2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【A级基础巩固】一、单选题1．幂函数y＝xα中的α的取值集合C是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，1，2，3))的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2，3))2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数B．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数C．奇函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1为偶函数，则m＝()A．1 B．2C．1或2 D．34.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<15．已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－16．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上()A．是增函数 B．不是单调函数C．是减函数 D．不能确定7．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()8．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，2] B．[4，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，4]二、多选题9．下列关于幂函数的论述正确的是()A．若α＝0，则幂函数y＝xα的图象是一条直线B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(－1，－1)D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1，－1)10．已知幂函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，则下列结论正确的有()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定义域是RC．f(x)是偶函数D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3]11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是()A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0,3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3,0)三、填空题13．已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,4)))，则m－2n＋3k＝________.14．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________________________.15．幂函数f(x)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，则f(x)＝________，若f(a＋1)<f(3－2a)，则实数a的取值范围是________.四、解答题16．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的最大值；(3)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．若f(x)是幂函数，且满足eq\f(f4,f2)＝3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)2．已知二次函数f(x)＝(x－a)·(x－b)－2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两个根，则α，β，a，b的大小关系是()A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<β D．α<a<β<b3．(多选题)如图，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包括端点)，则下列结论正确的为()A．当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0C．－1≤a≤－eq\f(2,3) D．3a＋b>04．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2x＋1，且f(1)＝－1.对任意x1>x2>－1，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>m(x1＋x2)成立，则m的取值范围为()A．[－2，－1] B．[－2，－1)C．[－4，－1] D．[－4，－1)5．函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0.请写出函数f(x)的一个解析式：________________(只要写出一个即可)．6．已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)xm－eq\f(3,2)的图象过点(4,2)．(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并进行证明；(3)若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围．7．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋3，a∈R.(1)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，求a的取值范围；(2)若a＝1时，函数f(x)的图象恰好在函数g(x)＝2x＋b的图象上方(f(x)≥g(x)且恰好能取到等号)，求实数b的值．参考答案【A级基础巩固】一、单选题1．(C)2．(D)[解析]设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，则f(x)＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数．3．(A)[解析]因为f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x3，函数f(x)不是偶函数，舍去；当m＝1时，f(x)＝x2，函数f(x)是偶函数．4.(D)[解析]对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0.5．(B)[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2a，,c＝b－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝1，))因此，f(x)＝x2＋2x＋1.6．(A)[解析]因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即eq\f(m,m－1)＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增．故选A.7．(C)[解析]若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq\f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.8．(B)[解析]因为f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)＝－1×3，,\f(b,2)＝－1＋3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝6.))令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1,0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B.二、多选题9．(CD)[解析]由题意利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．若α＝0，则幂函数y＝xα的图象是一条直线上去掉点(0,1)，故A错误；若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数不一定相同，例如函数y＝x和y＝x3有3个交点，分别为(1,1)、(0,0)、(－1，－1)，故B错误．若幂函数y＝xα为奇函数，则α为奇数，∴(－1)α＝－1，故它的图象一定经过点(－1，－1)，故C正确；对于幂函数y＝xα的图象，令x＝1，可得1α＝1，故它的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1，－1)，故D正确，故选CD.10．(ACD)[解析]因为函数是幂函数，所以m＋eq\f(9,5)＝1，得m＝－eq\f(4,5)，即f(x)＝x－eq\f(4,5)，f(－32)＝[(－2)5]－eq\f(4,5)＝(－2)－4＝eq\f(1,16)，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；∵f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，故C正确；函数f(x)＝x－eq\f(4,5)在(0，＋∞)是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1,1)∪(1,3]，故D正确．故选ACD.11．(ACD)[解析]因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．12．(ABD)[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.三、填空题13．[解析]因为f(x)是幂函数，所以m＝1，k＝0，又f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,4)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))n＝eq\f(1,4)，解得n＝eq\f(1,2)，所以m－2n＋3k＝0.14．[解析]由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.15．[解析]设幂函数解析式为f(x)＝xα，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))代入得α＝－eq\f(1,2)，所以f(x)＝x－eq\f(1,2)，在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0，可得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))).四、解答题16．[解析](1)∵f(0)＝f(2)＝3，∴二次函数f(x)的对称轴为x＝1，设函数f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，则f(0)＝a＋1＝3，解得a＝2；故f(x)＝2(x－1)2＋1.(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))2＋1＝eq\f(11,2)，即f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的最大值为eq\f(11,2).(3)∵函数f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，∴2a<1<a＋1，解得，0<a<eq\f(1,2)；故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(C)[解析]设f(x)＝xα，则eq\f(4α,2α)＝3，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(1,3).2．(C)[解析]设g(x)＝(x－a)(x－b)(a<b)，则y＝g(x)－2，所以y的图象是由g(x)的图象向下平移2个单位长度得到的，因为α，β(α<β)是方程y＝0的两个根，所以α<a<b<β.故选C.3．(AC)[解析]由已知得图象与x轴另一交点为(3,0)，所以当x>3时，y<0，故A正确；当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，故B错误；又∵y＝ax2＋bx＋c过点A(－1,0)，a<0，∴a－b＋c＝0，又－eq\f(b,2a)＝1，即b＝－2a，∴b＋2a＝0，则b＋3a<0，故D错误；又∵3a＋c＝0，∴c＝－3a，且2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－eq\f(2,3)，故C正确．故选AC.4．(A)[解析]由已知先利用待定系数法求出函数解析式，然后结合已知不等式转化为函数g(x)在(－1，＋∞)上单调递增，然后结合函数的性质即可求解．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(x＋1)＝f(x)－2x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝－2x＋1，整理得，2ax＋a＋b＝－2x＋1，故a＝－1，b＝2，又f(1)＝a＋b＋c＝－1，所以c＝－2，f(x)＝－x2＋2x－2，因为对任意x1>x2>－1，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>m(x1＋x2)成立，所以f(x1)－mxeq\o\al(2,1)>f(x2)－mxeq\o\al(2,2)，令g(x)＝f(x)－mx2＝(－1－m)x2＋2x－2，则x1>x2>－1时，g(x1)>g(x2)，即g(x)在(－1，＋∞)上单调递增，当m＝－1时，g(x)＝2x－2满足题意，当m≠－1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m－1>0，,\f(2,21＋m)≤－1，))解得，－2≤m<－1，综上，m的范围[－2，－1]．故选A.5．[解析]由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(