2024年高考数学最后冲刺训练《五大类立体几何题型》含答案解析

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题

秒杀技巧及专项训练（解析版）

c高考大题题型归纳②

【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法）】

【题型2线面垂直问题（勾股定理妙解）】

【题型3点面距离（体积求算）问题】

【题型4线面夹角问题（两大法）】

【题型5面面夹角问题（两大法）】

基础工具：法向量的求算

待定系数法：步骤如下：

①设出平面的法向量为）=（x,y,z）.

②找出（求出）平面内的两个不共线的向量a=（ai，A，q）,b=（a2,Z>2,c2）.

n-a=Q

③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组1一1

n-b=Q

④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.

注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组1r有无数多个解，只需给

元•b=0

x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量赋的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它们是共线向量.

秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）

向量。=（占,%，4）,B=（X2，y2，Z2）是平面a内的两个不共线向量，则向量

ZXZ

n=-J2I，2I-X1Z2,X1J2-》2%）是平面a的一个法向量.

特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.

几何法N:线面平行问题

线面平行：关键点n①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②

眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）

模型一中位线型

如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥尸-4BCD中，点£是尸。的中点.求证：尸8〃平

面NEC.

分析:

模型二：构造平行四边形

如图⑵，平行四边形4BCD和梯形5EPC所在平面相交，BE//CF,求证：ZE〃平面

DCF.

分析：过点£作EG〃/。交EC于G,DG就是平面ZEGD

与平面DC户的交线，那么只要证明ZE〃DG即可。

如图⑵

模型三:作辅助面使两个平面是平行

如图⑶，在四棱锥。—4BCD中，底面4BCD为菱形，M为CM的中点，N为5c的中

点，证明：直线跖V〃平面。CD

分析:：取08中点E,连接ME,NE,只需证平面"EN〃平面0CD。

模型四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

已知公共边为Z6的两个全等的矩形力腼和的'不在同一平面内，P,0分别是对角线

劭上的点，且4—制（如图）.求证：PQH平面CBE.

如图⑸，已知三棱锥尸—48C,H、B'、。是AP5C,APC4,AP4B的重心.（1）求证:

如图（6）

〃面48C；

向量法（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标

系（或找空间一组基底）及平面的法向量。

如图⑹，在四棱锥S—幺5。（中，底面Z3CD为正方形，侧棱底面N5CD,E,F

分别为幺5,SC的中点.证明EE〃平面£4。；

分析：因为侧棱底面4BCD,底面48CD是正方形，所以很容易建立空间直角

坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系。-町Z.

设Z(a,O,O),5(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),

中,"|，0)/］吟3，而［-a'O'j.

因为y轴垂直与平面故可设平面的法向量为五=(0,1,0)

则：EF-H=f-a,0,11-(0,1,0)=0因此而，万，所以EF〃平面£40.

模型演炼

如图，三棱柱/8C-4耳G中，。为底面△4AG的重心，OeCG，CD:DG=l：2.

⑴求证：。。||平面44。；

(2)若AA,1底面4BG,且三棱柱ABC-4耳G的各棱长均为6,设直线ABX与平面43c所

成的角为。，求sin。的值.

模型演演

如图，平行六面体-4且GA中，EF分别为N&CC的中点，N在B出上.

⑴求证：E尸〃平面

271----►>

⑵若DC=DDX=2AD=4,/DQC=—,ADl平面DCQD^B.N=5NB,求平面EFN与平面

OCG。的夹角的余弦值.

模型演炼

如图，已知四棱台/BCD-4月CQ的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面44Q。

1平面4BCD,AA=DQ=后，点尸是棱。〃的中点，点。在棱5c上.

(1)若20=30。，证明：尸。〃平面/班M；

(2)若二面角尸-。。-C的正弦值为宇，求20的长.

ONONEFINEDAY

专项满分必刷

1.如图，在直三棱柱48C-44cl中，AB1BC,AB=BC=BBt=2,M,N,P分别为

4月，AC,8c的中点.

