2024年高考数学专项复习：洛必达法则的应用（学案+练习）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展08洛必达法则的应用(精讲+精

练)

一、知识点梳理

一、前言

在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无

穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在,

这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。

二、洛必达法则定义

在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达

法则。

三、法则形式

1.法则1(《型)：若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

(1)设当Xfa时，吧/(x)=°及噂g(x)=0；

(2)在点。处函数/J)和g(x)的图像是连续的，即函数/*)和g(尤)在点。处存在导数；

⑼•坐则Jim用=1而笔“

2.法则2(，型)：若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(l)lim/(x)=O及limg(x)=O；

X—>00\/X—>00\

⑵在点a处函数/")和g(x)的图像是连续的，即函数Ax)和g(无)在点a处存在导数；

(9)lim(，x[=1,贝％=lim/尸)=/.

Xf8g(x)Xf8g(町Xf8g(x)

9.法则9(三型)：若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

00

(1)lim/(x)=oo及limg(x)=oo；

x-x->a

(2)在点a处函数/(%)和g(无)的图像是连续的,即函数/(元)和g(x)在点a处存在导数；

且g,(x)丰0；

⑼.坐=/,则：.室=lim坐〃

zag(X)zag(可

【特别提醒】

(1)将上面公式中的x-f+8换成元->+<x),x—fo,%〃—洛必达法

则也成立。

(2)洛必达法则可处理。，艺。00,r°,00°,0°,00-00型。

000

(9)首先要检查是否满足。，三,0-oo,r°,00°,0°,00-00型定式，否则用洛必达法会出错。

0oo

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

(5)高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。

四、适用类型的转化

10010

(1)0,OO型的转化：0・OO=>-----8=—或0・OO=>()•—=—;

000000

110-00

(2)oo-s型的转化:00—00=>---------=>

00000

0°1fO.lnO

(9)。°、「刃*11型的转化：鬲指函数类「"瞿对数-nOa

oo0[0-Inoo

二、题型精讲精练

【典例1】设函数，(x)=eX—l—x—ax2。

(1)若。=0,求/(x)的单调区间；

(2)若当了之0时/(x)NO,求a的取值范围

解：(1)a=0时，f{x}=ex-1-x,f\x)=ex-l.

当xe(—8,0)时，/,(x)<0；当xe(0,+8)时，/(x)>0.故在(―8,0)单调减少,

在(0,+oo)单调增加

(II)f\x)=ex-l-2ax

由(I)知e^Nl+x,当且仅当x=0时等号成立.故

f\x)>x-2ax=(l-2«)x,

从而当1—2a»0,即时，/'(x)>0(%>0),而/(0)=0,

于是当x»0时，/(x)>0.

由e*>l+x(xwO)可得>1-X(XHO).从而当。〉工时，

2

f\x)<ex-l+2a(e-x-1)=e\ex-l)(e*-2a),

故当xe(0,ln2a)时，/'(x)<0,而/(0)=0,于是当xe(0,ln2a)时，/(x)<0.

综合得。的取值范围为1-啊

原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解：(II)当x=0时，/(x)=0,对任意实数a,均在/(x)20；

当x>0时，/⑴对等价于々/—-

X

*/\c.x—x—1/八\।，/、xcx—+x+2.

令g(x)=---2-(尤>0),贝n!Ig(x)=-------3------>令

XX

/z(x)=x/—2/+x+2(x>0),贝！=/z"(x)=xe">0,

知勿(%)在(0,+8)上为增函数,“(%)>/(0)=0；知//(%)在(0,+oo)上为增函数，

/z(x)>/i(O)=O；/.g'(x)>0,g(x)在(0,+o。)上为增函数。

xxx

e_x_]ee1

由洛必达法则知，lim--—=lim—

—。+x—°+2x—°+22

故综上，知a的取值范围为1-叫gj

7T

【典例2】若不等式依>sinx对于xe(0,Q)恒成立，求a的取值范围.

TTQinX

解：当Xe(0,丁)时，原不等式等价于a〉——.

