2024年山东省济南市中考数学模拟试卷试题（含答案解析）

山东省济南市中考数学全真模拟试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.有理数。、6在数轴上的位置如图所示，化简：|a+2|—|2a|—|b—l|+|a+“=()

―£------1---------1-------1___!_>

-2-I01

A.—3B.2b—3C.3—2bD.2a+b

2.图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的।U

3…""1二

图1图2

B.Ir'i।

3.据报道,2024年春节假期河源万绿湖景区共接待游客约220000人次.数字220000用科学记数法表示是()

A.2.2x106B.2.2x105C.22x10cD.0.22x10°

4.下列计算正确的是()

A.(a3)2=a5B.(a:y2)3=xy6

C.(—2/)2=—/D.(va)2=a(a》0)

5.光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(声.A

垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角.如图一个平面镜C

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OEB

斜着放在水平面上，形成N40B形状，AAOB=36°.在03上有一点£，从点£射出一束光线（入射光线

）,经平面镜点。处反射光线。。刚好与平行，则的度数为（）

A.71°B.72°C.54°D.53°

6.若二次根式有意义，则x的取值范围是（)

111

B.n》3C.x<-D.a;<-

OOo

7.下列计算正确的是（）

A.(a-I)2=a2-1B.4a如=8a2C.2a-a=2D.a84-a2=a4

3

8.若点4（—4,如），B（-2,y2）,。（5,为）在反比例函数？/=±的图象上，则协，沙2,强大小关系为（）

x

A.03>阴>"2B.y>>y3>yic.，3>>yiD.阴>位>y；i

9.如图，AB为。。的直径，交。。于点尸，点C是弧的中点，连接4c.若

ACAB=30%AB=2,则阴影部分的面积是（）

7T

D-2

10.如图，点/是反比例函数y=%k#0）在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1,

分别作48,工轴、4。，9轴，点。为线段。8的三等分点（50=：。3）,作。七，2；

O

轴，交双曲线于点E,连接CE.若CE=OE，则左的值为（）

A.-2

3\/2

~T~

D.一2四

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.因式分解：a/—4a/+4a=.

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21

12•方程丁中的解为-

13.定义新运算：对于非零的两个实数。和6,规定。※b=17-9-,如3派21=：2-：=1-。若

0a236

(工一4)※(2+1)=0,则x的值为.

14.已知2=1是关于x的一元二次方程(m-1)/—3s+1=0的一个根，则该方程的另一个根为,

15.如图，四边形N08C四个顶点的坐标分别是4(—1,3),0(0,0),

5(3,-1),<7(5,4)-在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和

PA+PO+PB+P。最小，则P点坐标为.

16.如图，在正方形48CD的边上取一点E,联结CE,将△BCE沿CE翻折，点、B

恰好与对角线/C上的点尸重合，联结。凡若BE=2,则的面积是.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

012024

计算：|-2|+(7r-3)-(1)-+(-l).

18.(本小题8分)

’2(2-1)<z+3①

解不等式组：2/+1，并写出它的所有非负整数解.

『一>立一1②

O

19.(本小题8分)

如图，已知N4BC=90°，CDLBD于点、D,。于点E,AB=BC,求证：AE=BD.

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20.(本小题8分)

如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑板43的长

为4米，点D、B、C在同一水平地面上.

(1)求改善后滑板AD的长为多少米?

(2)若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行?

请说明理由.

(参考数据：=1.414，通=1.732,提=2.449，以上结果均保留到小数点后两位).

21.(本小题8分)

如图，点。是△ABC内一点，点E,F,G,X分别是48,AC,CD,3D的中点.

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形;

⑵如果NRDC=90°,ADBC=30°，CD=3,AD=7,求四边形EFG8的周长.

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22.（本小题8分）

某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元

购进的餐椅数量相同.