C

求证：MN//平面8CG片;

2.如图，在四棱锥P—A8co中，PALnABCD,AB±AD,AD//BC,BC=-AD,

2

PA=AB=2,E为棱尸。的中点.

求证：EC〃平面尸/2；

3.如图，在四棱锥尸-/BCD中，PAVnABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2也.

⑴求证：CD_L平面尸40；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求平面RBC与平面P4D所成锐

二面角的大小.

条件①：AB=s[5;

条件②：8C〃平面P4O.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

4.如图，S为圆锥顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AB,是长度为2的底面圆的两条直

径，ABnCD=O,且S0=3,P为母线S3上一点.

s

求证：当尸为SB中点时，£4〃平面PCD；

5.如图，在四棱锥尸-中，尸C，平面N8CD,4?〃C£>,点E在棱尸3上，

2

PE=2EB,点、F,H是棱尸N上的三等分点，点G是棱的中点.尸。=CB=CD=-AB=2,

AC=yJ\3.

证明：HD〃平面CFG,旦ECHFG；

6.如图，在四棱锥P-48CD中，底面48co为正方形，PDLAD,平面尸平面

ABCD,PD=AD=2,E是尸C的中点，作EFLPB交PB于F.

求证：Pzl〃平面8DE；

7.在四棱锥P-48co中，底面/BCD为平行四边形，PA=PC,PBLAC.

(1)证明：四边形N2CD为菱形；

(2)£为棱尸8上一点(不与尸，8重合)，证明：NE不可能与平面PCO平行.

8.如图，在平行六面体ABCD—A}B}CXD}中,AB=AD—AAX=1,Z.DAB=90°,

—­—-V2

cos<A,A.,,A,B>=—,cos<AA,,AD>=—,点〃为中点.

122

证明：耳M〃平面4G。；

线面垂直问题(勾股定理妙解)

几何法

必记结论：①特殊的平行四边形n边长之比1:2,夹角为60°,则对角线与边垂直

②特殊的直角梯形n边长之比1：1：2,对角线与腰垂直

③等腰三角形三线合一，三线与底垂直

④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直

⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：、历有明显的直角关系

向量法

要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可

如：要证4c，平面

第一步：表示ZC,表示(BDDEBE)中的两个

AC-BD=QACA,BD—

第二步：彳竺竺又♦.•60门。£=。，2。，平面80£

ACDE=0ACIDE

Il

模型演炼

如图，在四棱锥尸—48CD中，尸2,平面48C。，底面4BC。是菱形，AB=2,

/BAD=60°.

求证：AD，平面尸4C.

4^/模型演炼

如图，在三棱柱48C—481cl中，AB1，平面48C,AB1BCAA,=AB=BC=2.

三棱柱4SC—451cl中，侧棱与底面垂直，ZABC=90°,AB=BC=BBX=2,M,

N分别是48,4c的中点.

求证：MN_L平面481c.

02ONEFINEDAV

专项满分必刷

1.在长方体/BCD-44GA中，E是GA上的点,，且G£,44，/B的长成等比数列，又“

是24所在的直线/上的动点.

求证：平面8CE

2.如图，在三棱柱NBC-48G中，平面44CC，。是44的中点，是边长为

2的等边三角形.

证明：CXD1BD

3.如图，在三棱台NBC-45cl中，平面平面

TT

AB{C,BB、±AB[,AB=4,AA{=AB{=2,NBAC=-.

证明：zc，平面

4.如图，在四棱锥尸-4BCD中，尸C,平面48cD,AB"CD,鼠E在橇PB上,PE=2EB,

2

点尸，反是棱尸4上的三等分点，点G是棱的中点.PC=CB=CD=-AB=2,

AC=yJ\3.