2x

j己/(兀)=sin尤贝=xcosx-sinx_cosx(x-tanx)

X''X2X2

jrcinxjr

且元£(0,7)时，％<tanx,所以尸(%)<。.因此/(%)=——在(0,彳)上单调递减(也

2x2

就是X趋于。时，/（x）最大）

sinx、r/八、［.、smxcos%

。〉丁=a>"x)M=〃°)，飕;•(x)=rI非丁=鹭丁=1.所以/I

【典例9】（1）08型

lim(xlnx)=limlimlim(―%)=0

尤—o冗—0+%-o+%-0+

技巧：将乘积中无穷或。取倒数进而变形到分母上，化为T或三型

［典例4］(2)oo-oo型

技巧：可将无穷通分，进而化为抵型

【典例5】（9）oo。型

转化方法同上，8°=elnoo°=e01no°=e0o°

1

111「ln(x+l)V+T「1

Iim(l+=limein(i+%)、=]jm族11+x=e冗嗯x=e%骋1=e久嗯尤+1

X—>00x—>00X—>OO

—e0=1

技巧：可利用对数性质e®a=a，将函数化为以为e底数的指数函数，转化为对指数求极限。

转化方法如下：1°°=e,nl°°=e8ml=e°°°,这样就化为了0s型

【题型训练】

1.已知函数/(%)-ex—x—1,若当%>0时，恒有|/(%)|<m/e团成立，求实数Ju

的取值范围.

2.设函数/(x)=l—6一1

x

(I)证明：当x>—1时，/(%)>——；

X+1

Y

(II)设当时，/(%)<-----,求。的取值范围.

ax+\

/7InTh

9.函数/(%)=--+-,曲线y=于(X)在点(1,7(I))处的切线方程为x+2y-3=0.

x+1x

(1)求b的值；

InK

(2)如果当1>0,且XW1时，/(%)>——+-,求人的取值范围.

x-1x

4.设函数/(x)=l—H*.

(1)证明：当x>—1时，/(%)>——；

尤+1

Y

(2)设当时，/(%)<-----，求。的取值范围.

ax+1

5.若不等式sinxx-加对于尤”，芸恒成立，求。的取值范围.

6.已知/(%)=(%+l)lnx.

⑴求/(%)的单调区间；

(2)若对于任意久>1,不等式X|区2-ax\+a<0成立，求a的取值范围.

Lx+l」

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展08洛必达法则的应用(精讲+精

练)

一、知识点梳理

一、前言

在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无

穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在,

这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。

二、洛必达法则定义

在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达

法则。

三、法则形式

1.法则1(1型)：若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

⑴设当Xfa时，lim〃x)=o及limg(x)=0；

x-x-

(2)在点。处函数/(x)和g(x)的图像是连续的，即函数Ax)和g(尤)在点。处存在导数；

(9)=贝小==

asg，(X)­g(X)xiag(x)

2.法则2(3型)：若函数于(x)和g(x)满足下列条件：

(l)lim/(x)=O及!吧g(x)=。；

(2)在点a处函数/⑴和g(x)的图像是连续的，即函数和g。)在点a处存在导数；

f(x)y(%)f'(x)

X78g(x)Xf8g(x)x-wg(x)

9.法则9(三型)：若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

00

(1)理=及阴g(x)=°°;

(2)在点a处函数，(戈)和g(x)的图像是连续的,即函数Ax)和g(x)在点a处存在导数；

且g'(x)#0;

⑼1而坐=/,则：/坐=lim坐〃

Xfag(X)Xf"g(X)Xfag(x)

【特别提醒】

(1)将上面公式中的xfa,为f+8换成xf+oo,xffo,x->a+,x—底洛必达法

则也成立。

(2)洛必达法则可处理。，丈,0-oo,r°,00°,0°,00—00型。

000

(9)首先要检查是否满足2艺,0・8,r°,8°,0°,8-8型定式，否则用洛必达法会出错。

0oo

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

(5)高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。

四、适用类型的转化

、1001o

(1)0,oo型的转化：0-OO=>---00=—或0・oo=>0;

000000

oo—oo型的转化：oo—oo上卫=9

(2)

00000

0°]fO.lnO

(9)。°、/刃。型的转化：幕指函数类「>臾对数-nOa

oo°Olnoo

二、题型精讲精练

【典例11|设函数/'(x)=e*-l—x—ox?

(1)若a=0,求/(x)的单调区间；

(2)若当x»0时/(%)>0,求a的取值范围

解：(1)a=0时，f(x)=ex-l-x,f'(x)=ex-l.

当xe(—8,0)时，/'(%)<0；当xe(0,+(»)时，/(x)>0.故/(x)在(—8,0)单调减少,

在(0,+oo)单调增加

(II)f'(x)=ex-l-2ax

由(I)知QNl+x,当且仅当尤=0时等号成立.故

f\x)>x-2ax=(1-2a)x,

从而当1—2aN0,即aV3时，/'(x)>0(x>0),而/(0)=0,

于是当xNO时，/(x)>0.

