2025版一轮高考总复习数学第十章教考衔接10⇒过“三关”破解概率与统计的综合问题

过“三关”破解概率与统计的综合问题真题展示【例】（2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值.考法探究在新高考改革的大背景下，高考愈加突出情境创设，注重数学的实际应用及逻辑性，概率与统计的命题方向及考点也更加贴近现实生活以及对学生创新思维能力的考查，这就对学生的学习和教师的教学提出了更高的要求.基于此种命题特点，在概率与统计的学习中，就要求学生在掌握基础知识的同时，更加注重对阅读理解能力、图表信息转化能力、计算能力的培养.过“三关”破解概率与统计的综合问题1.过“阅读理解关”——抓关键语句，厘清问题实质关键语句问题实质漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）在患病者中，如果指标≤c，本来患病的人漏诊为阴性误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）在未患病者中，如果指标＞c，本来未患病的人误诊为患病2.过“图表关”——获取信息，数学符号转化图表信息数学符号转化样本在指标为[95，130]区间内的分布情况，对不同的指标c∈[95，130]，都能计算出漏诊率p（c），c的取值直接影响p（c）的值样本在指标为[70，105]区间内的分布情况，对不同的指标c∈[70，105]，都能计算出误诊率q（c），c的取值直接影响q（c）的值3.过“计算关”——构建模型，解决问题问题问题求解当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）由以上“两关”分析易知，（100－95）×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，则p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5%，所以c＝97.5，所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5%设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式当c∈[95，100]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝（c－95）×0.002＋（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82；当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）＋q（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＋（105－c）×0.002＝0.01c－0.98求f（c）在区间[95，105]的最小值由函数f（c）为分段函数，其在[95，100]上单调递减，在（100，105]上单调递增，易知f（c）在c＝100时取得最小值，最小值f（100）＝0.02高考还可这样考自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以享受相应的高考降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分“一流大学”建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校2019年至2023年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：年份数学物理化学总计201947617202058518202169520202287621202398623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总人数和年份间有较强的线性相关关系.记x为当年年份与2018的差，y为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程，并以此预测2024年数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2021年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从这20名学生中随机选取3名学生进行评审，记选取到数学专业的学生人数为X，求随机变量X的数学期望E（X）；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占76%，五年毕业的占16%，六年毕业的占8