高二(上学期)期末数学试卷及答案

高二（上学期）期末数学试卷及答案

题号一二三四总分

得分

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.直线广履+6经过第二、三、四象限，则斜率左和在y轴上的截距b满足的条件为（）

A.k>0,b>QB,k<0,b<0C.^>0,b<0D.k<0,b>0

2.已知厂为双曲线C：更=1|的左焦点，P,Q为C上的点.若尸。的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）

型W

在线段PQ上，则^尸。尸的周长为（）

A.11B.22C.33D.44

3,"。=2"是"li：or+4y-l=0与/2：x+ay+3=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

4.已知抛物线和?产=1的公切线尸。（尸是尸。与抛物线的切点，未必是尸。与双曲线的切点）与

A.x2=4yB.x2=2yj3yC.x2=6yD.N=2也y

5.已知根，〃是两条不重合的直线,a,B是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.若加la,mI。，aip,则加1〃

B.若mLi,mla,川|0,则a10

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C.若m\\n,m\\a,n||p,则a||p

D,若相la,"la,则m||n

6.直线/：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A,8两点，则|AB|=（）

A.2也B.4C.4也D.8

7.椭圆5N+打2=5的一个焦点为（0,2）,那么女的值为（）

A.4B.2C.V3D.1

直线与曲线。一苧=的公共点的个数为（）

8.y=2x-31

A.1B.2C.3D.4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.矩形A8CD中，AB=4,BC=3,将AAB。沿3。折起，使A到A'的位置，A'在平面BCD的射影E恰

落在C。上，则（）

A.三棱锥A'-BCD的外接球直径为5B.平面A'Bin平面NBC

C,平面A'8。1平面A'CDD.A'。与BC所成角为60。

22

10.设O为坐标原点，Fl,仍是双曲线亍彳=1（a>0,6>0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点尸满

ab

足4ApB=60。，且线段的中点B在y轴上，则（）

_2

A.双曲线的离心率为面B.双曲线的方程可以是，产=1

C.\OP\=^7aD.APF1F2的面积为但a?

11.在平行六面体ABCDAiBiCid中，点M,P,。分别为棱AB,CD,8C的中点，若平行六面体的各棱

长均相等，乙41A8=zAiA。，则有（）

A.AMB。B.AAilPQC.AiM||®DxPQBxD.PQlffiA1ACC1

12.已知抛物线C：俨=4元的焦点为F,准线为I,过点P的直线与抛物线交于两点P（xi,ji）,Q（及，”），

点尸在/上的射影为P,贝I（）

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A.|PQ的最小值为4

B.已知曲线C上的两点S,T到点尸的距离之和为10,则线段ST的中点横坐标是4

C.设M(0,1),贝!IIPM+IPP1巨招

D.过M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),点。在直线AC上，若区也|2。|恒成立，贝h的取值范围

是.

14.直线2了+也广1=0的倾斜角是.

15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm深为2ow的空穴，则该球

的半径为cm,表面积是.

16.已知双曲线C：/一(=l(a〉0,b〉0)的右焦点为F，。为坐标原点.过P的直线交双曲线右支于A,B

两点，连结A。并延长交双曲线C于点P.若|4月=2|8尸|,且NPFB=60。，则该双曲线的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知圆C的圆心在直线3x—y-5=0上，且与x轴交于两点4(-2,0),B(4,0).⑺求圆C的方程；

(〃)过点P(3,2)的直线2与圆C交于MJV两点，且|MN|=2^，求直线，的方程.

18.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25,直线/：(2/”+1)x+(m+1)y-lm-4=Q(meR).

(1)证明：不论7"为何值时，直线/恒过定点；

(2)求直线/被圆C截得的弦长最小时的方程.

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19.如图，.iff为圆。的直径，点尸在圆。上，且.13,EF，矩形一158所在的平面和圆。所在的

平面互相垂直，且.姐=2，,W=£F=1

⑴设FC的中点为A/，求证：0M’平面必；

(2)求四棱锥F--18CD的体积.