原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）

餐桌a270

500

餐椅a-11070

⑴求表中a的值；

（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张，该商场

计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问怎样进

货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

23.（本小题8分）

如图，一次函数4=七立+6与反比例函数0=」交于4（1,4）、8（4,机）两点，延长/。交反比例函图象于点

X

C,连接OA

（1）求一次函数与反比例函数表达式.

（2）求△40B的面积.

（3）在x轴上是否存在点P,使得4c是直角三角形？若存在，请求出尸点坐标，若不存在，请说明理

由.

24.（本小题8分）

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线"=a/—2arr+c与x轴交于/、8两点（4在8的左侧），与F轴正

半轴交于C.

（1）若/8=4，sin/ABC=5,求此抛物线的解析式;

5

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（2）如图2,直线沙=Jr交（1）中抛物线于S、T两点，M为抛物线上N、7之间（含/、T两点）的动点，过

M点作AfELc轴于点£，A/F1ST于点尸，试求ME+MT最大值和最小值；

（3）如图3,在（1）的条件下，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，直线/：U=卜2-2卜-4交平移后的抛物

线于尸、。两点，在此抛物线上存在一个定点。，使/POQ=90°总是成立，试求出此定点。的坐标，并

写出点。到直线/的最大距离.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：<-2,

Q+2V0,

•/b<b

b—1<0,

l«l>同，

：.a+b<0,

|a+2|—|2a|—|6—1|+|a+6|

=—a—2+2a+b—1—a—b

——3.

故选：A.

求出各项的取值，再根据绝对值的性质化简即可解答.

本题考查了数轴，绝对值的应用是解题关键.

2.【答案】A

【解析】解：它的俯视图为两个同心圆.

故选：A.

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：220000=2.2x105.

故选：B.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax103其中1<|a|<10,〃为整数，据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10%其中1W间<10,确定。与〃的值是

解题的关键.

4.【答案】D

【解析】4(a3)2=a6,故此选项错误，不符合题意；

B.(xy2)3=x3y6，故此选项错误，不符合题意；

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c.(-2/)2=4乩故此选项错误，不符合题意；

D(v0)2=a(a20),故此选项正确，符合题意；

故选：D.

根据积的乘方法则、幕的乘方法则和二次根式的性质逐项分析判断即可.

本题考查了整式和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幕的乘方法则和二次根式的性

质.

5.【答案】B

【解析】解：过点。作。。交03于点F.

A

•.•入射角等于反射角，

-：CD//OB,

Z2=Z3>

在中，NO£)F=90°，ZA0B=36%

Z2=90°-36°=54°>

在中，=180°-2/2=72°，

故答案为：B.

过点。作OEL40交。2于点F.根据题意知，。下是NCOE的角平分线，故N1=N3；然后又由两直线

CD//OB推知内错角Nl=N2；最后由三角形的内角和定理求得ZDEB的度数.

本题主要考查了平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线OF140,在直角三角形中解决问题.

6.【答案】D

【解析】解：由题可知，

1一3c20,

解得力〈—.

O

故选：D.

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根据被开方数不小于零的条件进行解题即可.

本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：/、（a-1）2=（?-2a+l,原计算错误，故此选项不符合题意；

B、4a-2a=8a2-原计算正确，故此选项符合题意；

C、2a-a=a,原计算错误，故此选项不符合题意；

26

D、a^a=a,原计算错误，故此选项不符合题意.

故选：B.

根据完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，合并同类项的运算法则，同底数幕的除法的运算法则求

出每个式子的值，再判断即可.

本题考查了单项式乘单项式法则，同底数幕的除法，完全平方公式，合并同类项法则等知识点，能正确求

出每个式子的值是解此题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：；k=3>0，

反比例函数沙=?的图象位于第一、三象限，

X

-：-4<-2<0,

0〉灯>侬，

•.,5>0,

"3>0，

ys>yi>V2-

故选：A.

先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减

小判断.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键.

