《工程力学》课件第7章

第7章梁的强度

7.1引言7.2梁的内力及正负号规定7.3内力方程与内力图7.4弯矩、剪力及载荷集度之间的关系7.5与应力分析相关的截面图形的几何性质7.6梁横截面上的正应力7.7梁的弯曲正应力强度7.8提高梁的强度的措施7.1引言杆件在通过轴线的平面内受到垂直于轴线的横向力或力偶作用时，轴线由直变弯，即发生弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。工程中存在大量的弯曲问题，如桥式起重机的大梁(图7.1(a))、火车轮轴(图7.1(b))、石油化工设备中的直立塔(图7.1(c))等。实际的梁结构比较复杂，为了便于分析和计算，必须对梁的几何形状、支座、载荷等进行简化。梁的截面形状有矩形、圆形、T形、工字形、槽形等，都可视为直杆并以轴线表示；梁的支座有固定铰、活动铰、固定端等；载荷有集中力、集中力偶、分布力等。梁的力学模型分为三种：简支梁、外伸梁和悬臂梁(图7.1)。上述梁均为静定梁，若增加支座数，则成为超静定梁。若将几个单个梁连在一起，则成为组合梁。图7.1大多数情况下，梁都有一个纵向对称面，如图7.2所示。当所有外力都作用在该平面内时，梁的轴线也在该平面内弯曲成一条平面曲线，这就是平面弯曲。本章主要讨论平面弯曲问题。图7.27.2梁的内力及正负号规定梁的内力可由截面法确定。对图7.3(a)所示悬臂梁，从任意横截面m—m处断开，研究左半部分(图7.3(b))。图7.3由平衡条件知，横截面上的内力可向截面形心简化为一个力Fs和一个力偶M，且有Fs=F

M=Fx其中Fs称为剪力，M称为弯矩。当梁受力比较复杂时，截面上剪力和弯矩的方向或转向事先难以确定。为方便起见，常作如下正负号规定：剪力Fs：截面外法线顺时针转过90°与剪力Fs方向一致时为正向，反之为负，如图7.4所示，亦可简称为“左上右下”为正。弯矩M：使梁段向上弯者为正向，反之为负，如图7.5所示，亦可简称为“左顺右逆”为正。图7.4图7.57.3内力方程与内力图一般情况下，不同截面上的剪力和弯矩均不相同。剪力和弯矩都可表示为截面坐标x的函数，即Fs=Fs(x)M=M(x)分别称为剪力方程和弯矩方程。受载荷和支座的影响，梁全长上的剪力和弯矩通常都不能用一个函数表示，而只能是分段函数。由受力图可知，集中力作用点、集中力偶作用点、分布力左右边界点两侧截面截得的分离体包含的载荷或支座反力不同，所以这些点均为分段点。每相邻两分段点之间称为一个力区。为了观察剪力和弯矩沿梁长度方向的变化情况并确定最大剪力和最大弯矩，可以作出剪力方程和弯矩方程的函数图像，分别称为剪力图和弯矩图。下面举例说明梁在不同载荷作用下内力方程的求解及内力图的特点。

【例7.1】图7.6(a)所示简支梁受集中力F作用。试写出剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。图7.6

解(1)求支座反力。

(2)建立剪力方程和弯矩方程。对AC段(图7.6(b)，0≤x≤a)：对CB段(图7.6(c)，a≤x≤l)：

(3)作Fs和M图。剪力图和弯矩图分别如图7.6(d)、7.6(e)所示。|Fs|max=

F(设a<b)，发生在

AC段；|M|max=

F，发生在C处。通过该题可以发现，内力图有以下特点：在集中力作用处，Fs图有突跳(即左、右侧剪力不同)，M图为尖点(即两段直线相交，左右侧弯矩相同)。

【例7.2】图7.7(a)所示简支梁受集中力偶作用。试写出剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。图7.7

