备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练4

规范练4(分值:43分)学生用书P2311.(13分)已知向量m=(cosx,-sinx),n=(cosx,sinx-23cosx),x∈R.设f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.解(1)由题意得f(x)=cos2x-sinx(sinx-23cosx)=cos2x-sin2x+23sinxcosx=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π令2kπ-π2<2x+π6<2kπ+π2,k则kπ-π3<x<kπ+π6,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为(kπ-π3,kπ+π6),(2)由题意得2sin(2∠BAC+π6)=1因为0<∠BAC<π,所以π6<2∠BAC+π即2∠BAC+π6=5π6在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即6=4+AC2-2AC,解得AC=3+1.因为∠BAC的平分线交BC于点D,所以S△BAD+S△CAD=S△ABC,所以12AB·AD·sinπ6+12AC·AD·sinπ6所以12AD+3+14解得AD=2.2.(15分)(2024·河北张家口三模)已知函数f(x)=lnx+5x-4.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:f(x)>-35x-(1)解由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=1x+5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=6又f(1)=ln1+5-4=1,所以切线方程为y-1=6(x-1),即6x-y-5=0.(2)证明由f(x)>-35x-2,得xlnx+5x2-2x>-35,令g(x)=xlnx+5x2-2x,x>0,则g'(x)=lnx+10因为g'(e-2)=lne-2+10×e-2-1=10e2-3<0,且g'(14)=ln14+10×14-1=32-ln4=12(ln所以存在x0∈(e-2,14),使得g'(x0)=lnx0+10x0-1=0,即lnx0=1-10x0易知g'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以,当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)在区间(0,x0)上单调递减;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.所以当x=x0时,g(x)取得最小值.g(x0)=x0lnx0+5x02-2x0=x0(1-10x0)+5x02-2x0=-5由二次函数性质可知,g(x0)=-5x02-x0在区间e-2,14上单调递减所以g(x0)>g14=-916>-35即g(x)=xlnx+5x2-2x>-35所以f(x)>-35x-3.(15分)(2024·河北石家庄模拟)如图,在五棱锥S-ABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.(1)证明:SE⊥平面AED;(2)若四边形ABCD为矩形,且SE=AB=1,AD=3,BN=2NC.当直线DN与平面SAD所成的角最小时,求三棱锥D-SAE的体积(1)证明因为平面SAE⊥平面AED,DE⊥EA,DE⊂平面AED,平面SAE∩平面AED=AE,所以DE⊥平面SAE.又SE⊂平面SAE,所以DE⊥SE.又因为SE⊥AD,ED∩AD=D,且AD,DE⊂平面AED,所以SE⊥平面AED.(2)解以E为坐标原点,分别以EA,ED,ES所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设∠EAD=θ,θ∈0,π2,则A(3cosθ,0,0),D(0,3sinθ,0),S(0,0,1).因为四边形ABCD为矩形,所以直线CD与y轴夹角为θ,且CD=AB=1,所以DC=(sinθ,cosθ,0),CN=13DA=(cosθ,-sinθ,0),DN=DC+CN=(sinθ+cosθ,cosθ-sinθ,0),SA=(3cosθ,0,-1),SD设平面SAD的法向量为n=(x,y,z),由n令z=3sinθcosθ,得n=(sinθ,cosθ,3sinθcosθ),则|