9.【答案】B

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【解析】解：连接CF,OC,OF交4c于E,

•.•点C为劣弧市的中点，

/.CF=BC'

-：ZBAC=30°.

ABAC=Z.CAF=30°-

LCOF=2ZCAF=60°=NOAF，

1,,OA=OF=OC=2AB=1,

△4OF和△COF均为等边三角形，

/.AOF=LCFO=60°.

AB//CF,

S/\ACF—S^COF，

则阴影部分的面积=S^ACF+S,;形CF=S&COF+S弓形CF=S扇形COF=—而一=

oOU0

故选：B.

连接。C,OF,交AC于E,由圆周角定理可NB4C=/C4F=30°，/COF=60°=/CUF，可知△AOF

和△COF均为等边三角形，继而可知4B//CF,可得S&4CF=SACOF，再结合阴影部分的面积

=S&ACF+S弓形CF=S^COF+S弓形CF=S扇形艮［J可求解.

本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的

关键.

10.【答案】B

【解析】解：设4冗1）,则0（2,0）,噜,各,c（o,i）,

oJZ

3

：EC=DE=-,

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"2=(|一1)2+(等=],

解得卜=_.

2

故选：B.

根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键.

11.【答案】a(x—2)2

【解析】【分析】

此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如

果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

【解答】

解：ax2—4：ax+4a

=矶/-4c+4)

=a(x—2)J

故答案为：a[x—2)2.

12.【答案】/=—2

【解析】解：方程两边同乘以立+1),得2(2+1)=工，

解得，=-2,

故答案为：r=—2.

先将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程即可.

本题考查了解分式方程，关键是去分母的应用.

13.【答案】-6

,12

【解析】解：：aXb=工——，

ba

(c-4)※(T+1)

12

a7+1z-4'

：-4)※(2+1)=0,

12八

----T-------=0，

a;+1a;—4

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解得：力=—6,

12

经检验，x=-6是-------=0的解.

x+11—4

故答案为：—6

根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求.

本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键.

14.【答案】|

【解析】解：・二3；=1是关于x的一元二次方程（加一1）/一3立+1=0的一个根,

■,I2x（m-1）-3x1+1=0,

/.m=3,

.・.关于x的一元二次方程为2/—3化+1=0,

・•.(2/—l)(c—1)=0,

2/-1=0或/一1=0,

/.x=/或化=1，

.•.该方程的另一个根是］

故答案为：—.

将2=1代入方程（6―1）/—3立+1=0中，求出加=3,然后解方程即可.

本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是理解题意,学会利用未知数构建方程解决问

题.

15•【答案】（黑）

【解析】解：连接。。、AB,交于点P,如图所示，

•.•两点之间线段最短，

：.PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段

N3的长，

二到四个顶点的距离之和P4+尸。+PB+P。最小的点就是点P,

设。C所在直线的解析式为U=所在直线的解析式为U=az+b

•.•点。（5,4）在直线。。上，点/（一1,3）,8（3,-1）在直线上,

4=5k，

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—Q+6=3

3Q+b=—1

4

直线OC的解析式为g=7I,直线AB的解析式为"=—i+2,

5

4

y=-x

<5，

y=-x+2

（io

a:=—

解得《g，

二点p的坐标为（孝,|）,

故答案为：（贵）.

根据两点之间线段最短，连接OC和/£它们的交点P即为所求，然后求出直线OC和直线N8的解析式,

将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点尸的坐标.

本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点尸所在的位置.

16.【答案】3\/2+4

【解析】解：如图，连接8。交NC于。，

为正方形，

^ABC=90°>AB=BC，ACLBD-DO=BO,ABAC=45°.

•.•△RCE沿CE翻折，

:.BE=EF=2,BC=CF，NEFC=E90°,/"4。=45°，NEFC=90°，

：.AEAF=AAEF=^°，

AF=EF=2，

AE=2%

.•.AB=2\/^+2=BC=CF，

BD=4+2y/2>

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OD=2+V2.