⑴证明：他II平面CFG,且C,E,F,G四点共面;

(2)证明：平面P4B_L平面尸8C；

5.如图，在四棱锥尸-/BCD中,底面/3CZ)是正方形，侧面P4D_L侧面尸NB,F为BD

中点，E是R1上的点，PA=PD=2,PA1PD.

求证：平面P4D_L平面48CD；

TT

6.如图，西棱锥4-BCDE,AB=BC=4C=CD=2BE=2,BE〃CD,/BCD=—,平面

2

平面8CDE,尸为8c中点.

A

证明：平面/EC_L平面/尸£>；

7.如图几何体中，底面/3C是边长为2的正三角形，平面/3C,若AE/ICDHBF,

AE=5,CD=4,BF=3.

求证：平面DET7J_平面4EFB；

8.如图，在直四棱柱48CD-44G2中，底面为矩形，AB=43AD=y/3a,高为〃，O,E

分别为底面的中心和的中点.

求证：平面AfiE_L平面CDD©；

结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》

"=£?结论3：《线面距离》d=£华

结论2：《点面距离》

\n\\n\

结论4：《面面距离》d=S

同

在棱长为1的正方体ABCD-451GA中，E为吊A的中点，则点G到直线CE的距离

为

模型演炼

在棱长为1的正方体4SC。-Z/CQi中，则平面4BC与平面4G。之间的距离为（）

模型演炼

已知正方形N8CD的边长为1,平面Z8CD,且P。=1,E,歹分别为N8,BC

的中点.（1）求点。到平面尸所的距离；（2）求直线NC到平面PER的距离.

03oNEFINEDAY'

专项满分必刷

1.如图，在平行六面体48cz中，E在线段4£）」，且NEDA=/EAD,F,G

分别为线段BC,的中点，且底面为正方形.

(1)求证:平面3CGB，_L平面EFG

(2)若E尸与底面不垂直，直线由与平面E8C所成角为45。,且EB=AB=2,求点、

A到平面481CQ1的距离.

2.如图，四边形48CD是圆柱OE的轴截面，点尸在底面圆。上，圆。的半径为1,

/尸=百，点G是线段3尸的中点.

F

(1)证明：EG〃平面D4F；

(2)若直线。厂与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面尸的距离.

3.如图，在直三棱柱形木料48C-48cl中，。为上底面/BC上一点.

(1)经过点。在上底面/8C上画一条直线/与耳。垂直，应该如何画线，请说明理由;

TT

⑵若BC=BB0,AB=2,E为/内的中点，求点B到平面/。也的距

离.

4.如图，在直四棱柱中，底面48CD为菱形，ABAD=60°,48=2,

AAX=4A/2,E是的中点.

(1)证明：8。//平面/GE；

⑵求点8到平面/££的距离.

5.图，在四棱锥尸-N8C。中，PN_L平面/BCD,底面A3CQ是正方形，点K在棱PD上,

AD=AP=2,AEICE.

p

Bc

(1)证明：AELPD；

⑵求点C到平面BAE的距离.

6.设四边形/BCD为矩形，点P为平面/BCD外一点，且平面22CD,若

PA=AB=\,BC=1.

⑴求尸C与平面PAD所成角的正切值；

(2)在8c边上是否存在一点G,使得点。到平面P4G的距离为血，若存在，求出BG的值,

若不存在，请说明理由；

7.如图，在四棱锥尸-/BCD中，AD//BC,ADLPD,平面P/。_L平面尸Q).

R

\D

C

A

B

(1)证明：3cl平面PCD；

(2)己知ND=PO=OC=g8C=2,且/DPC=30。，求点。到平面P/8的距离.

8.如图，在三棱柱/BC-/血G中，NC/4=60。，AB=BC,AC=CQ,点、E,尸分别为

BC,4G的中点.

(1)求证：跖//平面

(2)若底面N3C是边长为2的正三角形，且平面4CC/］，平面/3C,求点£到平面

的距离.

