试卷解析:广东省华附 深中 省实 广雅四校联考2024届高三上学期期末数学试题(解析版)_第1页
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华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学命题学校:广东实验中学定稿人:XXX本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷收回.一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集,集合A,B满足,则下列关系一定正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件,求得,再进行选择即可.【详解】因为集合A,B满足,故可得,对A:当为的真子集时,不成立;对B:当为的真子集时,也不成立;对C:,恒成立;对D:当为的真子集时,不成立;故选:C.2.已知复数满足,则()A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出,再根据共轭复数的概念确定复数,最后根据的周期性求结果.【详解】由已知,所以,.故选:C3.直线关于直线对称的直线方程是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图象,找出一个对称点和直线与直线的交点,即可求出对称直线的方程.【详解】由题意,在直线中,作出图象如下图所示,由图可知,点关于直线对称的点为,直线与直线的交点为,∴关于直线对称的直线方程为:,即,∴关于直线对称的直线方程是:.故选:B.4.已知向量在方向上的投影向量的模为,向量在方向上的投影向量的模为1,且,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的模长公式计算出,再由向量垂直关系列出方程,求出,得到夹角.【详解】由题可得所以.因,所以,所以,所以,即.因为,所以.故选:B.5.若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过椭圆的离心率得出之间的关系,即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意,在椭圆中,离心率,∴,即,在双曲线中,∴双曲线的离心率.故选:A.6.在平直的铁轨上停着一辆高铁列车,列车与铁轨上表面接触的车轮半径为,且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触,若该列车行驶了距离,则此时到铁轨上表面的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】针对实际问题建模转化为圆的弧长与圆心角、半径之间的关系,就圆心角的范围进行分类,借助于直角三角形计算即得.【详解】当列车行驶的距离为时,则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为,车轮转过的角度为点的初始位置为,设车轮的中心为,当时,作,垂足为,如图,则到铁轨表面的距离为;当时,,作,垂足为,如图,则,到铁轨表面的距离为;当在其它范围均可得到,点到铁轨上表面的距离为.故选:B.7.若,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得,构造函数,利用导数求出函数的最值,作出函数的图象,结合图象即可得解.【详解】由,可得,所以,故,所以,令,则,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,即,所以,当且仅当时取等号,如图,作出函数的图象,由图可知,可知.故选:A.8.数列的前项和,且,若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把适度放缩,求出前项和的范围,再进行判断.【详解】由已知得:,又,故当且时,,所以.故选:D【点睛】方法点睛:数列的前项和没法求,再者本题求的是前项和的取值范围,所以要想到对数列要适度放缩,然后求和.二.多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.下列结论正确的是()A.若,则B.若,则C.“”是“”成立的充分不必要条件D.若,则【答案】BD【解析】【分析】判断与不等式有关结论的正确与否,一般可考虑以下方法:①取反例说明不成立,②利用不等式性质推理得到命题为真,③通过作差法判断.【详解】对于A项,若取,则,显然A项错误;对于B项,因,又由知,故由不等式的性质易得B项正确;对于C项,当时,满足,但是,故推不出,即“”不是“”成立的充分条件,故C项错误;对于D项,因,先证当时,必有成立.即由可得:,因,有,故,即D项正确.故选:BD.10.已知圆,圆分别是圆与圆上的点,则()A.若圆与圆无公共点,则B.当时,两圆公共弦所在直线方程为C.当时,则斜率的最大值为D.当时,过点作圆两条切线,切点分别为,则不可能等于【答案】BC【解析】【分析】对于A,当两圆内含时即可判断错误;对于B,两圆方程相减即可验算;对于C,画出公切线通过数形结合即可验算;对于D,画出圆两条切线,通过数形结合即可验算.