2025高考数学二轮专题复习-平面向量-专项训练【含答案】

2025高考数学二轮专题复习-平面向量-专项训练考点01平面向量平行（共线）求参数1．已知，且，则的值为．2．已知向量，若，则．3．已知向量，且，则___________.4．设向量，不平行，向量与平行，则实数．考点02平面向量垂直求参数1．已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．22．设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件3．已知向量，若，则（

）A． B．C． D．4．已知向量．若，则．5．设向量，若，则.考点03平面向量的基本定理及其应用1．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．2．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．3．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．4．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝，y＝.考点04平面向量的模长1．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．12．已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．13．已知向量，满足，，则．4．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．55．若向量满足，则.6．设为单位向量，且，则.7．已知向量，则A． B．2C．5 D．508．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=.9．已知向量满足，则的最小值是，最大值是．考点05求平面向量数量积1．正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．52．已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．23．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题5．已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题6．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．7．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．8．已知向量，，，．9．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则；.10．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．11．已知正方形的边长为2，点P满足，则；．考点06求平面向量的夹角一、单选题1．已知向量，则（

）A． B． C． D．2．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．64．已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．6．已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．120二、填空题7．在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为8．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为．9．已知向量，则.10．已知为单位向量，且=0，若，则.参考答案与试题解析考点01平面向量平行（共线）求参数1．已知，且，则的值为．【答案】15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．2．已知向量，若，则．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.3．已知向量，且，则___________.【答案】【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.4．设向量，不平行，向量与平行，则实数．【答案】【详解】因为向量与平行，所以，则所以．考点：向量共线．考点02平面向量垂直求参数1．已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.2．设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.3．已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．4．已知向量．若，则．【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.5．设向量，若，则.【答案】5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.考点03平面向量的基本定理及其应用1．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．2．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，，

故选：A3．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝，y＝.【答案】【详解】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.考点04平面向量的模长1．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.2．已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量满足，所以.故选：B3．已知向量，满足，，则．【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.4．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D5．若向量满足，则.【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.6．设为单位向量，且，则.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.7．已知向量，则A． B．2C．5 D．50【答案】A【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．【详解】由已知，，所以，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．8．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=.【答案】【详解】∵平面向量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．9．已知向量满足，则的最小值是，最大值是．【答案】4【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．考点05求平面向量数量积1．正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.2．已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.3．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.二、多选题5．已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC三、填空题6．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．7．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．【答案】1【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.8．已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.9．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则；.【答案】03【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.10．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．【答案】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.11．已知正方形的边长为2，点P满足，则；．【答案】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.考点06求平面向量的夹角一、单选题1．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.2．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.3．已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C4．已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．6．已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．120【答案】A【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】