线面夹角问题(两大法)

向量法

结论1：异面直线所成角cos9=：^"

①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解

②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式cosG，B）=』g求出

'/同似

关键是求出展B及同与国

结论2：线面角cosa=sin£=竺.〃

AB.|H|lk2”

几何法

结论：sina=：｛dn点面距离（d往往用等体积法计算），/n线自身长度｝

模型演演

如图，在四棱锥P—Z8C。中，四边形/BCD是菱形，ACcBD=O,APNC为正三角

形，AC=2.

求直线PA与平面PBD所成角的大小；

模型演炼

四棱锥尸—4BCD中，0Z_L平面4BCD,四边形4BCD为菱形，NADC=60°，

PA=AD=2,E为40的中点.

模型演炼

如图，在直三棱柱48C—48cl中，AC=AB=AA1,ZCAB=90°,M是用G的中点,

N是NC的中点.

求直线A.B与平面BCC&1所成的角的大小.

模型演炼

在长方体ABCD-451G2中，AB=2,8C=441=1，则2cl与平面48G所成角的

正弦值为.

04ONEFINEDAY

专项满分必刷)

1.如图，在几何体ABC£＞斯中，/DE尸为等腰梯形，/3CD为矩形，ADHEF,48=1,

AD=3,DE=g，EF=\,平面尸_L平面23cD.

(1)证明：BF±CF；

(2)求直线AF与平面CEF所成角的余弦值.

2.如图，三棱柱NBC-44G中，四边形NC£4,8CG片均为正方形，。1分别是棱/氏/百

的中点，N为GE上一点.

(1)证明：8"//平面40。；

⑵若AB=AC^=3QV,求直线DN与平面AfiC所成角的正弦值.

3.如图，在四棱锥。-4BC。中，四边形48CD为直角梯形，CDHAB,BC1AB,平面

0/。_1平面488，。4=8,点Af是4。的中点.

⑴证明：QM1BD.

⑵点N是C。的中点，AD=AB=2CD=2,当直线MN与平面”C所成角的正弦值为日

7

时，求四棱锥。-/3CD的体积.

4.如图，四边形/BCD是圆柱OE的轴截面，点尸在底面圆。上，圆。的半径为1,

4尸=百，点G是线段段'的中点.

F

⑴证明：EG〃平面D4尸；

(2)若直线。厂与圆柱底面所成角为45。，求点G到平面OE尸的距离.

5.如图，在三棱柱中，4在底面N3C上的射影为线段3c的中点，〃为线段

4G的中点，S.AAi=2AB=2AC=4,ABAC=90°.

⑴求三棱锥M-4BC的体积；

(2)求MC与平面MA[B所成角的正弦值.

6.如图，已知三棱锥尸一23。,尸31平面融。,尸/，尸。,尸/=尸8=尸。，点。是点尸在平面

4BC内的射影，点。在棱尸/上，且满足|"0|=3|尸。].

(1)求证：BCVOQ.

(2)求。。与平面2C。所成角的正弦值.

7.如图，在三棱台ABC-44G中，AA11平面ABC,ZABC=90°,AA,=AlBl==1,

45=2.

(1)求证：平面ABBtAt1平面2CG瓦；

⑵求AC与平面BCC,B、所成角正弦值.

8.如图，在多面体/8CDE/中，四边形A8CD为平行四边形，且

BD=~CD=\,BD1CDDE，平面ABCD,且DE=；BF=^,DE//BF.点〃,G分别为线段

DC,斯上的动点，满足ZV/=EG=2(0<2<2).

(1)证明：直线G"〃平面

(2)是否存在X,使得直线GH与平面/£尸所成角的正弦值为这？请说明理由.

面面夹角问题(两大法)

向量法

结论：二面角的平面角＜=05。=自"ee（O，»））

«i-〃2

提示a是二面角的夹角，具体cos。取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取

正，若为钝角则取负.

