2024-2025学年高一【数学(人教A版)】基本不等式(1)-教学设计

（二）教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题基本不等式（1）教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.初步理解基本不等式及其证明方法和几何解释；2.通过利用基本不等式求简单的最值问题，使学生理解利用基本不等式解决最值问题的方法；3.通过对基本不等式证明方法分析法的认识以及利用基本不等式求简单的最值问题，发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养.教学重点：理解基本不等式及其证明方法.教学难点：基本不等式的几何解释以及用基本不等式解决简单的最值问题.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟问题引入教师:我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.问题1：前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：∀a,b∈R,有教师:请大家观察,这个不等式左边的平方结构要求比较高，使用不方便，能否换成一个数，又因为替换的是个平方数，所以应该是个正数。那么这里特别地，如果a>0,b>0我们用a,b分别代替上式中的a,b可以得师生活动：学生独立计算后回答。教师总结：对于∀a>0,b>0,a+b≥2ab变形为ab≤a+b2=1\*GB3①当且仅当a=b时，等号成立．通常我们称不等式=1\*GB3①为基本不等式.其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.6分钟分析法证明问题2：前面，我们通过考察a2师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.教师在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明过程.教师:分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.分析法解题过程如下:要证ab≤a+b2=1\*GB3①只要证2要证=2\∗GB3②，只要证2ab−a−b≤0.=3\*GB3要证=3\*GB3③，只要证−(a−b)2≤0=4\*GB3④要证=4\*GB3④，只要证(a−b)2≥0=5\*GB3⑤显然，=5\*GB3⑤成立，当且仅当a=b时，=5\∗GB3我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由=2\*GB3②⟹=1\*GB3①，由=3\*GB3③⟹=2\∗GB3②,由=4\*GB3④⟹=3\∗GB3③，由=5\*GB3⑤⟹=4\*GB3④的依据.教师总结：=2\*GB3②⟹=1\*GB3①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向）=3\*GB3③⟹=2\∗GB3②（根据不等式性质，两边同时加上正数（a+b），所得不等式与原不等式同向=4\*GB3④⟹=3\∗GB3③（运用完全平方差公式打开计=5\*GB3⑤⟹=4\*GB3④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）显然，=5\*GB3⑤成立，当且仅当a=b时，=5\∗GB3追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。下面我们一起来看问题3.5分钟几何解释同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢?下面我们一起来探究一下?问题3：在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.你能在这个图形中尝试找出和所对应的是哪条线段吗?进而得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：教师引导学生思考后回答，可证∆ACD∼∆DCB,因而CD=ab。由于CD小于或等于圆半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.图1教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于a+b2，CD=ab5分钟简单应用前面我们知道了基本不等式的内容、证明方法和几何解释，下面我们利用基本不等式来解决一些简单的最值问题.请看下面的例题.例1已知x>0,求x+追问（1）：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求x+1x师生活动：学生思考后回答.教师总结：本题中要求的代数式是x与1x和的形式，而且x∙1x=1，由于x+1x是x与解：因为x>0，所以x+1x≥2x∙因此所求的最小值是2.追问（2）：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x=1x，即师生活动：学生讨论后回答.教师总结：这是为了说明“2”是x+1那么请同学们再想一想，当y0<2时，x+1师生活动：学生思考后回答.教师总结：当然是不能，因为x+1x的最小值，就是要求出一个y0追问（3）：通过本例的解答，你能说说满足什么条件能够利用基本不等式求最小值呢？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：如果两个正数的积为定值，当这两个数相等时，可以求得它们的和的最小值.4分钟简单应用例2已知x，（1）如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最小值师生活动：师生一起分析后，鼓励学生用自然语言把两个问题连在一起说，能用自己的话表达也是对结论的进一步理解。并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.证明：（1）因为x，y都是正数，所以x+y2≥xy,当积xy等于定值P时，x+y2≥P（2）当和x+y等于定值S时，xy≤x+y2=S2,所以xy≤1追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答.教师总结：满足两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值，或者两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值的问题，能够用基本不等式解决.2分钟归纳小结同学们，我们知道，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型,在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.今天我们学习了以下几个重要的内容：1、基本不等式