试卷解析：广东X侨中学、广州协X中学、增X中学2024届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

2023学年第一学期三校联考高三数学试题2024年1月命题：广东XX中学高三数学备课组审题人：高三数学备课组试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合中元素范围，进而可求交集.【详解】，又，则.故选：C.2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】设，代入，化简后求得的虚部.【详解】设，代入，即，所以，解得，所以的虚部为.故选：D3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】.故选：A4.设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（）A.B.C.15D.31【答案】D【解析】【分析】求得等比数列的公比，从而求得.【详解】设等比数列的公比为，，当时，，，所以.所以，，由于且，所以，则，所以，所以.故选：D5.若，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式来说明满足充分性，举反例来说明不满足必要性.【详解】当时，因为，，所以，即可以推出，充分性成立；当时，比如取，此时有，但，所以当时，不能推出，必要性不成立；故是的充分不必要条件.故选：A6.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键.其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（）A.150种B.210种C.240种D.540种【答案】B【解析】【分析】根据年学完或年学完进行分类讨论，结合组合数、排列数的计算求得正确答案.【详解】若年学完，，则选修方式有种.若年学完，①时，则选修方式有种.②时，种.所以总的方法数有种.故选：B7.已知双曲线：，的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、弦长公式列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】圆的圆心为，半径为，令，，解得或，所以直线与圆相交所得弦长为，所以双曲线的渐近线与相交所得弦长，到直线的距离，所以，，整理的，所以双曲线的离心率为.故选：A8.已知定义在上的函数满足，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（）A.25B.15C.50D.30【答案】C【解析】【分析】依题意，可得函数为上的偶函数，且关于对称的周期为2的周期函数，画出函数在内的图像，从而可解.【详解】由题意，，即，可知函数为上的奇函数，函数为上的偶函数，又对于都有，函数关于对称，所以，则，则所以函数为周期为2的周期函数，当时，，则，所以当时，，由此可作出函数在内的图像，如图所示：由，可得，由图像可知与在内有10个交点，设交点横坐标从左到右依次为，由对称性可知，又由周期性可知,所以函数在内所有的零点之和为.故选：C【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.若事件和事件互斥，B.若变量服从，，则C.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8D.若，，，则【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件、正态分布、百分位数、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若事件和事件互斥，，所以A选项错误.B选项，若变量服从，，则，所以B选项正确.C选项，成绩排序为：，，所以第70百分位数为，所以C选项错误.D选项，若，，，所以，所以D选项正确.故选：BD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.最小正周期为B.函数在区间内有6个零点C.的图象关于点对称D.将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为【答案】AD【解析】【分析】首先化简得，对于A：直接用周期公式求解；对于B：求出的范围，然后结合的图象得零点个数；对于C：直接计算的值即可判断；对于D：求出，结合图象来列不等式求解.【详解】，对于A：，A正确；对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误；对于C：，故点不是的对称中心，C错误；对于D：由已知，当时，，因为在上的最大值为，所以，解得，D正确.故选：AD.11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（）AB.既是三角形数，又是正方形数C.D.，，总存在，使得成立【答案】ACD【解析】【分析】先求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由图可知：，.A选项，，所以A选项正确.B选项，由于无正整数解，所以不是三角形数，B选项错误.C选项，，，所以C选项正确.D选项，取，则，即，所以，，总存在，使得成立，D选项正确.故选：ACD12.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，，则（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相切C.设是一个定点，则的最小值为D.过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条【答案】ABC【解析】【分析】根据抛物线的定义、弦长、最值、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】抛物线：的，焦点，准线方程为.依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，则，过作，垂足为；过作，垂足为；过作，垂足为，设是的中点，过作，垂足为，A选项，若，则，A选项正确B选项，由于是的中点，所以，即所以，而，所以，所以以为直径的圆与准线相切，所以B选项正确.C选项，，，当是与抛物线的交点时等号成立，所以C选项正确.D选项，过点的直线与抛物线只有个交点，当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，由消去并化简得，，所以方程组有两个不同的解，所以D选项错误.故选：ABC【点睛】求解直线和抛物线相交所得弦长问题，要注意对直线是否过焦点进行判断，因为直线过焦点时，抛物线的弦长公式较为简单.求解直线和抛物线相交的交点个数问题，可以设出直线方程，联立方程后，利用判别式来进行判断.第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_______.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中的项为：，所以展开式中的系数为.故答案：14.已知，，且，则在上的投影向量为_______.【答案】【解析】【分析】利用平方的方法求得，进而求得投影向量.【详解】由两边平方得，，所以在上的投影向量为.故答案为：15.曲线与曲线的公切线方程是_______.【答案】【解析】【分析】设出其中一个切点坐标，求得切线方程，利用切线的斜率相等建立等量关系式，从而求得正确答案.【详解】设是曲线的一点，，所以曲线在点处的切线方程为.对于曲线，令，解得，所以切线与曲线相切与点，则，整理得，解得，所以公切线方程为，即故答案为：16.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为________.【答案】①.②.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.【详解】分别以为轴建系，设，而,,，,.由，有，化简得对应的轨迹方程为.所以点对应的轨迹的面积是.易得的三个边，即是边长为的等边三角形，其面积为，，设平面的一个法向量为，则有，可取平面的一个法向量为，根据点的轨迹，可设，，所以点到平面的距离：，所以故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理变形整理可得答案；（2）先利用面积公式求，再利用余弦定理求，则面积可求.【小问1详解】因为，又，所以，整理得，即，因为，所以，所以，则；【小问2详解】由（1）得，得，所以，所以，所以的周长为.18.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，.（1）求数列，的通项公式.（2）对任意的正整数，，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得数列的公差、数列的公比，从而求得.（2）利用裂项求和法、分组求和法求得正确答案.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，所以.【小问2详解】，数列的前项和为.19.已知三棱锥，，为等边三角形，，为等腰直角三角形，其中.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明详见解析（2）【解析】【分析】（1）设是的中点，通过证明平面来证得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】设是的中点，连接，则，，为等腰直角三角形，，，，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）可知，两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于三棱锥和的体积比为，所以，，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，所以.20.某平台为了解当代大学生对“网络公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.为了调查当代大学生对④、⑥、⑧、⑩四道选答题的答题情况，从同济大学在④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道人数20303020（1）学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：（规定同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人）性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性30女性7总计100请完成上述2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关.（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的数学期望；参考公式：，其中.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，“公序良俗”达人与性别有关（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件补全列联表，计算的值从而得出正确答案.（2）根据古典概型以及组合数公式求得的分布列并求得数学期望.【小问1详解】这100位学生中，“公序良俗”达人有人，由此补全列联表如下：性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性女性总计，所以“公序良俗”达人与性别有关.【小问2详解】的可能有，，，，，所以的分布列如下：所以数学期望为.21.已知点N在曲线C：上，O为坐标原点，若点M满足，记动点M的轨迹为.（1）求的方程；（2）设C，D是上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，根据，把M点的坐标用N点的坐标表示，再代入曲线即可得解；（2）由已知可得，验证当C、D为椭圆顶点情况，当C、D不是椭圆顶点时，可得直线OC的斜率存在且不等于零，可设直线OC的方程为，则直线OD的方程为，求出.的值，代入化简即可.【小问1详解】（1）设，因为点N在曲线上，所以，因为，所以，代入可得，即，即的方程为；【小问2详解】因为以为直径的圆经过点O，所以，当C、D为椭圆顶点时，当C、D不是椭圆顶点时，可得直线OC的斜率存在且不等于零，可设直线OC的方程为，则直线OD的方程为，由，得，所以同理可得，，，所以综上，为定值.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：