2024年高考数学专项复习：立体几何中球与几何体的切接问题（学案+练习）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、外接球

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体

的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还

要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起

到至关重要的作用.

二、内切球

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的

是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到

各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥

的高，用体积法来求球的半径.

【常用结论】

①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直

角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等于长方体的体

对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径

.____________+〃2+2

为R,则2R=后两不？.）,秒杀公式：烂=—4—.可求出球的半

径从而解决问题.有以下四种类型:

②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径

等于长方体的体对角线长，即2RH+C?（长方体的长、宽、高分别为a、b、c）.秒杀公式：箸="+；+]

（三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z）.可求出球的半径从而解决问题.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体

的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算

术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如

下图，由对称性可知球心0的位置是4ABC的外心01与4A,BiCi的外心。2连线的中点，算出小圆01的半

力h2

径A0i=r,OO\=-,/.R2=r2+一.

④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型,可补为直棱柱内接于球，由对称性可知

球心O的位置是仆CBD的外心01与AA&6的外心。2连线的中点，算出小圆01的半径4。1=厂，。。尸-

⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面

A8CJ_平面BCD,如类型I,△ABC与△8。都是直角三角形，类型II,AABC是等边三角形，△BCD是

直角三角形，类型m,AABC与ABCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与4BCD的外心作该三

角形所在平面的垂线，交点。即为球心.类型IV,△ABC与△8C。都一般三角形，解决方法是过△80的

外心。1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题.设三棱锥A—的高为加外接球的半

1氏2=3+机2,

径为R,球心为O.△BCD的外心为01,01到BD的距离为d,0与01的距离为m,则J

[Rz=dz+（h—mY，

解得R.可用秒杀公式：R2=rJ+r22—!（其中ri、厂2为两个面的外接圆的半径，/为两个面的交线的长）

AAA

BC

Q

D

类型ni

⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.秒杀公式：尺=^^（其中人为几何体

的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心）

⑦内切球思路：以三棱锥尸一ABC为例，求其内切球的半径.

方法：等体积法，三棱锥尸一ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和;

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为广，球心为O,建立等式：Vp-ABC^Vo-ABc+Vo-PAB+VO-PAC+VO-PBC^Vp-ABC

^Vp-ABC3V

第三步：解出厂1__________________________________________________________________——.

So-ABC~^~So-PAB~^~So-PAC~^~So-PBC5表.

、题型精讲精练

【典例1】（2023•浙江•高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36兀的球面上，则该正

四面体的棱长是.

【答案】2加

【解析】如图所示：

因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为ABCD-ABCiA，

则正四面体为A-CA2，

设球的半径为R,则4乃7?2=36万，

解得R=3,

所以AG=6则正方体的棱长为2行,

所以正四面体的棱长为四=2而，

故答案为：2瓜

【典例2】（2023•河南・开封高中校考模拟预测）已知四面体ABC。中，AB=CD=2非，AC=BD=叵，

AD=BC=441>则四面体ABC。外接球的体积为（）

A.45KB.生叵C.竺叵D.24A/5TT

22

【答案】C

【解析】设四面体ABCD的外接球的半径为火,

则四面体ABCD在一个长宽高为6,c的长方体中，如图,

a2+b2=20,,,

贝！j<〃+0?=29,故R==渔，

a2+c2=41,22

故四面体ABCD外接球的体积为V='炉=士兀义竺巫=竺叵，

3382

故选：C

【典例3]（2023•黑龙江齐齐哈尔・高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱ABC-AB©的

所有顶点都在一个表面积是40%的球面上，且AB=AC=A\,ZBAC=120。，则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+873B.8+1273C.8+166D.16+12A/3

【答案】D

【解析】设AB=AC="=2m，因为N54C=120。，所以NACB=30。.

于是T2m^二2,。是△ABC外接圆的半径），r=2m.

sm30

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半,

所以球的半径为J（2m）2+m2=亚m-

所以球的表面积为4兀•（百〃）=40兀，解得利=&.

因此AB=AC=A4,=2厄BC=2底.

于是直三棱柱的表面积是

2x20x2夜+2限2&+2x、2@20sinl2O。=16+12技

2

【典例4]（2023•安徽宣城•高三统考期末）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱

孙，平面A8C,且m=4,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积为

【答案】287t

【解析】根据已知，底面AABC是边长为3的等边三角形，平面ABC,

可得此三棱锥外接球，即以“BC为底面以％为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上下底面的中心分别为",N,则外接球的球心。为MN的中点,

B

△ABC的外接圆半径为『=3=2、且x3=。，d=ON=-PA=2,

—322

所以球的半径为R=OA=777^=4，

所以四面体尸-/lBC外接球的表面积为S=4TTR2=28兀，

故答案为：28兀,

【典例5】（2023・四川乐山•高三期末）已知正AASC边长为1,将AABC绕BC旋转至△D5C,使得平面

ABC4平面BCD,则三棱锥ABC的外接球表面积为.