解

(1)求支座反力。

(2)建立剪力方程和弯矩方程。对AC段(图7.7(b)，0≤x≤a)：对CB段(图7.7(c)，a≤x≤l)：

(3)作Fs和M图。剪力图和弯矩图分别如图7.7(d)、7.7(e)所示。|Fs|max=

,发生在梁全长段；|M|max=

m(设a<b),发生在C处右侧。通过该题可以发现，内力图有以下特点：在集中力偶作用处，Fs图无变化，M图有突跳(即左、右侧弯矩不同)。

【例7.3】图7.8(a)所示简支梁局部受均布力作用。试写出剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。图7.8

解

(1)求支座反力。RA=RB=qa

(2)建立剪力方程和弯矩方程。该梁应分为三段，即AC、CD、DB段。对AC段(图7.8(b)，0≤x≤a)：Fs=RA=qa，M=RAx=qax对CD段(图7.8(c)，a≤x≤3a)：Fs=RA－q(x－a)=2qa－qx

M=RAx－q(x－a)·

对DB段(图7.8(d)，3a≤x≤4a):Fs=RB－q·2a=－qaM=RBx－q·2a·(a+x－3a)=qa(4a－x)

(3)作Fs图和M图。剪力图和弯矩图分别如图7.8(e)、7.8(f)所示。|Fs|max=qa,

发生在C、D处；|M|max=

qa2，发生在中点处。通过该题可以发现，内力图有以下特点：在均布力左右边界处，Fs图为尖点(即连续但不光滑)，M图连续且光滑。7.4弯矩、剪力及载荷集度之间的关系分析上节三个例题的结果后不难发现，弯矩、剪力和载荷集度之间存在下列关系：这一结论具有普遍性，证明如下。图7.9(a)所示梁受多个载荷作用，力区只有两种，即无分布力和有分布力(无分布力的力区可以视作载荷集度等于零的有分布力的力区)。不妨从分布力作用梁段上截取任一微段dx，受力如图7.9(b)所示。图7.9取图示坐标系，设q(x)向下为正，则平衡方程为：∑Fy=0，Fs(x)－q(x)·dx－［Fs(x)+dFs(x)］=0∑mC=0，q(x)·dx·

+［M(x)+dM(x)］－M(x)－Fs(x)·dx=0略去式中高阶无穷小，得:(7.1)(7.2)由上述两式还可进一步得到:(7.3)以上三式即为弯矩、剪力和载荷集度之间的微分关系。它们表明：

(1)弯矩图某处的斜率等于该处的剪力；

(2)剪力图某处的斜率等于该处的载荷集度负值。根据这些关系和上节中三个例题表明的不同载荷作用下内力图的特点，我们就可以抛开剪力方程、弯矩方程而直接作出剪力图和弯矩图或相互校核，显得尤为方便。剪力图、弯矩图及载荷之间的关系可以用表7.1表示。表7.1剪力图、弯矩图及载荷之间的关系作剪力图和弯矩图的步骤如下：第一步，预知内力图形状(简称定形)。

(1)在无分布力的力区上(即q(x)=0)，剪力图为水平直线(常量)，弯矩图为斜直线(一次函数)。

(2)在均布力作用的力区上(即q=常数)，剪力图为斜直线(一次函数，若q向下，则斜率为负值)，弯矩图为抛物线(二次函数，若q向下，则抛物线开口向下)。第二步，确定内力图的位置(简称定位)。

(1)在集中力作用处，剪力图有突跳。由左向右作图时，突跳方向与力的方向一致，突跳量等于力的大小；M图为尖点(连续不光滑)。

(2)在集中力偶作用处，剪力图无变化(按原直线延伸)；M图有突跳，由左向右作图时，遇逆时针力偶时向下突跳，突跳量等于力偶矩的大小。以上两个步骤(定形、定位)是作梁的剪力图和弯矩图的一般过程，应牢记并熟练掌握。由于积分和微分互为逆运算，因此式(7.1)、(7.2)还可表示为积分形式：(7.4)(7.5)由图7.10可以说明：某两个截面的弯矩之差等于两个截面之间剪力图的面积；某两个截面的剪力之差等于两个截面之间载荷图的面积的负值(注意：1、2截面必须位于同一个力区内，面积为代数值)。作内力图时，利用这个关系可以方便地确定某些控制面上的内力。下面举例说明。

