备战2025年高考二轮复习数学专题突破练5

专题突破练(分值:60分)学生用书P1431.(13分)(2024·浙江杭州模拟)设函数f(x)=(x-1)2ex-ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)零点的个数.解(1)由题意可得f'(x)=(x2-1)ex-a.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b,所以f'(0(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex(x-1)2-xex,令g(x)=(x-1)2-xex,则f(x)的零点个数就是g(x)的零点个数.由于g'(x)=(x-1)2+1ex,所以当x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.又g(0)=1>0,g(1)=-1e<0,g(2)=1-2e2>0,所以g(0)g(1)<0,g(1)g(2)<0,由零点存在定理可得,∃x1∈(0,1),使得g(x1)=0,∃x22.(15分)已知函数f(x)=alnx-2x.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点,求实数a的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=2lnx-2x,该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-1x,又f(1)=-2,f'(1)=1,因此,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+2=x-1,即x-y-(2)①当a≤0时,f'(x)=ax-则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;②当a>0时,由f(x)=alnx-2x=0可得2a=lnxx,令g(x)=lnxx,其中x>0,则直线y=2a与曲线y=g(x)的图象在(0,16]上有两个交点,g'(x)=xx-lnx2xx=2-lnx2xx,令g'(xx(0,e2)e2(e2,16]g'(x)+0-g(x)单调递增极大值单调递减所以函数g(x)在区间(0,16]上的极大值为g(e2)=2e,且g(16)=ln2,作出g(x)的图象如图所示由图可知,当ln2≤2a即e<a≤2ln2时,直线y=2a与曲线y=g(x)的图象在(0,16]上有两个交点,即f(x)在(0,16]上有两个零点,因此,实数a的取值范围是e,2ln23.(15分)(2024·湖北黄石三模)已知函数f(x)=x-lnx+m有两个零点x1,x2.(1)求实数m的取值范围;(2)如果x1<x2≤2x1,求此时m的取值范围.解(1)令f(x)=0,即m=lnx-x,令g(x)=lnx-x,则g'(x)=1x-1=1-xx,当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又g(1)=-1,且x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-∞,又y=g(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以,实数m的取值范围是(-∞(2)由(1)可得m=lnx1-x1,m=lnx2-x2,又0<x1<1<x2≤2x1,所以lnx1-x1=lnx2-x2,即lnx2x1=x2-x1,令t=x2x1,t∈(1,2],则lnt=(t-1)x1,所以x1=lntt-1,x2=tlntt-1,记h(t)=lntt-1,t∈(1,2],则h'(t)=1-1t-lnt(t-1)2,令H(t)=1-1t-lnt,t∈(1,2],则H'(t)=1t2-1t=1-tt2,所以,当t∈(1,2]时,H'(t)<0,即H(t)单调递减,由于H(1)=0,所以当t∈(1,2]时,H(t)<0,所以h'(t)=1-1t-lnt(t-1)2<0,所以函数h(t)在区间(1,2]上单调递减,故x1=h(t)≥h(2)=ln2,即ln2≤x1<1,而m=g(x4.(17分)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)=exsinx(e是自然对数的底数).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)记g(x)=f(x)-ax,若0<a<3,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.(参考数据:eπ2≈4解(1)f(x)=exsinx,定义域为R.f'(x)=ex(sinx+cosx)=2exsinx+令f'(x)<0,解得sinx+π解得2kπ+3π4<x<7π4+2kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递减区间为3π4(2)由已知g(x)=exsinx-ax,∴g'(x)=ex(sinx+cosx)-a.令h(x)=g'(x),则h'(x)=2excosx.∵x∈(0,π),∴当x∈0,π2时,h'(x当x∈π2,π时,h'(x∴h(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减,即g'(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减.∵g'(0)=①当1-a≥0,即0<a≤1时,g'(0)≥0,∴g'π2>0.∴∃x0∈π2,π,使得g'(x∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.∵g(0)=0,∴g(x0)>0.又g(π)=-aπ<0,∴由零点存在定理可得,此时g(x)在(0,π)上仅有一个零点.②当1<a<3时,g'(0)=1-a<0,∵g'(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减∴∃x1∈0,π2,x2∈π2,π,使得g'(x1)=0,g'且当x∈(0,x1),x∈(x2,π)时,g'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.∵g(0)=0,∴g(x1)<0.∵gπ2=eπ2-π2a>eπ