2024-2025学年高一【数学(人教A版)】三角函数的图象变换-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题三角函数的图象变换教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.理解从正弦曲线到函数图象的变换过程，能用“五点法”画出函数的简图；2.掌握参数对图象的影响，发展直观想象的数学素养；3.会运用函数的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题，提升数学建模的素养.教学重点：整体把握函数图象的变换过程.教学难点：切实把握图像变换的本质，实现从正弦曲线到函数图象的变换过程.教学过程时间教学环节主要师生活动5复习引入同学们，在前面两节课中，我们以筒车为背景，根据它运动的特点----匀速圆周运动，确立三角函数模型，.为了更好地使用模型，我们研究参数的实际意义以及对函数图象变化的影响.问题1：正弦曲线是如何变换得到函数图象?第一步先变换出函数图象，由正弦曲线向左或右平移||个单位长得到的，究竟是向左还是向右，决定的符号，>0,向左平移个单位，<0,向右平移||个单位；所以在数学上，会使一个函数图象向左或者向右平移得到另一个函数图象,而在实际问题中,决定了圆周运动的初始位置，也就是t=0时盛水桶（质点）的位置，下一步由函数图象变换为函数图象，在这个过程中，需要使曲线上的各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象；在数学上，决定了函数图象上点的横坐标的伸缩，横坐标的改变带来了函数周期的变化，T与的关系是，而在实际问题中，对应圆周运动的角速度;最后一步，将函数图象变化为函数图象，需要使曲线上的各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），在数学上，A决定了函数图象上点的纵坐标的伸缩，决定了函数值域的变化.而在实际问题中，A对应圆周运动中筒车的半径，也就是振幅.10典型例题1例1画出函数的简图方法1：图象变换.解1：先画出函数的图象，再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，然后使曲线上的各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），这时曲线就是函数的图象.问题2：事实上这三种变换的先后顺序并无特别规定，还有不同变换方式吗？那我们看有同学是这样解答：同样先画出正弦曲线，再把正弦曲线上的各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数，然后使曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），这时曲线就是函数的图象.请问对吗？向右平移个单位长度分析：向右平移个单位长度评价图象变换画图方法练：你能用上述两种不同的变化方式，说说正弦曲线是如何变到函数图象?方法2：五点作图法.问题3：类比正弦曲线的画法，你能用“五点法”画出吗？分析：1.回忆正弦曲线作图方法为了确定正弦函数的图象形状，抓住了图象上的五个关键点，分别为与x轴交点（0，0）最高点（，1）与x轴交点（，0）最低点（，-1）以及与x轴交点（，0）,然后用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.2.利用换元法，令，函数变为，类比正弦曲线找出五个关键点解：令，，列表X0010-10020-20但是是以小x为自变量，y为函数值的函数，所以还有求出x的值，即令，分别解得出相应的x值，还可以：利用函数图象特点以及性质，在求出第一个后，可计算函数的最小正周期，比如：这题中，，第三个点的横坐标为第一个点的横坐标和第五个点横坐标和的一半，即，第二个点的横坐标为第一个点的横坐标和第三个点横坐标和的一半，即，第四个点的横坐标为第三个点的横坐标和第五个点横坐标和的一半，即，这样计算简洁，准确性高.列表X0x010-10020-20以（，0），（，2），（，0），（，-2），（，0）为五个关键点，画函数在一个周期（）内的图象.评价五点画图法以及简要对比以上两种画图方法师生活动：学生讨论交流，对于方法1教师鼓励学生采取不同的变换方法，对于方法2教师引导学生类比正弦曲线的五点法，抓住这个函数图像的关键点.设计意图：对所学知识的复习巩固和运用8实际问题例2：摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5min后离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.