【答案】+

【解析】如图，

取8C中点G,连接AG,OG,则AG_L3C,DG1BC,

分别取AABC与ADBC的外心E,尸分别过作平面ABC与平面。BC的垂线，相交于O,则。为四面体

A—BCD的球心，

所以正方形OEG尸的边长为!AG=^,贝IJOG=,M[+]回=更,

所以四面体A-3CD的外接球的半径R=4OG2+BG2==德,

球。的表面积为47tx

571

故答案为：y.

【典例6】（2023•山东滨州•高三校考期中）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3VL侧棱长为6,则

该四棱锥的外接球的体积为

【答案］32百兀

【解析】如图，PO1是正四棱锥P-ASCD的高，而A8=3应，尸A=6,贝!J=如=正竺=3,

122

PO\=JPT-AO；=36,显然正四棱锥尸-ABCD的外接球的球心。在直线P&上,

令PO=AO=R,贝!JOQ434—R|,

在RSAQO中，ie=Ab2=AC^+OO^=32+（3A/3-7?）2,解得尺=2石，

44/—l

所以该四棱锥的外接球体积为V=-TtR3=-Ttx（2A）3=32g兀.

故答案为：32岛

【典例7］（2023•高三课时练习）边长为1的正四面体内切球的体积为（）

A巫B.正C.-D.典

8126216

【答案】D

【解析】将棱长为1的正四面体补成正方体型则该正方体的棱长为冬

设正四面体ABCD的内切球半径为,，正四面体ABCD每个面的面积均为如乂仔=@,

44

由等体积法可得VA_BCD=^=|r（+S/D+5AA+SABCD）=y八解得'=存，

因此，该正四面体的内切球的体积为V=g兀x（杏）=京兀.

故选：D.

【题型训练1-刷真题】

一、单选题

1.（2022.全国•统考高考真题）己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3g和4后，其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.10071B.1287rC.144兀D.192K

2.（2022.全国•统考高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.；C.立D.受

3232

3.（2022.全国.统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，

且3V/V3石，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

D.[18,27]

A.B.7彳C.

4.（2021.全国•统考高考真题）已知42,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_L3C,AC=3C=1,

则三棱锥O-ABC的体积为（）

B.B「V2

A.县D.叵

121244

二、填空题

5.（2023•全国•统考高考真题）已知点S,A,8,C均在半径为2的球面上，AABC是边长为3的等边三角形,

SA_L平面A3C,则&4=

【题型训练2-刷模拟】

一、单选题

1.（2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为

C.3c兀

A.兀B.3兀D.一

4

2.（2023秋•四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足AB=CD=m，AD=BC=5

AC=BD=2,且该四面体A3CD的外接球的表面积是（）

A.2兀B.6兀

6兀

C.—D.4兀

11

3.（2023・全国•高三专题练习）在直三棱柱ABC-ABC中,AB1.BC,SC=1,AB=6，M=2A/3,贝U该

直三棱柱的外接球的体积为（）

4.（2023秋・四川眉山•高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球

的球面上，则该圆柱的体积为（）

C兀一3兀一兀

A4.兀B.—C.——D.—

244

5.（2023•河南郑州•校联考二模）如图，在三棱锥A—BCD中，AD=CD=2,48=8。=AC=2后，平面

平面4BC,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）

D.____「

A.12KD.8兀

6.（2023秋・江苏南通•高三统考开学考试）己知"1BC是边长为4的等边三角形，将它沿中线AD折起得四

面体A-BCD,使得此时8c=2后，则四面体A-BCD的外接球表面积为（）

A.1671B.187：C.2UD.28兀

7.（2023•山西吕梁•统考二模）在三棱锥P—ABC中，已知24,底面ABC,CA=CB=PA=2,AC1BC,

则三棱锥P-ABC外接球的体积为（）

A.16KB.4A/3KC.48KD.12后

8.（2023•四川成者B•校联考二模）在三棱锥产一ABC中，PA=PC=2而,AC=4忘，ABC=90°,平面

PACL平面ABC,若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的表面上，则球。的半径为（）

A.2代'C.275

9.（2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试）在三棱锥尸-ABC中，AASC是边长为3的等边三角形，侧棱

24,平面ABC,且PA=26，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.32兀B.28兀C.267rD.24兀

10.（2023春•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥尸-ABCD的体积是36如，

底面ABC。是正方形，AF4B是等边三角形，平面平面A3CO,则四棱锥P-ABCD外接球表面积为

（）

A.8971B.8871C.847tD.81兀

11.（2023•江西南昌・南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，高为&,

AD=2娓,AB=2,ABLPD,PA=PD,则四棱锥P—ABCD的外接球的表面积为（）

256

A.12巫TiB.48&7iC.367tD.飞一兀

12.（2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试）已知在三棱锥P-ABC中，B4+BC=4,AB1AC,PAL平