由，>1+%(XW0)可得>1-X(X0).从而当4〉L时，

2

/*(%)<ex-1+2a(e~x-1)=e~x(ex—1)(/-2a),

故当次£(0,ln2〃)时，/!(x)<0,而/(0)=。，于是当x£(0,ln2a)时，f(x)<0.

综合得。的取值范围为1-巴；j

原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解：(II)当％=0时，f(x)=0,对任意实数a,均在/*)20；

当尤>0时，/(小0等价于々/_：_1

X

./\e"_x_1/„\..xcx—2e"+%+2

令g(x)=---2—(x>0),贝nUg(x)=-------3------,令A

XX

/z(x)=x^x-2^x+x+2(%>0),贝!!“(%)二比"-6"+1,h"(x)=xe">0,

知勿(力在(0,+oo)上为增函数，hf(x)>/if(O)=O；知网(在(0,+8)上为增函数,

/z(x)>/?(0)=0；/.gf(x)>0,g(x)在(0,+oo)上为增函数。

x-r-1exex1

由洛必达法则知，lim——e--=lim—=lim—=—,

x->o+x-°+2x%-o+22

故aW；,综上，知a的取值范围为

7T

【典例2】若不等式依＞sinx对于xe(0,Q)恒成立，求”的取值范围.

JToinV

解：当Xe(0,三)时，原不等式等价于a〉——.

2x

记/(])=吧2,则f'(x)=xcosx-sinxcosx(x-tanx)

X

TTQinYTT

且Xe(0,小时，x<tanx,所以/3<0.因此/(x)=——在(0,-)上单调递减(也

2x2

就是X趋于。时，/(上)最大)

。>皿oa>f(x)max=/(0),lim/(x)=lim皿=lim『=l.所以

max

xXf0%-0xXf01

【典例9】（1）08型

lim(xlnx)=limlimlim(—%)=0

%T0尤—O+工-0+M—O+

技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为:或三型

【典例4】（2）8-QO型

技巧：可将无穷通分，进而化为抵型

【典例5】（9）K型

转化方法同上，8°=elnoo°=e01no0=e°但

1

111「ln(x+l)V+T「1

Iim(l+=limein(i+%)、=]jm族11+x=e冗嗯x=e%骋1=e久嗯尤+1

X—>00x—>00X—>OO

—e0=1

技巧：可利用对数性质e®a=a，将函数化为以为e底数的指数函数，转化为对指数求极限。

转化方法如下：1°°=e,nl°°=e8ml=e°°°,这样就化为了0s型

【题型训练】

1.已知函数/(%)-ex—x—1,若当%>0时，恒有|/(%)|<m/e团成立，求实数Ju

的取值范围.

【解析】因为/(刀)=-龙一1,所以r(x)=e*-1,

所以当xG(―8,0)时,r(x)<。，即/(%)递减，

当XG(0,+8)时,广出>0,即/(X)递增.

若当x>0时，恒有1/3)1<m/e团成立，即恒有0</(x)<m/e'成立,

当x=。时，不等式恒成立.

当x>。时，恒有0</(x)<m/ex成立，即1n>e)?,

ex-x-lx2-2ex+2x+2

令•，则()

H(x)=x2exH'X=x3ex

今以无)=x2—2ex+2x+2,则》(x)=2x-2ex+2,进一步九〃(刀)=2—

2ex<0,

所以"(尤)=2x-2ex+2在(0,+8)上单调递减，所以“(%)<»(0)=0,

所以以%)=x2-2ex+2x+2在(0,+8)上单调递减，所以九(尤)<ft(O)=0,

即H，(E)<0在(0,+8)上恒成立，所以H(%)在(0,+8)上单调递减.

所以5…+宗=1鹏―0+点/=1皿一。+*：；+2)二条所以加之5•综

上即的取值范围为旨+8).

2.设函数/(x)=l—eT.