20.在平面直角坐标系中，直线/与抛物线y2=2尤相交于A,8两点.求证：“如果直线/过(3,，那么

神•^=3”是真命题.

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2i.如图，四棱锥中，底面4SUA是菱形，其对角线的交点为0,且Si=SC总1即

⑴求证：SD1平面肥5

⑵设/必。=60°，杷=即=2,尸是侧棱配上的一点，且ESII平面Q。，求三棱锥

4_Pi⑦的体积.

22.(本题满分16分)己知椭圆L+21=1的两焦点分别为£、白，尸是椭圆在第一象限内的一点，并

42

满足丽-瓯=1,过P作倾斜角互补的两条直线以、理分别交椭圆于43两点•

(1)求产点坐标；

(2)当直线〃经过点(1,物时，求直线43的方程；

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（3）求证直线4月的斜率为定值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：要使直线产a+6经过第二、三、四象限，则斜率左和在y轴上的截距6满足的条件[屋8,

故选：B.

由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论.

本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】由双曲线C的方程，知a=3,b=4,c=5,

.•.点A(5,0)是双曲线C的右焦点，

且1尸。1=1。4|+1尸川=46=16，

由双曲线定义，\PF\~\PA\=6,\QF]~\QA\=6.

.-.\PF\+\QF\^12+\PA\+\QA\^28,

因此AP。尸的周长为

任同+|。川+|尸。|=28+16=44,选D

3.【答案】A

【解析】解：若。=2.则两条直线的方程为2x+4y-l=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立.

当。=0时，两直线等价为4y-l=0与尤+3=0不满足两直线平行，故(#0,

若"h：ax+4y-l=0与〃：x+ay+3=0平行”，贝

解得。=2或。=-2,即必要性不成立.

故ua=2n是uh：ax+4y-l=0与『2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，

故选：A

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根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：如图过尸作PE1抛物线的准线于E,根据抛物线的定

义可知，PE=PF

■■^■\PQ\=^\PF\,在昭APOE中，sinzP(2E=|,••.tandQE=也,

即直线P。的斜率为也，故设尸。的方程为：y=^2x+m(能<0)

(J2=i

由1j业x+加消去y得3/+4但mx+2m2+2=0.

则△1=8/-24=0,解得加二-4，BPPQ：产业%-低

%—20V

!丫=唇_®得--2曲刀+2廊=0,A2=8p2-8,p=0，得p=*.

则抛物线的方程是无2=2掷y.

故选：B.

如图过尸作PE1抛物线的准线于E,根据抛物线的定义可知，PE=PF

可得直线P。的斜率为亚，故设尸。的方程为：y=^x+m(/77<0)

再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p.

本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：当机la,川|0,aip时，直线〃2与〃可能异面不垂直，故选项A错误；

当初J_",/Mia,川||3时，比如”平行于a与P的交线，且满足ml","zla,但a与［3可能不垂直，故选项B

错误；

当机|历，根||a,川IB时，比如相与“都平行于a与P的交线，且满足刑团，m||a,但a与|3不平行，故选项C

错误；

垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项。正确.

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故选：D.

直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可.

本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题.

根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可.

【解答】

解：圆的标准方程为（x-1）2+（j-3）2=10,

圆心坐标为（1,3）,半径R=\,，IU,

则圆心到直线尤-y=0的距离4=品$=的,

则河1=2/?2_&2=2所2=2祁=4业

故选C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质，是基础题.

把椭圆化为标准方程后，找出。与6的值，然后根据。2=62+02,表示出°,并根据焦点坐标求出c的值，两

者相等即可列出关于左的方程，求出方程的解即可得到上的值.

【解答】

解：把椭圆方程化为标准方程得：N+〈=i,

k

因为焦点坐标为（0,2）,所以长半轴在y轴上，

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则C=G-1=2,解得I.