：.S^CDF=|xGFxPO=3^2+4.

故答案为：3y/2+4.

由折叠可得EF=BE=2，NCFE=NB=90°，且NF4E=45°可得4F=2，AE=2\/^即可求对角

线3。的长，则可求△COP面积.

本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用

所学知识解决问题.

17.【答案】解：原式=2+1-3+1

=1.

【解析】直接利用零指数幕的性质、负整数指数幕的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化

简，进而得出答案.

此题主要考查了零指数幕、负整数指数塞、绝对值的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】解：解不等式2(c-1)<r+3,得：x<5,

解不等式经二〉z—1,得：I<4,

原不等式组的解集是7<4.

非负整数解为0,1,2,3.

【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可.

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀：同

大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).

19.【答案】解：：CDVBD，AELBD，

乙4EB=NBOC=90°，

VZA+/LABE=90°,/LCBD+/.ABE=90°,

;"A=NCBD,

在△ABE和△BCD中，

(NAEB=NBDC

<=ACBD,

(AB^BC

：.和0/XBCD(AAS),

：,AE=BD.

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【解析】根据。。AEIBD^得到N4EB=NBOC=90°，根据余角的性质得到=

再根据4B=BC，得到△ARE和△B。。全等，从而得出HE=80.

本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键.

20.【答案】解：

（1）在Rt^AB。中，

/2

AC=4B.sin45°=4xg=2汲（米）•

,.•乙48。=45°，

,•.4。=8。=2四（米）.

在RtZVLDC中，

皿=上=毕=4砥米）

sin30°'术），

2

AD-AB=4V2-4«1.66（米）.

改善后滑板会加长1.66米;

（2）这样改造能行，理由如下：

,,,CD―—=2\/6~4.898（UA\

tan30°-2通彳'米），

V

（或。O=y/AD2-AC2=V16x2-4x2=y24=2遍（米））

BD=CD—BC=2瓜-2>/2«4.898-2.828«2.07（米）.

•.•6—2.0773.93〉3，

.•.这样改造能行.

【解析】（1）滑滑板增加的长度实际是（4。一48）的长.在中，通过解直角三角形求出NC的长,

进而在RtZVl。。中求出AD的长得解；

（2）分别在RtZXAB。、RtZs/。。中求出3C、CO的长，即可求出瓦）的长，进而可求出改造后滑滑板前方

的空地长.若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全.

此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.当两个直角三角形有公共边时，先求出这条

公共边是解答此类题的一般思路.

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21.【答案】(1)证明：在△43。中，E、〃分别是/8、8。中点，

EHHADAEH=)D,

同理得FG〃4。且FG=^AD,

:.EH”FG&EH=FG，

二四边形EFGH是平行四边形；

(2)解：由⑴知：FG=EH=\AD,四边形昉GH是平行四边形，

EF=HG

又•.■40=7，

7

FG=EH=~,

在RtAB。。中，ZBDC=90°>ADBC=30%CD=3,

BC=6,

•.•在△30。中“、G是BD、CD中点，

.-.EF=HG=^BC=3,

7

.•.四边形斯GH的周长为=]X2+3x2=13.

【解析】(1)根据三角形的中位线定理即可求证；

⑵根据中位线定理可得FG=EH=^40=(,根据含30°角的直角三角形特征求出3。=6,进而得出

EF=HG=^BC=3,即可求解.

本题主要考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，含30°直角三角形的特征，解题的关键是掌握三

角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

22.【答案】解：(1)根据题意得：出=卷行，

aa—110

解得：a=150，

经检验，a是原分式方程的解.

答：表中a的值为150.

(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5立+20)张，

根据题意得：工+57+2()<260，

解得：xW40.

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设销售利润为y元,

根据题意得：

y=[500—150—4x(150-110)]x，+(270-150)x3

+(5x+20-4x|a;)x(70-40)=245a:+600.