几何法

结论：任意二面角的平面角a满足cosa=生丝如（M—Z3—Nncosa=P^丝）

Sk_ABS^AB

注意：N为原图上的点，而分子_则是N点在面的投影点

模型演演

在如图所示的几何体中，四边形48。是等腰梯形，AB//CD,4048=60°,/C,平

面ABCD,AE1BD,CB=CD=CF.

求二面角尸—BO-C的余弦值.

模型演炼

如图，在三棱柱4SC-451G-中，NA4C=90°，AB=AC=2,AtA=4,4在底面

48c的射影为BC的中点，。为与。的中点.

G

D

求二面角4-BD-BI的平面角的余弦值.

模型演炼

四棱锥P/8CD中，尸/_L平面/8CO,四边形/BCD为菱形，ZADC=60°,PA=AD=2,E

为AD的中点.

求二面角A-PD-C的正弦值.

B

05oNEFINEDAY"

专项满分必刷

1.如图，三棱台/8C-4耳G中，“3C是边长为2的等边三角形，四边形/CG4是等腰

梯形，且4£=44=1,。为4。的中点.

(1)证明：ACJ.BD；

⑵若直线可与平面四”所成角的正弦值为噜’求二面角4-公-2的大小.

2.如图，在三棱锥。一N2C中，AB=AD=BD=3,^/1,AC=1,BC=CD=5.

4行

B

(1)证明：平面NCD1.平面4BC；

(2)若E是线段CD上的点，且丽=4屈，求二面角E-/8-C的正切值.

3.如图，在四棱锥尸-48C。中，底面48CD为直角梯形，/4BC=/3Cr>=90°,P/，平

面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱PC的中点.

⑴求点D到平面PBC的距离;

⑵求二面角川-40-8的正切值.

4.如图，在正四面体尸-N8C中，反尸是棱尸C的两个三等分点.

(1)证明：ABIPC；

(2)求出二面角尸-/8-凡£-/8-歹,尸-/8-。的平面角中最大角的余弦值.

5.如图，已知平面480,。。=248=240=2,48//CD,40,CD,PC与底面N8CD

所成角为。，且tanO=".

2

(1)求证：。8_1_平面尸8£)；

(2)求二面角尸-BC-。的大小.

6.如图，在四棱锥尸-4BCZ)中，四边形/BCD为梯形，其中4B〃C。，BCD=60°

AB=2BC=2CD=4,平面尸AD_L平面/BCD.

(1)证明：AD1PD；

(2)若且尸C与平面22C。所成角的正切值为2,求平面P8C与平面P4D所成二

面角的正弦值.

7.如图，在三棱柱/8C-44。中，/4，平面四0,9_142,期=/。=2,/4=4,。是线

段24上的一个动点，E,F分别是线段BC,4C的中点,记平面DEF与平面44G的交线为I.

⑴求证：EFUh

(2)当二面角。-斯-C的大小为120。时，求BO.

271

8.如图，在梯形48CD中，ABHCD,AB=BC=-CD=2,N48C=§.将△4DC沿对角

线AC折到"PC的位置，点P在平面ABC内的射影H恰好落在直线AB上.

(1)求二面角尸-4C-B的正切值；

(2)点斤为棱PC上一点，满足PF=2尸C,在棱上是否存在一点。，使得直线尸。与平面

月所成的角为J?若存在，求出岑的值；若不存在，请说明理由.

3

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题

秒杀技巧及专项训练（解析版）

c高考大题题型归纳②

【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法）】

【题型2线面垂直问题（勾股定理妙解）】

【题型3点面距离（体积求算）问题】

【题型4线面夹角问题（两大法）】

【题型5面面夹角问题（两大法）】

基础工具：法向量的求算

待定系数法：步骤如下：

①设出平面的法向量为）=（x,y,z）.

②找出（求出）平面内的两个不共线的向量a=（ai，A，q）,b=（a2,Z>2,c2）.

n-a=Q

③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组1一1

n-b=Q

④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.

注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组1r有无数多个解，只需给

元•b=0

x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量赋的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它们是共线向量.

秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）

向量。=（占,%，4）,B=（X2，y2，Z2）是平面a内的两个不共线向量，则向量

ZXZ

n=-J2I，2I-X1Z2,X1J2-》2%）是平面a的一个法向量.

特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.

几何法N:线面平行问题

线面平行：关键点n①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②

眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）

模型一中位线型

如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥尸-4BCD中，点£是尸。的中点.求证：尸8〃平

面NEC.

分析:

模型二：构造平行四边形

如图⑵，平行四边形4BCD和梯形5EPC所在平面相交，BE//CF,求证：ZE〃平面

DCF.

分析：过点£作EG〃/。交EC于G,DG就是平面ZEGD

与平面DC户的交线，那么只要证明ZE〃DG即可。

如图⑵

模型三:作辅助面使两个平面是平行

如图⑶，在四棱锥。—4BCD中，底面4BCD为菱形，M为CM的中点，N为5c的中

点，证明：直线跖V〃平面。CD

分析:：取08中点E,连接ME,NE,只需证平面"EN〃平面0CD。

模型四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

已知公共边为Z6的两个全等的矩形力腼和的'不在同一平面内，P,0分别是对角线

劭上的点，且4—制（如图）.求证：PQH平面CBE.

如图⑸，已知三棱锥尸—48C,H、B'、。是AP5C,APC4,AP4B的重心.（1）求证:

如图（6）

〃面48C；

向量法（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标

系（或找空间一组基底）及平面的法向量。

如图⑹，在四棱锥S—幺5。（中，底面Z3CD为正方形，侧棱底面N5CD,E,F

分别为幺5,SC的中点.证明EE〃平面£4。；

分析：因为侧棱底面4BCD,底面48CD是正方形，所以很容易建立空间直角

坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系。-町Z.

设Z(a,O,O),5(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),

中,"|，0)/］吟。而［-a,O'j.

因为y轴垂直与平面故可设平面的法向量为五=(0,1,0)

则：EF-H=f-a,O,11-(0,1,0)=0因此而，万，所以EF〃平面£40.

模型演炼

如图，三棱柱/8C-4耳G中，。为底面△4AG的重心，OeCG，CD:DG=l：2.

⑴求证：。。||平面44。；

(2)若AA,1底面4BG,且三棱柱ABC-4耳G的各棱长均为6,设直线ABX与平面43c所

成的角为。，求sin。的值.

破解：(1)连接G。交4用于£点，连接CE.

因为。为底面△44G的重心，则£。：。。=1：2,

又因为DeCG，CD:Z）G=1:2,贝!|£。：OC]=CD:£>G，可知。。IIEC,

因为＜z平面AlBlC,ECu平面4B[C,

所以。。II平面43c.

(2)取48的中点尸，连接EF.

因为JL底面44G，且三棱柱43C-/4a的各棱长均为6,

可知射线EB[,EC],EF两两垂直,

以EB、,EC、,EF所在直线分别为XJ,z轴建立空间直角坐标系,

则4（3,0,0）,/（-3,0,6）,C（0,36,6）E（0,0,0）,

所以葩=（6,0厂6）,明=（3,0,0）,皮=（0,36,6）,

设平面44c的法向量为〃=（无）,z）,则｛_.

n-EC=3y/3y+6z=0

令,=-2,可得x=0,z=百，可得万=（。,-2,6）,

।—-I\n-AB65/3V42

所以sin。="s",=5产=l

1।同/用77x672-14

!模型演炼/

如图，平行六面体中，E尸分别为N2、CG的中点，N在B、B上.

⑴求证：EF〃平面4£>G；

971---._

⑵若DC=DDX=2AD=4,/DQC=—,ADl平面DCCXD„B}N=5NB,求平面EFN与平面

DCCR的夹角的余弦值.

破解：(1)证明：如图，设的中点为。，连接。fNO.

：.0F"CD且OF==CD.