故选D

8.【答案】B

【解析】解：当定0时，曲线苧=i的方程为/一）=1，一条渐

近线方程为：产-，，

当尤＜0时，曲线口苧=i的方程为0+==1，

...曲线苧=1的图象为右图，

在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，

可得直线与曲线交点个数为2个.

故选：B.

分x大于等于0,和1小于0两种情况去绝对值符号,可得当x＞0时，

曲线:一竽=i为焦点在y轴上的双曲线，当尤＜°时，曲线。一苧=i

为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线。—竽=1的图象，就可找到交点个数.

本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程.

9.【答案】AB

【解析】解：对于A，取BD中点E,连接A'E,CE,

贝UME=BE=DE=CE」屋+3兰.

二三棱锥4-BCD的外接球直径为5,故A正确；

对于2,■.DA'LBA',BC1CD,A'F1平面BCD,：.BC1A'F,

又A'FHCD=F,A'F、CZ)u平面A'CD,.••8C1平面A'CD,

■.■A'Ou平面A'CD,-.DA'IBC,

■■■BCCiBA'=B,：.DA'_L平面A'BC,

■-DA'u平面A，2£),.♦.平面A，BDL平面A，BC,故B正确；

对于C,BC1A'C,：.A'B与A'C不垂直，

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.•・平面M8。与平面MCD不垂直，故C错误；

对于。，••・D4IIBC,••.”以，是M。与8c所成角(或所成角的补角)，

■.•A'C=J16-9="\：.A'F=~~,DF=19—(字)2=；,

AF=J+@)2=4,AV=心2+(蛤2=3也,

Q-LQ—1Q

/1

.­,coszADA=2：3X3=。，■■■^ADA=90°,

■■A'。与BC所成角为90。，故。错误.

故选：AB.

对于A,取8。中点E,连接A'E,CE,推导出A'E=BE=DE=CE=3,从而三棱锥A'-BCD的外接球直径

为5；对于8,推导出OA'LBA',BC1CD,A'BCD,BC1A'F,BOL平面A'CD,DA'IBC,

DA'_L平面A，BC,从而平面A'BDL平面4BC-,对于C,A'B与山C不垂直，从而平面A'与平

面A，CO不垂直；对于。，由ZMIIBC,得ZAD4'是。与BC所成角(或所成角的补角)，推导出A'D

与BC所成角为90。.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、

运算求解能力等数学核心素养，是中档题.

10.【答案】AC

【解析】解：如图，Fi(-c,0),Fi(c,0),

・•・B为线段尸乃的中点,。为为让的中点，.■。明|尸92,

.•.ZPF2FI=90°,

由双曲线定义可得，\PFi\-\PF2\=2a,

设|PFi|=2〃z(〃z>0),则|尸尸2|=:小|F1F2|=

.,.2m-m=2af即〃=g,

又扬n=2c,.,.占fm,则6=£=平，故A正确；

2222

Z)=c-a=|m,则6=%,双曲线的渐近线方程为广土质,

选项8的渐近线方程为产土紧，故8错误；

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对于C,为尸F2的中点，・•.pFi+pFz=P0，

则V+ph=4j即I；/+|丁+2.11；|皿60。=4|」,

rrYrr2rl/rr21广12ru

即以"p』+m；l=4|J,①

22

而IPHHP尸2|=2a,两边平方并整理得，+\PF2\-2\PF1\\PF2\=4a,②

2

联立①②可得，|PF1||PF2|=8a,4|以2=28。2,即『。仁旧心故C正确；

PF

sAPFJ2=|llIIP/21S讥60°=|X8。2x*=2点。2,故。错误.

故选：AC.

