备战2025年高考二轮复习数学题型专项练7　中低档大题规范练(a)

题型专项练7中低档大题规范练(A)(分值:43分)学生用书P2271.(13分)(2024安徽淮北二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2A2(1)试判断△ABC的形状;(2)若c=1,求△ABC的周长的最大值.解(1)由c-b=2csin2A2=2c·1-cosA2,解得cosA=bc,又由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc,联立可得a(2)由(1)知,△ABC是直角三角形,C=π2若c=1,则a=sinA,b=cosA,所以△ABC的周长为1+sinA+cosA=1+2sinA+π4,因为A∈0,π2,所以A+π4∈π4,3π4,所以sinA+π4∈22,1当A=π4时,△ABC的周长取最大值,为2+12.(15分)(2024山东潍坊一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,C分别是椭圆E的左顶点、上顶点,|AC|=(1)求椭圆E的方程和离心率;(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆E于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3,求k的值.解(1)由题意得A(-a,0),C(0,b),|AC|=a2+b2=5,2c=23,又a2=b2+c2,联立解得c=3,a=2,b=1,所以椭圆E的方程为x24(2)如图,由(1)知C(0,1),设直线RS的方程为x=my+1(m≠0),则k=1m,联立x24+y2=1,x=my+1,整理可得(4+m2)y2+2my-3=0,Δ=(2m)2设R(x1,y1),S(x2,y2)(x1x2≠0),则y1+y2=-2m4+m2,y1y2=-34+m2,直线CR,CS的斜率k1=y1-1x1,k2=y2-1x2,则k1+k2=y1-13.(15分)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若DE=λDB(0<λ<1),当二面角E-AM-D大小为π3时,求λ的值(1)证明取AM的中点O,AB的中点N,连接OD,ON,∵M为CD的中点,且CD=AB=2,∴DM=1,又AD=1,O为AM的中点,∴OD⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,OD⊂平面ADM,∴OD⊥平面ABCM.∵ON⊂平面ABCM,∴OD⊥ON.∵AM=BM=2,AB=2,∴AB2=AM2+BM2,∴AM⊥BM.∵O为AM的中点,N为AB的中点,∴ON∥BM,∴ON⊥AM.以O为原点,OA,ON,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A22,0,0,B-22,2,0,M-22,0,0,D0,0,22,AD=-22,0,22,BM=(0,-2,0),∵AD·BM=0,∴AD(2)解若DE=λDB(0<λ<1),则xE,yE,zE-22=λ-22,2,-22∴点E的坐标为-22λ,2λ,22-22λ(其中∴AE=-22λ-22,2λ,2设平面AME的法向量为n2=(x,y,z),AM=(-2,0,0),则n即-取y=λ-1,则n2=(0,λ-1,2λ).由(1)易得平面ADM的法向量可以取n1=(0,1,0),∵二面角