2

又为的中点，且四边形43。是平行四边形，

•­.AE//OF且AE=OF.

四边形NOEE为平行四边形.:./。IIEF.

又NOu平面ADCX，历<Z平面ADC,一•.E/〃平面ADQ.

(2)解：在平面DCGA中，作。HLOC交C]〃于H.

AD±平面DCCR,DHu平面DCCR,DCu平面DCCR,

.-.AD±DH,AD±DC.

AD.DC.DH两两互相垂直.

分别以射线。4OCO”为x轴、》轴、z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,

ZA

在平行六面体Z5C。-中，由力。，平面。CGA得平行四边形Z3CD是矩形.

2兀

•••DC=DD[=2AD=4,ZDXDC=—,

D.H=DDFin（/DiDC-/HDC）=4sin-=2,

6

h

DH=DD^cos（/D]DC-ZHDC）=4cos-=4x—=273

62

CiH=C[D[-DiH=2

根据已知可得。（0,0,0）,N（2,0,0）,8（2,4,0）,C（0,4,0）,G（0,2,26），

£>1（0,-2,2V3）,£（2,2,0）,F（0,3,V3）.

.•.25=（-2,0,0）,丽=卜2,1,@,方=（0,4,0）,西=（0,-2,2@.

——.—■—•--—■1—■1—■1—.1——■（5V3

B.N=5NB,EN=EB+BN=-AB+-BB.=-AB+-DD.=0,-,—

126126133

由ND，平面DCCQi得否是平面。C。。的法向量.

设”=（无j,z）是平面EFN的法向量，贝U3-3

n-EF=-2x+y+gz=0

取y=-5/3,得z=5,x=2A/3.

.•石=（2g,-6,5）是平面瓦W的法向量

万.赤_2百*（-2）+（-向><0+5><0__V30

|»||20|-2所、2一10"

设平面EFN与平面。CCQi的夹角为巴则cos。=\cos(n,ADV30

lo-

，平面E/W与平面DCG2的夹角的余弦值为叵.

10

模型演炼

如图，已知四棱台"BCD-44GA的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面44QD

1平面4BCO,A\A=DQ=ym,点尸是棱D2的中点，点。在棱5c上.

(1)若2Q=30C,证明：P0〃平面N244；

(2)若二面角尸-纱-。的正弦值为旭，求2。的长.

26

破解：(1)证明：取44的中点M，连接MP，MB.

在四棱台“BCD-/4G。中，四边形440。是梯形，44=2,AD=4,

又点、M,P分别是棱DQ的中点，所以〃尸〃且〃尸=42『2=3.

在正方形/BCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以20=3.

从而“尸〃20且〃尸=2。，所以四边形8Mp0是平行四边形，所以P。〃“反

又因为Affiu平面尸0(z平面所以PQ〃平面/8乌4；

（2）在平面中，作4O_L/。于。.

因为平面44QQJ■平面N3CD，平面4QQc平面48C£）=/。，A,01AD,NQu平面

AARD,所以，Q_L平面N3CD.

在正方形/BCD中，过。作AB的平行线交2C于点N,则ON_L0£＞.

以｛函，历，西｝为正交基底，建立空间直角坐标系0fz.

因为四边形和QQ是等腰梯形，44=2,34,所以“。=1,又A1A=D、D=后,所

以4。=4.

易得8（4,-1,0）,Z＞（0,3,0）,C（4,3,0）,^（0,2,4）,尸［°］，2］,所以皮=（4,0,0）,

DP=（0,-1,2LC5=（O,-4,O）.

方法一：设函=2屈=（0,-4ZO）（O4XWl）,所以

DQ=DC+CQ=（4,-4A,0）.

m-DP=0—V+2z—0/-\

设平面的法向量为成=（x,y,z）,由＜一，得2,取应=（44,4,1）,

m•DO=04x-=0

另取平面DCQ的一个法向量为亢=（。,0,1）.