由已知可得乙尸尸2尸1=90。，设|尸臼=2根（加＞0）,再由已知结合双曲线定义可得a,b,c与机的关系，即可

求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与3由。为B仍的中点，得pi+pln2/,两边平方后

结合双曲线定义联立求得|尸。|判断C；进一步求出△PBP2的面积判断D

本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：连接MP,可得MP4AD“ALDI,可得四边形M2UD1是平行四

边形

••AMI。尸，又AJWC平面DCCiDi,APu平面OCCiG,4MI平面DCCiDi,

连接08,由三角形中位线定理可得：PQ^DB,DBLDB,可得四边形

PQBbDi为梯形，

。81与PA不平行，因此4M与囱。不平行，

又AM",AM/C平面DiP02i,DiPu平面PiPQBi,

••AMI平面OiPQB.故A不正确，C正确；

连接AC,由题意四边形ABCD是菱形，.•.ACL2Z）,

-P,。分别为棱。，BC的中点，.•.PQIIBO,.•.PQ1AC,

•••平行六面体的所有棱长都相等，且ZA1A2=ZA1AD,

二直线AAi在平面ABC。内的射影是AC,且8O1AC,

■■.AA11BD,.-.AAilPQ,故B正确;

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•.•44iriAC=A,二产。！面A1ACC1,故。正确.

故选：BCD.

连接MP,推导出四边形MPALDI是平行四边形，从而4MIGP,连接。8,推导出四边形PQBiOi为梯形，

A1M与81。不平行，推民出4MII平面OiPQBi；连接AC,推导出四边形ABC。是菱形,AC1BD,从而PQ1AC,

由平行六面体的所有棱长都相等，且41A乐乙4欣。，推志出A4ilP。，从而尸Q1面4ACG.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，

是中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对于4设直线P。的方程为x=h+l,

联立解方程组V2.4„，可得y2_4(y-4=0,X1X2=*=1,

|尸。|=X1+尤2+。=尤1+及+2>2//2+2=4,故A正确；

对于民根据抛物线的定义可得，|SF|+|7F|=XS+XT+P=10,则xs+xr=8,

则线段ST的中点横坐标是空=4,故B成立；

对于C,M(0,1),\PM\+\PPi\=\MP\+\PF\>\MF]=^,所以C正确;

对于。，过M(0,1)相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最

多有三条.所以。不正确；

故选：ABC.

设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A,结合抛物线的定义，判断8；利用抛物线的性质判断C；

直线与抛物线的切线情况判断D.

考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题.

13.【答案】(-00,0]

【解析】解：设。(尤，y),由。在AC上，

得;+y=1,即x+ty-t=Of

由|AZ隼物得

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&2+(y—1)2三亚•+y2,

化为(尤-2)2+(y+1)2>4,

依题意，线段与圆(x-2)2+(y+1)2=4至多有一个公共点，

.巴匕

一川3，

解得:1<0,

则/的取值范围为(-a),0],

故答案为：("，0],

先设出。(尤，y),得到的方程为：x+ty-t=Q,由区也|3D|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，

解不等式即可得到所求范围.

本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

14.【答案】兀-arctan也

【解析】解：直线2x+也川=0的斜率为-洛

设直线2尤+也y-l=0的倾斜角为。(0<0<71),

贝I]tan。=—但，--Q=n-arctan^2..

故答案为：兀-arctan也.

由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解.

本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题.

15.【答案】10；400兀

【解析】解：设球的半径为r,依题意可知36+(r-2)2=产，解得尸10,

球的表面积为4兀产=400兀

故答案为10,400兀

先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得「，最

后根据球的表面积公式求得球的表面积.

本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式.属基础题.

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16.【答案】苧

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力.属于中档题.

设双曲线C的左焦点为尸，连结AF,BF,设则|4尸|=2t,推出立尸42=60。.在AfUB中，由余弦定

理求解t=£结合双曲线的定义，求出|犷|=黑|阴=等.在△尸A尸中，由余弦定理推出a,c关系，得

到离心率即可.

【解答】

解：设双曲线C的左焦点为尸，连结A尸，BF,^\BF\=t,则|AQ=2f,

所以|AF*|=2〃+23\BF\=2a+t.

由对称性可知，四边形A尸尸尸为平行四边形，故NFAB=60。.

