《工程光学》课件第2章

第2章球面和球面系统

2.1光线经单个折射球面的折射

2.2单个折射球面成像放大率及拉赫不变量

2.3共轴球面系统

2.4球面反射镜

2.1光线经单个折射球面的折射2.1.1符号规则如图2－1所示，折射球面OE为两种介质n和n′的分界面，C为折射球面的球心，CO为球面曲率半径，以字母r表示。通过球心的直线为光轴，光轴与球面的交点O称为顶点。图2－1光线经过单个折射球面的折射

从光轴上一物点A发出一条光线，经球面折射后交光轴于A′点，则称A′点为A点的像。所以，成像问题实质上就是光线的传播问题，只要能求得物点发出的光线的光路，就能知道物经过光学系统所成的像。

如图2－1所示，在子午面内入射到球面的光线，其位置可由两个参量来确定：一个是顶点O到光线与光轴交点A的距离，以L表示，称为截距；另一个是入射光线与光轴的夹角∠EAO，以U表示，称为孔径角。光线AE经球面折射后，交光轴于A′点。光线EA′的确定也和AE相似，以相同字母表示两个参量，仅在字母右上角加“′”以示区别，即L′=OA′和U′=∠EA′O，也称为截距和孔径角。为了区别，L和U称为物方截距和物方孔径角，L′和U′称为像方截距和像方孔径角。为了确切地描述光路中各种量值和光组的结构参量，并使以后导出的公式具有普遍适用性，必须对各种量值作符号上的规定。几何光学中的符号规定如下：

（1）沿轴线段：如L、L′和r，以球面顶点O为原点，如果由原点到光线与光轴的交点的方向和到球心的方向与光线的传播方向相同，则其值为正；反之为负。光线的传播方向规定为自左向右。

（2）垂轴线段：如y和y′，在光轴之上者为正，在光轴之下者为负。

（3）光线与光轴的夹角U和U′：以光轴为起始边，从锐角方向转向光线，顺时针为正，逆时针为负。

(4)光线和法线的夹角I和I′：以光线为起始边，从锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。

(5)光轴与法线的交角φ：以光轴为起始边，从锐角方向转向法线，顺时针为正，逆时针为负。

（6）折射面之间的间隔d：折射面之间的间隔指由前一面的顶点到后一面的顶点之间的距离。若其方向与光线传播方向相同，则为正；反之，则为负。在纯折射系统中，d恒为正值。2.1.2光线经单个折射球面的实际光路的计算公式

光线经单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面的结构参量n、n′和r时，由已知入射光线的坐标L和U，求出出射光线的坐标L′和U′。

如图2－1所示，在△AEC中，应用正弦定理可得或

（2－1）

由折射定律得

（2－2）

由图2－1可知

所以

（2－3）

同样，在△A′EC中应用正弦定理有

整理得像方截距为

（2－4）

式（2－1）～（2－4）就是子午面内光线光路的基本计算公式，也称为实际光路的计算公式。当n、n′、r和入射光线的参量L、U已知时，即可求出相应的L′和U′。

由式(2－1)～(2－4)可知，当L为定值时，L′是角U的函数。在图2－2中，若轴上物点A发出同心光束，由于各光线具有不同的U角值，所以光束经球面折射后，将有不同的L′值，也就是说，在像方的光束不和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当轴上一宽光束经球面折射成像时，所成的像一般是不完善的，这种现象称为“球差”。

图2－2轴上点成像的不完善性

若物点位于物方光轴上无限远处，此时它发出的光束可认为是平行于光轴的平行光束，即L=-∞,U=0，如图2－3所示，此时，光线的入射角可按下式计算：

（2－5）

其中，h为光线的入射高度。

图2－3无限远轴上点经单个折射面折射

2.1.3光线经单个折射球面的近轴光路的计算公式

上节的讨论表明，轴上物点以宽光束经单个折射球面折射所成的像是不完善的，也就是说，一个物点经折射球面折射所成的像不是一个点，而是一个弥散斑。

在实际光路的计算公式中，若以细光束成像，即U角非常小，其相应的I、I′和U′也非常小，则这些角的正弦值可以近似地用弧度来代替，这时相应的角度以小写字母u、i、i′和u′来表示，这种很靠近光轴的光线称为近轴光线，光轴附近的这个区域称为近轴区。

近轴光线的光路计算公式可通过将式(2－1)～(2－4)中角度的正弦直接以弧度代替而获得，其中的有关量用小写字母表示，具体如下：（2－6）

当光线平行于光轴时，对应于式（2－5）有

（2－7）

由式（2－6）可以看出，不论u为何值，l′都为定值，这表明由轴上点以细光束成像时，其像是完善的，常称为高斯像，高斯像的位置由l′决定。通过高斯像点而垂直于光轴的像面称为高斯像面，构成物像关系的一对点称为共轭点。

对于近轴光而言，存在下列关系式：(2-8)由式（2－6）还可推出以下公式：

（2－9）

（2－10）

（2－11）

式（2-9）具有不变量形式，称为阿贝不变量，用字母Q表示。它表明，单个折射球面物方和像方的Q值相等，其大小与物像共轭点的位置有关。式（2-10）表示近轴光经球面折射前后的孔径角和的关系；式（2-11）表示折射球面成像时物像位置的关系。已知物或像的位置，便可求出相应的共轭的像或物的位置。2.2单个折射球面成像放大率及拉赫不变量

2.2.1垂轴放大率如图2－4所示，在折射球面的近轴区，垂轴小线段（用以表示垂轴小面积）AB通过折射球面所成的像为A′B′，AB用y表示，A′B′用-y′表示，则像的大小与物的大小之比称为垂轴放大率或横向放大率，以希腊字母β表示：（2－12）