【详解】对于选项A,当两圆内含时,可以无穷大,所以A不正确;当时两圆相交,两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为,所以B为正确选项;对于选项B,当时如图,和为两条内公切线,且,由平面几何知识可知,所以可得,即斜率的最大值为,C选项正确;对于D选项,如图,点P在位置时,点在位置时,所以中间必然有位置使得,故D错误.故选:BC.【点睛】关键点睛:判断CD两选项的关键是准确画出图形,通过数形结合即可顺利得解.11.已知函数,满足有三个不同的实数根,则()A.若,则实数的取值范围是B.过轴正半轴上任意一点仅有一条与函数相切的直线C.D.若成等差数列,则【答案】ABD【解析】【分析】对于A,求导得函数单调性、极值,由此即可判断;对于B,关于点中心对称,由此即可判断;对于C,由展开即可判断;对于D,由结合C选项分析即可判断.【详解】因为,所以在和上单调递增,在上单调递减,且,所以,当有三个不同的实数根时,,故A正确,关于点中心对称,所以在此点处的切线方程为,结合图象可知:当且仅当时,符合题意,所以B正确,由于方程有三个根,所以,展开可知,C不正确;由展开可知,当成等差数列时,所以,在中,令,得,所以,D正确.故选:ABD.12.已知正四面体的棱长为3,下列说法正确的是()A.若点满足,且,则的最小值为B.在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体,则此四面体体积可能为C.若正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面内,且每相邻平行平面间的距离均相等,则此距离为D.点在所在平面内且,则点轨迹的长度为【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量共面的结论可判断是平面上的一点,即可利用勾股定理求解四棱锥的高判断A,根据正四面体与其外接球内切球以及所在的正方体的关系即可求解B,根据面面平行的性质即可求解C,根据球的截面性质即可求解D.【详解】解:如图:对于,因为点满足且,可知点是平面上的一点.又因为正四面体是棱长为3,则三角形外接圆半径满足,故点到平面的距离为,故的最小值为点到平面的距离,即为,A正确;对于B,将正四面体放入到正方体中,则正方体的棱长为,因为正四面体的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积:,而正四面体四个面的面积都是设正四面体的内切球半径为,解得,因为正四面体在正四面体的内部,且可以任意转动,所以最大正四面体外接球直径为,因此最大正四面体外接球也是棱长为的正方体的外接球,所以正四面体的体积最大值为,故B不正确.对于C,在正方体内,过作平面,分别交于点,过作平面,分别交于点,且平面平面,由正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面内,且每相邻平行平面间的距离均相等,其中平面和平面为中间的两个平面,易知为的中点,为的中点,因为正方体是棱长为,所以,所以点到的距离为,所以每相邻平行平面间的距离为,故C正确;对于D选项:建立如图所示的空间直角坐标系,设点,,由可得,化简可得,可知点的轨迹是平面与以点为球心,2为半径的球的截面圆上,,设平面法向量为,则,取则,所以点点到平面的距离为,截面圆的半径为所以截面圆周长为,故选:ACD【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.双曲线的渐近线方程________.【答案】【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【详解】∵双曲线的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为y=±【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想14.已知等差数列的前项和为,则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设公差,由题意得到关于首项和公差的方程组,求解后代入等差数列的前项和公式,配方即得.【详解】设等差数列的公差为,由题意得:解得:,则,因,故当或时,的最小值为.故答案为:.15.已知函数的最小正周期为,且在上单调递减,在上单调递增,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先将函数降幂,由题设求出的值,再根据后续条件,考查所得函数在相应区间上的单调性,比较区间的包含关系计算即得.【详解】由的最小正周期为,得,则,因当时,,此时函数单调递减,即在上单调递减;当时,,此时函数单调递增,即在上单调递增.由题知在上单调递减,在上单调递增,故须使,解得.故答案为:.16.在同一平面直角坐标系中,分别是函数和函数图象上的动点,若对任意,有恒成立,则实数的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由得,令,利用导数求得最大值,并得到,进而利用数形结合法可知,的最小值为圆心到直线的距离减去半径,再求出等号成立的条件,从而得到实数的最大值.