2025版一轮高考总复习数学第十章　第二节　用样本的数字特征估计总体

第二节用样本的数字特征估计总体1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义.3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.1.总体百分位数的估计（1）百分位数定义意义百分位数一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点（2）求一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步：按从小到大排列原始数据；第2步：计算i＝；第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.2.总体集中趋势的估计（1）平均数：①若一组数据为x1，x2，…，xn，则该组数据的平均数x＝；②加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个.不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则加权平均数为y＝1N∑i=1k③分层随机抽样的平均数：若一组数据是由分层随机抽样所得到的，其中第一层抽取m个，即x1，x2，…，xm，平均数为x，第二层抽取n个，即y1，y2，…，yn，平均数为y，则x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数w＝.（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）众数：一组数据中出现次数的数据叫做这组数据的众数.提醒（1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体现了样本数据的最大集中点，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、众数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感.3.总体离散程度的估计（1）假设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则：①标准差s＝1n②方差s2＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]（2）分层随机抽样的方差分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2，其中第一层抽取m个数据的平均数为x，方差为s12，第二层抽取n个数据的平均数为y，方差为s22，则该组数据的方差s2＝1m＋n{m[s12＋（x－w）2]＋n[s1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（）（2）方差与标准差具有相同的单位.（）（3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（）2.为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为（）A.8 B.9C.8.5 D.9.53.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.4.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，根据每人每次命中的环数计算得x甲＝x乙＝7.1，s甲2＝3.09，s1.频率分布直方图中的常见结论（1）众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.2.平均数、方差的公式推广若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a，方差为m2s2.1.（多选）如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则下列说法正确的是（）A.图中的x的值为0.018B.该班50名学生期中考试数学成绩的众数是75C.该班50名学生期中考试数学成绩的中位数是72D.该班50名学生期中考试数学成绩的平均数是752.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是，方差是.总体百分位数的估计【例1】（1）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为，第86百分位数为；（2）将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是.（结果保留两位小数）听课记录解题技法1.总体百分位数的估计需要注意的两个问题（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.2.由频率分布直方图求第p百分位数的方法确定要求的p%分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×p%1.如图所示的是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是（）A.－2 B.0C.1 D.22.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（）A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数总体集中趋势的估计【例2】（1）某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的环数分别为9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A.a＞b＞c B.c＞a＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a（2）（多选）某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中第三组的频数为10 B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分听课记录解题技法求众数、中位数、平均数的方法（1）众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据出现的次数最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；（2）中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数据就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；（3）平均数：利用x＝1n∑i=11.某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的极差、众数和中位数分别是（）环数5678910人数127631A.6，7，7 B.6，8，7.5C.5，7，7.5 D.5，8，62.将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取个个体；若A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20，则样本的平均数为.总体离散程度的估计考向1方差与标准差【例3】（2023·全国乙卷17题）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…，10），试验结果如下：试验序号i12345伸缩率xi545533551522575伸缩率yi536527543530560试验序号i678910伸缩率xi544541568596548伸缩率yi533522550576536记zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.（1）求z，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，解题技法标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小.考向2分层随机抽样的方差与标准差【例4】某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数为，方差为.听课记录解题技法计算分层随机抽样的方差的步骤（1）确定x，y，s12，（2）确定w；（3）应用公式s2＝mm＋n[s12＋（x－w）2]＋nm＋n[s22＋（1.（2024·苏州模拟）样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均数为1，则其方差为（）A.105 B.C.2 D.22.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考的体育成绩，并计