由图中△ABC和△A′B′C相似可得

由式（2－9）和上式可将式（2－12）改写为

（2－13）

上式表明，折射球面的垂轴放大率仅取决于介质的折射率和物体的位置，而与物体的大小无关。在n、n′一定的条件下，当物体的位置改变时，像的位置和大小也随着改变。当β<0时，l和l′异号，表示物和像处于球面的两侧，此时物体成倒像，像的虚实与物体一致，即实物成实像，虚物成虚像。当β>0时，l和l′同号，表示物和像位于球面的同一侧，此时物体成正像，像的虚实与物体相反，即实物成虚像，虚物成实像。当|β|>1时，为放大像，即像比物大；当|β|<1时，为缩小像，即像比物小。

图2－4近轴区有限大物体经单个折射球面的成像

2.2.2轴向放大率

上面讨论的是垂轴物体的放大率问题。通常物体沿光轴方向也有一定的大小，故它经球面成像后还有一个轴向放大率的问题。设物点沿光轴方向移动一微小距离dl，相应的像

移动dl′，则轴向放大率定义为dl′与dl的比值，以希腊字母α表示：（2-14）

对于单个折射球面，轴向放大率公式可由（2-11）微分并整理得到

（2－15）

（2-16）

两边同乘以，经整理得

上式表明了垂轴放大率与轴向放大率之间的关系。它表明，如果物体为一立方体，由于垂轴放大率β与轴向放大率α不同，其像就不再是立方体。此外，还可以看出，对折射球面而言，轴向放大率永远为正，这表示物点沿轴移动，其像点以同方向沿轴移动。

必须指出，式(2－15)和式(2－16)只有在dl很小时才适用。在图2－5中，若物点沿轴移动的有限距离可以用始末两点A1和A2的截距差l2-l1来表示，相应的像点移动的距离用

来表示，则此时的轴向放大率以α表示，有（2－17）

因为

变化上式，并代入（2-17）得

（2－18）

其中，和分别为物在和两点的垂轴放大率。

图2－5物点沿轴移动有限距离的轴向放大率

2.2.3角放大率

在近轴区以内，通过物点的光线经过光学系统后，必然通过相应的像点，这样一对共轭光线与光轴的夹角u′和u的比值，称为角放大率，以希腊字母γ表示，即（2－19）

将lu=l′u′=h代入式（2－19）得

（2－20）

两边同乘以，并利用（2-13）得

(2-21)2.2.4三种放大率之间的关系

由式（2－16）和式（2－21）可得到垂轴放大率β、轴向放大率α以及角放大率γ三者之间的关系为（2-22）

2.2.5拉赫不变量

将（2-8）代入（2-13）又可得出

变换上式得：

（2-23）

上式称为拉赫公式，称为拉赫不变量。它说明了实际光学系统在近轴区内成像时，在一对共轭平面内，物高、孔径角和介质折射率的乘积为一常数。

2.3共轴球面系统

2.3.1转面公式由k个面组成的共轴球面光学系统的结构，可由下列结构参数来确定(图2－6所示为由3个面组成的共轴球面光学系统的结构，由k个面组成的可根据该系统来拓展)：

(1)各球面的曲率半径r1，r2，…，rk；

(2)各表面顶点之间的间隔d1，d2，…，dk-1(k个面之间共有k-1个间隔)；

(3)各表面间介质的折射率n1，n2，…，nk+1(k个面共隔开k+1种介质)。图2－6由3个面组成的共轴球面光学系统的结构

在上述结构参数给定后，即可进行共轴球面系统的光路计算和其他有关的计算。显然，第一个面的像空间就是第二个面的物空间。也就是说，高度为的物体用孔径角为的光束经过第一面折射成像后，其像就是第二个面的物，其像方孔径角就是第二个面的物方孔径角，其像方折射率就是第二个面的物方折射率。同样，以此类推，第二个面到第三个面之间，第三个面到第四个面之间，…，第个面到第个面之间都有这样的关系，即

（2-24）

各面截距的过渡公式，由图2-6可直接求出：

（2-25）

上述转面公式（2-24）和式(2-25)对近轴光适用，对远轴光也同样适用，即

（2-26）

这就是式（2－1）～（2－4）光路计算公式的转面公式。

当用式（2－10）进行光路计算时，还必须求出光线在折射面上的入射高度h的过渡公式。利用式（2－24）的第二式和式（2－25）的对应项相乘，可得故有

（2－27）

2.3.2共轴球面系统的拉赫公式

利用式（2－23）和式（2－24）可得整个系统的拉赫公式

(2－28)此式表明，拉赫不变量不仅对一个折射面的两个空间是不变量，而且对整个光学系统的所有面的每一个空间都是不变量。拉赫不变量J是光学系统的一个重要特征量。J值大，表示系统对物体成像的范围大，能对每一个物点以大孔径角光束成像。这一方面表示光学系统能传输的光能量大；另一方面，以后将会看到，成像光束的孔径角还与光学系统的分辨率有关，孔径角越大，分辨能力越强，从信息的观点来看，就是传递的信息量更大。

2.3.3共轴球面系统的放大率公式

对于整个共轴球面系统的三个放大率，很容易证明系统的放大率等于各个折射面相应放大率的乘积，即

（2－29）

将单个折射球面的放大率公式代入式(2－29)的第一式，即可求得

（2－30）

应用公式（2－8）有

2.4

球面反射镜

2.4.1球面反射镜的物像位置公式将n′=-n代入式（2－11）中，可得