思考1：用什么数学模型来刻画摩天轮的转动？为什么？1.根据实际问题的特点确定数学模型由于摩天轮匀速转动，游客距离地面的高度随时间呈周期性变化，因此可以用三角函数建立模型，把摩天轮抽象为圆，游客所做的座舱抽象为质点，那么游客距离地面的高度H与时间t的关系为，设思考2：如何求函数解析式？2.根据信息求解函数解析式第（1）问的分析：已知中告诉我们这是一个直径为110m的摩天轮，说明点M在半径为55m的圆上做圆周运动，得到A=55，摩天轮按逆时针方向旋转，转一周需要30min，说明周期T=30，角速度，游客在座舱转到离地面最近的位置P进舱，说明P为初始位置，角的终边与y非正半轴重合，即，k是指圆心到地面的距离，即k=55+10.通过已知所给的信息，结合的实际意义，能很好的得出参数的值.（1）解：设座舱距离地面最近的位置为点P,以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系.在实际问题中，特别注意自变量t代表时间，它的取值范围为，不仅如此，这里请同学们注意审题“在转动一周的过程中”，说明.3.利用函数解析式去解决实际问题第（2）问的分析：在实际问题中，座舱距地面高度在每一时刻是变化的，通过解析式求出相对应的函数值，也就是座舱每一时刻的高度，这就函数解析式的价值.（2）解：当所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.思考3:如何表示甲、乙两人距地面的高度？第（3）问的分析1：甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，一共有48个座舱，所以相邻两个座舱的夹角这时，点A可以看出是游客甲从点P进舱，经过tmin后到达的位置，此时为,经过tmin后，甲距离地面的高度为点B可以看成游客乙从P’进舱，经过tmin后到达的位置，因为座舱转动的速度是一样的，此时为，所以乙距离地面的高度解：如图甲、乙两人的位置分别用A,B表示，则经过tmin后甲距离地面的高度为点B相对于点A始终落后此时乙距离地面的高度为则甲、乙距离地面的高度差，借助三角变换的工具，以及信息技术辅助求出最值来.解：利用可得所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.四、根据结果解释实际问题通过数学知识，我们发现随着时间t的改变，相邻两个座舱之间的距离是不断变化的，最高能相差7米之高，这是非常大的差距，这使我们对摩天轮的认识不仅仅停留在感官，而是有了理性的新认识.问题4：(1)你还能用数学的眼光还能提出一些其他的问题吗？比如可以研究：=1\*GB3①高度差的最小值=2\*GB3②可以查阅摩天轮所在城市最高建筑物的高度，计算在摩天轮转动一圈内，游客到地面的距离是否能超越这一高度，有多长时间超过这一高度？这些数据是否能为宣传摩天轮而服务？（2）通过这道题的分析，同学们能对下面这些问题有更深一些的体会吗？1.实际问题如何抽象成数学问题？2.数学问题如何从一种形式转化为另一种形式？3.数学问题解决后，我们又是如何解释、认识实际问题？师生活动：教师借助信息技术呈现摩天轮的直观影象，再提出问题，由学生思考分析，教师适当点拨，提醒学生注意坐标系的选择，以及现实问题中量的单位.设计意图：本例与开篇的筒车问题相呼应，进一步体会圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合运用和实际应用，也是对知识学习效果的一次检验.练习：用“五点法”作出函数在一个周期上的简图，并说出函数的图象与正弦曲线有什么关系？设计意图：巩固学生对参数对函数图象的影响的掌握，图象的整体变换，以及“五点作图法”2课堂小结布置作业布布请大家回顾本单元的学习内容，并回答以下问题：（1）你能概述本单元知识的基本脉络吗？现实世界中的匀速圆周运动函现实世界中的匀速圆周运动函数参数对函数图象的影响函数的性质函数的简单应用（2）在本章的学习过程中，哪些思想方法值得总结？=1\*GB3①数形结合：用“五点法”绘制的图象，结合图象理解函数中参数的几何意义并确定参数的值，由函数的图象，经过恰当的变化得到函数的图象，都体现了数形结合的思想.=2\*GB3②函数思想：根据实际问题建立函数模型，并利用函数的思想解决实际问题，进一步感受三角函数刻画周期变化现象时的作用.=4\*GB3④特殊与一般：能根据参数取特殊值时的变化情况，把握一般的变化情况，能借助于特殊问题的研究，解决一类三角函数图象变化规律问题.（3）通过本单元的学习，谈谈你对数学建模过程与方法的认识.首先，根据实际问题的特点确立函数模型，将实际问题转化为数学问题，建立模型；其