【例7.4】图7.11(a)所示简支梁，作Fs图和M图。图7.10图7.11

解

(1)求支座反力。∑mA=0，－1－4×2－2×1×3.5+RB×4=0∑Fy=0，RA－4－2×1+RB=0RA=2kNRB=4kN

(2)分段。

C、D、E为分段点，梁分为AC、CD、DE、EB四段。

(3)作Fs图(图7.11(b))。省去坐标系，画一与梁等长的线段(对齐)，称做基线。A处由基线向上突跳RA，向右画水平线至D处；然后向下突跳4kN，再向右画水平线至E

处；EB段的Fs图为斜直线(B处剪力即为－RB)。

(4)作M图(图7.11(c))。

A、B为铰链，弯矩均为零，AC段的M图为斜直线(斜率等于该处剪力2kN)；C处向上突跳1kN·m，CD段的M图为斜直线(斜率为2kN)；DE段的M图为斜直线(斜率为2kN)；EB段的M图为抛物线(开口向下)，其中D、E处弯矩连续。

【例7.5】图7.12(a)所示外伸梁，作Fs图和M图。图7.12

解

(1)求支座反力。∑mA=0，1.2×1.2－2.5×3×1.5+RB×3=0∑Fy=0，－1.2+RA－2.5×3+RB=0RA=5.43kNRB=3.27kN

(2)分段。梁分为CA、AB两段。

(3)作Fs图。

C处由基线向下突跳1.2kN，向右画水平线至A处；A处向上突跳5.43kN，B处剪力为FsB=－RB=－3.27kN，AB段Fs图为斜直线(由几何关系确定直线与基线交点的位置)。

(4)作M图。

B处为铰链，MB=0；C处为自由端面，MC=0；A处弯矩图为尖点，MA=－1.2×1.2=-1.44kN·m；由式(7.1)知抛物线顶点对应在剪力为零处，在Fs图上用几何关系求出顶点位置，再用截面法或式(7.4)求出M顶=2.14kN·m。

【例7.6】图7.13(a)所示悬臂梁，作Fs图和M图。

解

AB段Fs=0(纯弯曲)，BC段Fs图为斜直线(斜率为－q)；AB段M为常数，MA=qa2，BC段M图为抛物线(开口向下，顶点在B

处)。图7.137.5与应力分析相关的截面图形的几何性质

1.形心和静矩图7.14所示任意平面图形，面积为A。取一坐标系Oxy，在点(x，y)处的微面积为dA，则有下述积分：(7.6)

Sx和Sy分别称为平面图形对x轴和y

轴的静矩。显然，静矩的量纲为［长度］3，其值为一代数值，而且同一图形对不同轴的静矩也不相同。图7.14均质薄板可视为平面图形，其重心也称形心。其形心坐标为(7.7)

【例7.7】求图7.15所示T形截面的形心。

解该图形由两个矩形1、2组合而成，形心分别为C、C1、C2。由于因此，T形图形的形心为xC=xC1=xC2=0yC1=10mm图7.15

2.惯性矩和平行移轴公式在图7.14所示的平面图形中，还有下述积分：(7.8)(7.9)式(7.8)称为平面图形对x轴或y轴的惯性矩，式(7.9)称为平面图形对x

轴和y

轴的惯性积。显然，二者的量纲均为［长度］4，但惯性矩恒为正值而惯性积为代数值。对于矩形和圆环形(图7.16)，利用定义容易求得(请同学们自己求解)：矩形圆环形同一图形对一对平行轴的惯性矩并不相同，但二者之间存在比较简单的关系。图7.17中，C为图形形心，xC和yC是形心轴。图7.16图7.17另取一平行坐标系Oxy，设轴间距分别为a、b(即形心C在Oxy中的坐标)。根据定义：由于x=x′+b，y=y′+a因此式中：dA和dA分别为图形对形心轴的静矩，必然等于零。因此得到：(7.10)同理还有:Ixy=IxCyC+abA

(7.11)这就是平行移轴公式。对例7.7中所示Ｔ形截面，应用平行移轴公式计算对形心轴xC

的惯性矩十分方便:7.6梁横截面上的正应力对图7.18(a)所示的矩形截面纯弯梁，为便于观察表面变形，加载前在梁表面画上若干横向线和纵向线(图7.18(b))。加载后，这些线条的形状或位置发生了以下变化：

