2024-2025学年高一【数学(人教A版)】简单的三角变换(1)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题简单的三角变换（1）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.进一步熟悉各组公式的内在联系，了解各组公式的功能及变形；2.能利用公式完成简单的三角变换，为函数研究提供依据，提升数学推理的素养.教学重点：整合各组公式的内在联系，把握公式的重要变形.教学难点：认识三角恒等变换的特点.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟7分钟7分钟3分钟1分钟复习公式，引出课题分析例1，总结特点分析例2，感受化归思想分析练习1，巩固新知小结知识布置作业学生活动我们先来复习一下在三角恒等变换这一节中我们学习的公式：我们先利用单位圆和两点间距离公式推出了，然后将代换为得到，然后又结合诱导公式进一步推出了，，然后又将两式相除得到，，最后将式子中的得到了二倍角公式，，；学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.有了和（差）角公式和二倍角公式，进而可以解决三个角的和与差的问题，多个角的和差问题，多倍角的问题等，既然倍角解决了，那么你能尝试半角吗？教师活动例1试以表示.问题1：本题要求用角的余弦值表示角的三角函数值，那么角与角有什么关系呢？学生活动分析：根据角是角的二倍角，因此可以将二倍角公式中的替换为，替换为，就能解决这个问题.解：是的二倍角，在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.将上述两式左右两边分别相除，得.教师活动例1我们得到了一组公式，我们来总结一下它们的特征：从结构上看，等式左边都是三角函数的二次形式，而右边都是一次形式，因此此组公式有升降次的作用；从角的特征来看，等式左边都是，而右边是，因此此组公式有升降角的作用.问题2：是的二倍角，也就是说是的半角，你能依此得到半角公式吗？例1的结论还可以表示为：我们称之为半角公式.公式中的号体现了三角函数的取值有正负，与同角函数关系式类似，具体取值与角所在的象限有关.因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.教师活动例2求证：（1），（2）.问题3：（1）式子中所包含的各个角有怎样的关系？你能得到什么样的启示？根据（1）式子中存在两角及它们的和与差（反之也是），式子结构从积到和差（反之也是），式子结构从二次到一次（反之也是），要消除这种差异，你可以从哪个角度入手呢？学生活动选择和（差）角公式可以解决（1）题.证明：（1）根据公式，，两式相加，得，所以.问题4：（2）中式子两边在结构形式上与（1）有什么不同？根据两个式子的结构特点，（1）是将正余弦之积化为两正弦之和，（2）是将两正弦之和化为正余弦之积，而且对比角的关系，且，因此考虑到它们之间的联系，采取换元法进行证明.（2）令+=，=φ，则，代入（1）得：∴.教师活动本题（1）的证明把看作x,将看作y,把等式看作x,y的方程，则问题转化为解方程组求x.（2）的证明用到了换元法，将+看作，将看作φ，从而把包含，的三角函数式转化为，φ的三角函数式.它们都体现了化归思想.练习1：求证：.学生活动证明：根据是的二倍角，因此本题可从二倍角公式入手，所以，，得证.小结：通过本节课的学习，你是否理解了三角恒等