•.•次=245〉0，

.,.当工=40时，了取最大值，最大值为10400.

答：当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元.

【解析】(1)根据数量=总价+单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出。值；

(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5①+20)张，由餐桌和餐椅的总数量不超过260张，可得出关于x的一元

一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润=单件(单套)利润X

销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题.

本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关

系，正确列出分式方程；(2)利用一次函数的性质解决最值问题.

23.【答案】解：(1)将4(1,4)代入沙=区的得比=4,

X

4

.•.反比例函数的解析式为

x

将5(4,772)代入V=得771=1，

/.5(4,1),

将4(1,4),3(4,1)代入“=+b得1

[4k-hb=1

解得｛之”

二.一次函数的解析式为4=-x+5；

(2)过/作轴于M点,过8作BNLc轴于N点

AM=4，BN=1，MN=4-1=3,S/\AOM=S^BON=4,

■：△AOB的面积=四边形NOA®的面积一△BON的面积，梯形的面积

=四边形AONB的面积—△4。四的面积=」+4),3=竺，

22

15

/XAOB的面积=梯形ABNM的面积=爹；

⑶解：•.•延长交反比例函图象于点C,

.•.点/与点C关于原点对称，

第17页，共21页

C(-l,-4),

设P(m,O),

AC2=(1+I)2+(4+4)2=68-AP2=(l-m)2+42,PC2=(-1-m)2+(-4)2,

①当ZAPC=90°时，AC2=AP2+PB2，

68=(1-m)2+42+(-1-m)2+(-4)2,

解得m=±717;

」.P(-47,0)或(怖7,0)；

②当APAC=90°时，PC2=AP2+AC2，

(-1-m)2+(-4)2=(1-m)2+42+68,

解得m=17，

.-.P(17,0)；

③当NPC4=90°时，AP2=PC2+AC2'

：.(1-m)2+42=(-1-m)2+(-4)2+68，

解得7n--17,

：,P(-17,0),

综上所述，P(-\/17,0)或(U,0)或(17,0)或(-17,0).

【解析】(1)将41,4)代入沙=电的得比=4,于是得到反比例函数的解析式为5=±,将4(1,4),3(4,1)

xx

代入y=kx+6解方程组即可得到结论；

⑵过/作AMLc轴于M点，过2作BNLr轴于N点，得至!J=S^BON=4,于是得到结论；

⑶根据点N与点C关于原点对称，得到。(―1,一4),设P(m,0),①当N4PC=90°时，②当NPAC=90。

时，③当=90°时，根据勾股定理即可得到结论.

本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨

论是解题的关键.

24.【答案】解：⑴抛物线y=ax2—2ax+c的对称轴为直线x

■：AB=4,

由对称性可得4(—1,0),8(3,0),

sinZXBC=—>

5

第18页，共21页

2/即=磊=器,

y=ax2—2cax+3

3

将点4(—1,0)代入g=a/-+弓，得Q=-5,

1Q

二.函数解析式为y=一/+工+去

1Q33

(2)联立一A/+；T+K=：T，解得工=2或①=一寸

2242

・••T(24)，

为抛物线上47之间(含/、7两点)的动点，设/9—；/+%+；)(—1(力・2),

,/A/EJ_i轴,

/.ME=-|f2+^+2J

由题知G(力,丁),

，OG=%,

4

“12331913

■「MF1ST于点尸，

:"GMF=2EOG，

FM_OE_t

cosNGA/F=cosNEOG，即而=砺=瓦,

41,13

2f+4f+2

.・.ME+MF=

231

当力=可时，ME+MF有最大值示,

OXU

3

当力=—1时，ME+MF有最小值2；

5

(3)平移后抛物线解析式为y=~x2,

设0(71,—#),

第19页，共21页

联立—=fcx—2fc—4,

x2+2kx—4k-8=0，

xp+XQ=-2k,xpXQ--4fc-8,

过点。作E'F'〃①轴，作PE'_LE'F’于