P−ABCD的体积最大时，求二面角P−BC−A的正弦值．(二)已知函数fx(1)若a=−1，求函数y=f(x)的极值；(2)讨论fx(3)若x1,x2x118.(本小题12分)给定正整数n≥2，设数列a1,a2,⋯,an是1,2,⋯,n的一个排列，对i∈1,2,⋯,n，xi表示以ai为首项的递增子列的最大长度(数列中项的个数叫做数列的长度)，yi表示以ai为首项的递减子列的最大长度．我们规定：当ai后面的项没有比ai大时，xi=0，当ai后面的项没有比ai小时，yi=0.例如数列：(1)若n=4，a1=1，a2=4，a3=2，a4(2)求证：∀i∈1,2,⋯,n−1，x(3)求i=1nxi参考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.2

13.2n+114.9415.解：(1)因为2a−bc=2cosB，所以2sinA−sinB=2sinCcosB，

则2sin(B+C)−sinB=2sinCcosB，

所以2sinBcosC=sinB，0<B<π，sinB≠0，

故cosC=22，又0<C<π16.解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

依题意：12a2+12b2=1a2=b2+1解得a2=2b2=1,

∴椭圆C的方程为x22+y2=1．

椭圆的离心率为e=ca=12．

(2)当直线OM不垂直于坐标轴时，直线OM的斜率存在且不为0，

设其方程为y=kx(k≠0)，

由y=kxx2+2y2=2，

消去y得x2=217.(一)

(1)证明：因为BC=CD，∠ABC=∠ADC=90∘，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC，所以AB=AD，

设AC∩BD=Q，连接PQ，则△QBC≌△QDC，点Q为BD的中点，又PB=PD，所以PQ⊥BD，

又∠DQC=∠BQC，且∠DQC+∠BQC=180∘，所以AC⊥BD，又AC∩PQ=Q，AC，PQ⊂平面PAC

所以BD⊥平面PAC;

(2)解：由(1)可知，BD⊥平面PAC，BD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAC，取AC的中点为O，连接PO，则PO⊥AC，又平面ABCD∩平面PAC=AC，PO⊂平面PAC，所以PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥BC，垂足为H，连接PH，则PH⊥BC，所以∠PHO为二面角P−BC−A的平面角，

因为四棱锥P−ABCD的体积为：

VP−ABCD=13×SABCD×|PO|=13×|AB|×|BC|×|PO|=13×2×|AB|×PH2−OH2=23×|AB|×3−(|AB|2)2=43×|AB|24×(3−|AB|24)≤43×32=2，当且仅当|AB|24=3−|AB|24，即|AB|=6时体积最大，

此时|OH|=12|AB|=62，|OP|=(3)2−(62)2=62，

在Rt△POH中，tan∠PHO=|OP||OH|=1，所以∠PHO=45∘，所以二面角P−BC−A的大小为45∘，

所以二面角P−BC−A的正弦值为22．

．

(二)

(1)解：若a=1，f(x)=lnx+2x+(x+1)，定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=1x−2x2+1=x2+x−2x2=(x−1)(x+2)x2.f′(x)=0，解得：x=1．

当x变化，f′(x)，f(x)变化情况如下表所示：

故f(x)有极小值，极小值为f(1)=4，无极大值．

(2)解：f′(x)=1x−2x2−a=−ax2+x−2x2，

(i)当a=0时，f(x)在(0,2)单调递增，(2,+∞)单调递减;

(ii)当a<0时，Δ=1−8a>0，f′(x)=0有两根，设x1=1−1−8a2a，x2=1+1−8a2a，

则x2<0<x1，f(x)在(0,x1)单调递减，(x1,+∞)18.解：(1)以a1为首项的最长递增子列是a1，a3，a4，

以a2为首项的最长递减子列是a2，a3和a2，a4．

所以x1=3，y2=2．

i=14|xi−yi|=|3−0|+|0−2|+|2−0|+|0−0|=7．

(2)对i∈{1,2,⋯,n−1}，由于a1，a2，⋯，an是1，2，⋯，n的一个排列，故ai≠ai+1．

若ai<ai+1，则每个以ai+1为首项的递增子列都可以在前面加一个ai，

得到一个以ai为首项的更长的递增子列，所以xi>xi+1;

而每个以ai为首项的递减子列都不包含ai+1，且ai<ai+1，

故可将ai替换为ai+1，得到一个长度相同的递减子列，所以yi≤yi+1．

这意味着xi−yi>xi+1−yi+1;

若ai>ai+1，同理有yi>yi+1，xi≤xi+1，故xi−yi<xi+1−yi+1．

总之有xi−yi≠xi+1−yi+1，从而xi−yi和xi+1−yi+