设二面角尸--C的平面角为仇由题意得|cosq=Vl-sin20=£

A/26

\m.n1

又|cos0\=|cosm,n\=丽二河石’所以

33

解得2=±彳（舍负），因此C0=：x4=3,BQ=1.

44

所以当二面角尸-。D-C的正弦值为名远时，20的长为1.

26

方法二、\:设。（4,/,0）（T4Y3）,所以丽=（4J-3,O）.

c—»（1

/、m•DP=0—y+2z=0

设平面POQ的法向量为成=（x,y,z）,由1—.，得«2，取

（m-DQ=0[4x+（f-3）y=0

m=（3-Z,4,l）,

另取平面DCQ的一个法向量为万=（0,0,1）.

设二面角尸-0。-C的平面角为仇由题意得|cos⑼=Vl-sin20=£.

V26

又向成同=";而木才所以而入二总’

解得/=0或6（舍）,因此砥=1.

所以当二面角P-QO-C的正弦值为出时，8。的长为1.

方法三、：在平面中，作垂足为X.

因为平面AlADDl_L平面ABCD,平面A.ADD,A平面ABCD=AD,PH1AD,PHu平面

AlADDl,

所以P〃_L平面48CD,又。0u平面48CD,所以

在平面/BCD中，作〃G_L。。，垂足为G,连接PG.

因为尸HGYDQ,PHCHG=H,PH,HGu平面尸HG,

所以。0，平面尸HG,又尸Gu平面PHG,所以。。，尸G.

因为HG，。。，PG1DQ,所以/PG"是二面角尸一。。一/的平面角.

在四棱台ABCD-44GA中，四边形AADD,是梯形，

4cl=2,AD=4,//=口。=而，点尸是棱。2的中点，

所以尸〃=2,DH=；.

设BQ=x(OVxV4),则CQ=4-x,00=5+(4-步=&-8x+32,

在△0/7D中，—X—x4=—xA/X2-8x+32xHG,从而HG=-/2..

-222VX2-8X+32

因为二面角P-QD-C的平面角与二面角尸-。。-N的平面角互补，

且二面角尸-8-C的正弦值为二型，所以sinNPG〃=二羽，从而tan/PG〃=5.

2626

所以在RtZXPHG中，生=6-8尤+32=5,解得x=l或x=7(舍).

HG

所以当二面角P-QO-C的正弦值为色区时，80的长为1.

26

n1

“上ONEFINEDAY

专项满分必刷)

1.如图，在直三棱柱/2C-4耳G中，AB1BC,AB=BC=BBl=2,M,N,P分别为

4名，AC,2C的中点.

B\MA

C

求证：儿W〃平面8CC4；

【详解】•••直三棱柱ABC-中，M为44的中点,

所以BXM=54瓦=5N8,且B.M//AB,

・•・因为尸，N分别8C,/C的中点,

PN//AB,PN=-AB,

PN//B.M,PN=B、M,

.•.四边形甲为平行四边形，.•.MN〃耳P,

又MNU平面BgCB,为Pu平面B£CB,

故MTV〃平面4GC8.

BiM4

2.如图，在四棱锥尸一/BCD中，尸N_L平面48。，ABLAD,AD//BC,BC=-AD,

2

PA=AB=2,E为棱的中点.

p

求证：EC//平面尸48；

【详解】取PN中点为"，连接ME,MS,如下所示:

在△取£＞中，因为分别为的中点，&ME〃AD,ME=gAD；

又ADUBC,BC=；AD,故MEHBC,ME=BC,则四边形AffiCE为平行四边形，EC//MB；

又Affiu面P/3,ECcz面p/3,故EC//面P/8.

3.如图，在四棱锥尸一/BCD中，PAL^ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2也.

(1)求证：CD_L平面尸工。；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求平面P8C与平面P4D所成锐

二面角的大小.

条件①：AB=曲;

条件②：8c〃平面HO.

注：如果选择的条件不符合要求，第