【详解】由,整理得,即在圆心,半径为1的半圆上.,令,则,又,所以,当时,,则为单调递增,当时,,则为单调递减,综上可知,在处取得极大值,也是最大值,即,于是,即,当且仅当时,等号成立,所以曲线的一条切线为,数形结合可知,当分别为对应切点,且与两切线垂直时取得最小值,即的最小值为圆心到直线的距离减去半径,即的最小值为.过圆心与垂直的直线方程,所以,当且仅当即时等号成立.综上所述,,而恒成立,所以,则的最大值为.故答案为:.【点睛】1.利用导数求取值范围时,当函数中同时出现与,通常使用同构来进行求解,本题变型得到,从而构造进行求解.2.在求圆上的动点到另一个曲线上的动点距离最值问题时,通常转化为圆心到曲线上的动点距离最值问题,进而进行求解.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知数列的前项和满足.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】17.;18.【解析】【分析】(1)根据前项和公式求通项公式,先确定,再求.(2)用错位相减求和法求数列的前项和.【小问1详解】由已知:当时两式相减可得:,,又时,满足上式,所以,.,,又时,满足上式,则;【小问2详解】由(1)可得:,则,即,两式相减可得:,即.18.在9道试题中有4道代数题和5道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.(1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率;(2)若抽4次,抽到道代数题,求随机变量的分布列和期望.【答案】(1);(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)利用条件概率的公式求解或者利用缩小事件空间的方法求解;(2)先确定的所有取值,求出各自的概率,写出分布列,利用期望的公式可得期望.【小问1详解】(1)记表示事件“第次抽到代数题”,.方法一:由条件概率公式可得.所以第一次抽到几何题的条件下,第二次抽到代数题的概率为;方法二:已知第一次抽到几何题,这时还剩余代数题和几何题各四道,因此).【小问2详解】由题意,随机变量的可能取值为:;,,.的分布列为01234所以.19.已知函数,.(1)求的单调区间;(2)当时,与有公切线,求实数的取值范围.【答案】19.答案见解析20.【解析】【分析】(1)根据题意,求得,分类讨论,即可求得函数的单调区间;(2)设公切线与和的切点分别为,根据导数的几何意义求得切线方程,转化为,设,利用导数求得函数的单调性与极值,得出函数的值域,即可求解.【小问1详解】解:由函数,可得,当时,可得时,,单调递减,时,,单调递增;当时,可得时,,单调递增,时,,单调递减.【小问2详解】解:设公切线与和的切点分别为,可得,可得切线方程为,即,即由,可得,则,所以切线方程为所以,可得,设,可得,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以,当时,函数取得极大值,极大值为,又由当时,;当时,,所以,所以时,即实数的取值范围为.【点睛】方法策略:利用导数研究参数问题的求解策略:1、分离参数法:根据不等式的基本性质将参数分离出来,得到一端是参数,一端是变量的表达式的不等式,转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题,进而求得参数的范围;2、构造函数法:根据不等式的恒成立,构造新函数,利用导数求得新函数的单调性,求出函数的最值(值域),进而得出相应的含参数的不等式,从而求解参数的取值范围;3、图象法:画出不等式对应的函数的图象,结合函数图象的走势规律,确定函数的极值点或最值点的位置,进而求得参数的取值范围.20.如图,在棱长为的正方体中,点是正方体的中心,将四棱锥绕直线逆时针旋转后,得到四棱锥.(1)若,求证:平面平面;(2)是否存在,使得直线平面,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)当时,推导出二面角为直角,结合面面垂直的定义可证得结论成立;(2)假设存在,使得直线平面,以为原点,分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,将的坐标用的表达式表示,设,可得出关于、的方程组,解之可得出结论.【小问1详解】证明:若,则平面、平面为同一个平面.连接、,则是中点,是中点,所以平面与平面重合,平面与平面重合,由正方体性质可知平面,因为、平面,所以,,,为二面角的平面角,因为,,则,同理可得,所以,所以,平面平面【小问2详解】解:假设存在,使得直线平面,以为原点,分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、,故、,设平面的法向量为,则,取,得是平面的一个法向量,取的中点,的中点,连接、,则,因为,则,同理可知,,因为,,,则四边形为矩形,所以,,于是是二面角平面角,是二面角的平面角,是二面角的平面角.于是,因为,,,因为,则,所以,因为,,,、

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