2025版一轮高考总复习数学第九章第四节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义；结合古典概型，利用独立性计算概率、了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.1.相互独立事件（1）概念：对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立；（2）相互独立事件的概率公式的推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.2.条件概率（1）概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率；（2）两个公式①利用古典概型：P（B｜A）＝；②概率的乘法公式：P（AB）＝.提醒P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P（B）＝P（B｜A）.（3）性质①P（Ω｜A）＝1；②如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）；③设B和B互为对立事件，则P（B｜A）＝1－P（B｜A）.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝，我们称上面的公式为全概率公式.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）·P（B）都成立.（）（2）抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立.（）（3）若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.（）2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.9，则两人都中靶的概率为（）A.0.26 B.0.98C.0.72 D.0.93.夏季里，某天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的这一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为A.112 B.1C.23 D.4.已知P（A）＝58，P（B｜A）＝35，P（B｜A）＝13，则P（B）5.已知m是一个三位正整数，若m的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称m为递增数.已知a，b，c∈{0，1，2，3，4}，设事件A＝“由a，b，c组成三位正整数”，事件B＝“由a，b，c组成的三位正整数为递增数”，则P（B｜A）＝.1.若事件A和B是相互独立事件，则A和B、A和B、A和B也是相互独立事件.2.事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立.3.已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B｜A）＝P（B），则P（A｜B）＝P（A）.1.一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（）A.E与F不是互斥事件 B.F与G是对立事件C.E与F是相互独立事件 D.F与G是相互独立事件2.（2024·烟台一模）已知P（B｜A）＝P（B）且P（A）＝23，则P（A｜B）＝相互独立事件考向1相互独立事件的判断【例1】（2021·新高考Ⅰ卷8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立听课记录解题技法判断两个事件是否相互独立的方法（1）定量法：利用P（AB）＝P（A）P（B）是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立；（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件.考向2相互独立事件的概率【例2】在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14（1）求乙答对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解题技法1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）确定各事件是相互独立的；（2）确定各事件会同时发生；（3）求每个事件发生的概率，再用公式求解.2.与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P（AB）＝P（A）P（B）A，B同时不发生P（AB）＝P（A）P（B）＝[1－P（A）][1－P（BA，B至少有一个不发生P＝1－P（AB）＝1－P（A）·P（B）A，B至少有一个发生P＝1－P（AB）＝1－P（A）·P（BA，B恰有一个发生P＝P（AB＋AB）＝P（A）·P（B）＋P（A）P（B）1.设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（）A.若M，N为互斥事件，且P（M）＝15，P（N）＝14，则P（M∪N）B.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝16，则事件MC.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝16，则事件MD.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝23，则事件2.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（）A.0.11 B.0.21C.0.31 D.0.41条件概率【例3】（1）（2023·全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A.0.8 B.0.6C.0.5 D.0.4（2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为.听课记录解题技法求条件概率的常用方法（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝P（（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝n（1.某射击选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是（A.25 B.C.12 D.2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为.全概率公式【例4】（1）（2024·威海质检）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为；（2）（选择性必修第三册第50页例4改编）某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为.听课记录解题技法应用全概率公式求概率的思路（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式计算.1.（2024·六盘水第一次模考）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