在△尸A8中，由余弦定理得

(2〃+力2=(2〃+2力2+(302-2x(2〃+2/)x3rxcos60°,

在AFAF中，由余弦定理得，4c2=^+^-2XyXyXCOs60°=^，

解得：e=£

故答案为：手.

17.【答案】解:⑺因为圆C与x轴交于两点4(一2,0)凤4,0),

所以圆心在直线％=1上，

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%=](x-1-

!3x—y—5—0＜得|y=-2，

C(1-2)

即圆心的坐标为

r=\BC\=J(4-l)2+(0+2)2=尺

半径，

C(x-1)2+(y+2)2=13

所以圆的方程为；

II%=3

(〃)若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

\MN\=6

此时可得，不符合题意；

IIy-2=k(x-3)kx—y+2-3k-0

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即

CCDIMND

过点作于点，则。为线段MN中点，

\CD\2=\CM\2-\MD\2

=/一弊)2=13_3=10

；

\CD\=\/--1-0-+r2r+p21—3k\=7^rr-T-

・•・，即点。到直线/的距离#+,

1

k=3

解得或g3；

综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-ll=0.

【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题.

(/)根据题意，即可得解；

(〃)分类讨论，进行求解即可.

18.【答案】(1)证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+(2x+y-7)=0.联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0,得

点(3,1)；

将点(3,1)代入直线方程，不论相为何值时都满足方程，所以直线/恒过定点(3,1)；

(2)解:当直线/过圆心与定点(3,1)时，弦长最大，代入圆心坐标得机=：.

当直线/垂直于圆心与定点(3,1)所在直线时弦长最短，斜率为2,代入方程得加=】

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此时直线/方程为2x-y-5=0,圆心到直线的距离为衽，所以最短弦长为痛.

【解析】（1）通过直线/转化为直线系，求出直线恒过的定点；

（2）说明直线/被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线/垂直，求出斜率即可求出机的值，再

由勾股定理即可得到最短弦长.

本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于

中档题.

19.【答案】（1）证明详见解析；（2）直.

-

【解析】试题分析：（1）要证0.T/平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证04与平

面D,F内一直线平行即可，设DF的中点为.V,则V工TO为平行四边形，贴想酸.盘包皴，又HVu平

面。P,0.U不在平面ZUF内，满足定理所需条件；（2）过点尸作尸G一."于G，根据面面垂直

的性质可知尸G一平面.担CD，FG即正、。厅的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.

试题解析：（1）设OF的中点为\,贝LWX=〈CD

又a。=3W。

•••为平行四边形5巡'部趣F

又zLVc平面DJF，0.1/工平面ZUF

0M平面尸

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⑵过点尸作FG_.15于G

...平面aSCD一平面."EF，「FG一平面A8CD，FG即正“>£F的高

・•・FG=•••56二=2

一

1jQ

333

考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.

20.【答案】证明：设过点7(3,0)的直线/交抛物线V=2x于点A(为，yi)、B(x2,y2).

当直线/的车斗率不存在时，直线/的方程为43,

此时，直线/与抛物线相交于点A(3,亚)、B(3,-^6).

-♦-»

：'OA08=3

当直线/的锌率存在时，设直线/的方程为产左(x-3),其中原0,

[y2=2%

由jy=k(x-3)得ky2-2y-6k=0^yiy2=-6,

22

Xvxi=iyi,X2=1y2f

•'-XlX2=9，

-»-»

■■OA'。尸1及+””=3,

综上所述，命题“如果直线/过点T(3,0),那么神,在=3"是真命题；

综上，命题成立.

【解析】设出48两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线/过(3,0),那么袖,06=3”

是真命题.

本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中

档.

21.【答案】(1)证明：•••底面NSUA是菱形，

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又'.'Mi劭平面弱小

又：SOc斗面例C.初IS。

7M=SCJ0=0C.:.50UC

又;ACn8D=0...S01平面ABCD-

(2)连接。户，

•••SB二平面肚e，SBU平面S3。，平面SRDc平面APC=0P，网平面APC,.-.SBWOP.

又・•,。