(1)横向线仍为直线，但相对转过一个角度dθ。

(2)纵向线变成了弧线，且图7.18根据上述表面变形特点，对梁的内部变形可以由表及里地进行合理假设：

(1)横截面在梁弯曲变形后仍保持为平面(简称平面假设)，只是绕某个轴转过一个角度。

(2)梁由上至下由无数个纵向纤维层组成，梁向上弯时，靠近下方的纤维层受到拉伸，而靠近上方的纤维层受到压缩。纤维层之间没有挤压。据此可以看出，纯弯梁横截面上只能存在正应力σ，而无剪应力τ。而且必定有一个纤维层既不伸长，也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴(图7.18(c))。离中性层越远，拉伸或压缩变形越大，正应力σ也就越大。

1.变形条件距中性层y处的应变为

2．物理条件根据胡克定律得(7.12)(7.13)

3.静力学条件纯弯梁横截面上的内力系的简化结果是一个力偶(即弯矩)，而无轴向力，所以(7.14)(7.15)式(7.14)即

，表明中性轴过截面形心。由式(7.15)得，回代到式(7.13)中，得到梁弯曲正应力计算公式:(7.16)该式表明，弯曲正应力与点到中性轴的距离成正比，如图7.18(d)所示。在截面上、下边缘处，正应力达到最大。对于横力弯曲，精确的理论分析表明，当跨高比l/h＞5时，剪力对正应力的影响很小。因此，式(7.16)同样适用。实际使用时，M和y都取绝对值，根据弯矩的正负及点所处的位置很容易判断σ的正负。7.7梁的弯曲正应力强度由式(7.16)知道，梁的截面上、下边缘处正应力最大,即令Wz=Iz/ymax，称为抗弯截面系数，量纲为[长度]3，则(7.17)对高为h、宽为b的矩形截面:对外径为D、内径为d的圆环截面(α=d/D)：对等截面梁来说，由于弯矩的变化，因此全梁范围内的最大正应力必然发生在弯矩最大的截面(危险截面)的上、下边缘处(危险点)：为了保证梁的强度安全，弯曲正应力强度条件为(7.18)需要指出，梁的强度条件与材料有关。对于塑性材料，由于抗拉和抗压能力相同，因此只要最大正应力(不论拉、压)不超过材料的许用应力即可；而对于脆性材料，由于抗拉能力低，抗压能力高，因此要求最大拉应力和最大压应力都应不超过对应的许用应力。而且，当中性轴为非对称轴时，最大正弯矩截面或最大负弯矩截面都有可能成为危险截面。

【例7.8】图7.19所示矩形截面梁，材料为钢，[σ]=120MPa。试校核梁的强度。图7.19

解反力FA=0.75kN，FB=3.75kN,作M图(图7.19(c))，Mmax=1kN·m，发生在B处。满足强度要求。

【例7.9】图7.20所示T形截面铸铁梁，抗拉许用应力［σ+］=30MPa，抗压许用应力［σ－］=160MPa。已知Iz=763cm4，y1=52mm，试校核梁的强度。

解求支座反力:FA=2.5kNFB=4kN图7.20作M图(图7.20(c))，最大正弯矩发生在C处，

=2.5kN·m;最大负弯矩发生在D

处，=4kN·m。由于是脆性材料,中性轴又非对称轴,因此C、D处都可能是危险截面。显然:所以该梁安全。

【例7.10】图7.21(a)所示外伸梁由No.20b工字钢制成。已知[σ]=160MPa，尺寸如图所示，求最大许可载荷[F]。

解求支座反力：查型钢表得Iz=250cm3。作M图(图7.21(b)),Mmax=2F,发生在B处：图7.21即故

[F]=20kN7.8提高梁的强度的措施

1.改善梁的受力情况(降低Mmax)

(1)使集中力尽量靠近支座。图7.22所示简支梁，当集中力在梁上移动时，最大弯矩Mmax也随之发生变化。显然，集中力越靠近支座，Mmax越小；当集中作用在梁的中点时，Mmax达到最大，此时Mmax