X

(I)证明：当x>—1时，/(x)>-^-;

X+1

X

(II)设当XNO时，y(x)v」一，求。的取值范围.

ax+l

【解析】解：(I)略

(II)应用洛必达法则和导数

由题设》之0,此时7(x)20.

|xX

①当a<0时，若X〉—上，则一^<0,不成立；

aor+1ax+1

xx

②当〃20时，当时，/(%)<-----,即1—6一“«------；

ar+1ax+1

若X=0,则〃£火；

Y\-e~x1xex-ex

若x>0,贝！J1—等价于即.

ax+1xax+1xex-x

、□/、犬e“-e"+l.，/、^2x—x2ex—2ex+1ex2c-八

记g(x)=--------，贝n！Jg(x)=---—~----=—^~^(ex-x--2+e).

xe-x(xe-x)(xe-x)

记/z(x)="—%2-2+e-x,则h'(x)=ex-lx-，h\x)=ex+e-x-2>Q.

因此，"(x)="—2x—婷在(0,+oo)上单调递增，且"(0)=0,所以/z'(x)>0,

即/i(x)在(0,+8)上单调递增，且〃(0)=0,所以/z(x)>0.

因此g'(x)=-h(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增.

(xev-x)

由洛必达法则有

xex-ex+\xexex+xex1

limg(x)=lim——上」」=lim————=lim即当X.0时,

x

3-0xex_x3ex+xex_]32e+xe^2

g(x)fg,即有g(x)〉g,所以awg.综上所述，a的取值范围是(-oo,g].

/7InV卜

9.函数/(九)=--+曲线y=/(%)在点(1,/(D)处的切线方程为x+2y—3=0.

x+1x

(1)求a、b的值;

Inxk

(2)如果当x>0,且xwl时，/(x)>——+-,求左的取值范围.

x-1X

解:(1)易得。=1,b=l.

当尤>0,且xwl时，/(%)>也土+2,即Inx1Inxk

(2)+—>----+—,

x-1Xx+1Xx-1X

,,xlnx1xlnx2xlnx、一/、2元In犬.„

也即左v-----+---------=-----r+l,记g(X)=----r+l,x>0,且xwl

x+1Xx—11—X1—X

2(x2+1)Inx+2(1-x2)_2(x2+1)(lnx+芸),

则g'(x)=

(1-x2)2(I"x+1

22

记心).A31_v2，则〃⑴i二-+4词丫再n_显x\g〉°，

从而h(x)在(0,+s)上单调递增，且h(I)=0,因此当xe(0,1)时，h(x)<0,当xe(1,+s)

时,〃(x)>0；当xe(0,l)时,g'(x)<0,当xc(l,+s)时，g3>0,所以g(x)在(0,1)

上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

由洛必达法则有

2x]nx八1_2x]nx.-21nx+2八

limg(x)=lim(------+1)=l+lim-----=1+lim----------=0,

22

T->1Xf11-x%川1-xn-2x

即当x>0,且时，g(x)>0.因为左<g(x)恒成立，所以左WO.综上所述，当》>0,

且xwl时，/(%)>电生+«成立，左的取值范围为(—8,0].

X-1X

4.设函数/(x)=l—

(1)证明：当x>—1时，/(%)>——；

x+1

Y

(2)设当xNO时，f(x)<-----,求。的取值范围.

«x+l

解：(1)易证.

(2)应用洛必达法则和导数

由题设此时/(x)20.

|xX

①当〃<0时，若,则-----<0,/(%)<-----不成立;

aax+1ax+1

xx

②当420时，当时，/(%)<-----,即1—-----；

6zx+lax+1

若X=0,则〃£火；

Y1一尸1丫〃_口%+1

若x>0,贝！J1—"工K----等价于即a〈三_幺士

ax+1xax+1xex-x

xxlx2xxx

xe—e+1.，/、e—xe—2e+1ex2c_x、

记g(x)=则g°°=(-)2r-2+e).

xex-x

记/?(%)=^-/-2+二，贝!J"(x)=e*—2x—,h\x)=ex+ex-2>Q.

因此,〃(x)=ex—2x—d*在(0,+8)上单调递增，且"0)=0,所以“(x)>0,

即”(x)在(0,+8)上单调递增，且丸(0)=0,所以〃(x)>0.

因此所以g⑴在3+8)上单调递增.

x-xxexex+xex1

由洛必达法贝!1有limg(x)=lim-X-e----e----=lim-----------=lim---------=—

xex-xex+xex-12ex+xex2

即当xfO时，g(x)f即有g(x)〉；，所以OWaW；.

综上所述，a的取值范围是［0,』］.

2

5.若不等式sinQA/对于x恒成立，求。的取值范围.

【答案】

O

【详解】当时，原不等式等价于“>七岁.