面ABC,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积的最小值为（）

A.兀B.4兀C.8兀D.12n

13.（2023秋・湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球。内接三棱锥BCD,AC,平面

BCD,BDLCD.若BD=1,球。表面积为97r.则三棱锥A-3C。体积最大值为（）

A.1B.-C.—D.一

322

14.（2023秋•四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足AB=C£）=6，=BC=6，

AC=3D=2,且该四面体ABC。的外接球的球半径为与，四面体的内切球的球半径为凡，则5的值是（）

A.y/ilB.—C.yf6D.—y[6

33

7T

15.（2023•河南开封•统考三模）在三棱锥P—ABC中，PA=AB,PAABC,ZABC=-,AB+BC=6,

2

则三棱锥P-ABC外接球体积的最小值为（）

A.8瓜TIB.16A/6TIC.24巫nD.32A/6K

16.（2023・河南•统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体，设

它的体积为％,它的内切球的体积为丫2,则匕：匕=（）

17.（2023.福建宁德.校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的

半径为（）

A,反B,2（省+1）

33

C.2（G）D,4叩）

33

18.（2023•全国•高三专题练习）已知四棱锥尸-ABCD的各棱长均为2,则其内切球表面积为（）

A.(8—26)兀B.(8-473)71

C.(8-6百)兀D.(8-3如)兀

19.（2023・全国•高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为

A.373:1B.5:1C.551D.6:1

20.（2023・湖北・统考二模）已知直三棱柱ABC-4耳£存在内切球，若A5=3,BC=4,AB,则该三棱

柱外接球的表面积为（）

A.26TrB.27兀C.2871D.29兀

21.（2023春・贵州•高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3,高为",则三棱锥P—ABC

的内切球的表面积为（）

3兀

A.—B.3兀C.6兀D.1271

2

22.（2023•全国•高三专题练习）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为血，

则该圆台的体积为（）

A7夜兀D14V57r「24y/2ji门250兀

3333

23.（2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥尸-ASC中，ZAPB=90°,其内切

球半径为广，外接球半径为R，则£=（）

R

A

AV3-1R2（6+1）V6-V2N/6+V2

3966

24.（2023秋•浙江丽水•高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体

3-ACD体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）

A.-B.-C.—D.—

351012

二、填空题

25.（2023・全国•高三专题练习）在矩形A3CD中，AB=1,8C=0,上4,平面ABC。，PA=1,四棱锥

尸-ABCD的外接球的表面积为

26.（2023秋・四川眉山•高三校考开学考试）已知正三棱柱ABC-44G的底面边长为6,三棱柱的高为2代,

则该三棱柱的外接球的表面积为.

27.（2023秋・重庆・高三统考阶段练习）正三棱锥P-ABC底面边长为2,"为48的中点，且PMLPC,则

正三棱锥P-ABC外接球的体积为.

28.（2023・河南.统考模拟预测）在菱形ABC。中，AB=5,AC=6,AC与3。的交点为G,点N分

别在线段ADCD上，且CN=；ND,将AMND沿MN折叠到△W。，使G〃=20，则三

棱锥D-ABC的外接球的表面积为.

29.（2023秋•河北秦皇岛•高三校联考开学考试）三棱锥尸-ABC中，AB，3cp在底面的射影。为AABC

的内心，若AB=4,8C=3,尸0=5,则四面体PASC的外接球表面积为.

30.（2023秋・湖北•高三孝感高中校联考开学考试）在“ABC中，AB=AC=ylW'3c=2,将AA6C绕着

兀

边BC逆时针旋转2号后得到ADBC,则三棱锥O-ABC的外接球的表面积为.

31.（2023春•江西南昌•高三南昌市八一中学校考阶段练习）四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为菱形，PDA.

TT

底面ABC。，ACC[BD=O,若PD=2,ZPAD^ZBAD^-,则三棱锥尸―COD的外接球表面积为.

32.（2023•四川绵阳•绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形ABCD中，分别为线

段AB,3C的中点，连接DE,DF,EF,将AADE,ACDF,A3£F分别沿。瓦。REF折起，使A,8,C三点重合，

得到三棱锥0-。历，则该三棱锥外接球的表面积为.

33.（2023秋・河南周口•高三校联考阶段练习）已知一个圆台内切球的半径为0,圆台的表面积为14兀,

则这个圆台的体积为.

34.（2023•全国•高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2,高为4万，则该圆锥的内切球表面积为.

35.（2023•全国•高三专题练习）已知三棱锥尸-A5c的所有棱长都相等，现沿R4,PB,PC三条侧棱剪开，

将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2而，则三棱锥P-ABC的内切球的体积为

TT

36.（2023•湖南长沙・雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=3,AD=2,ZBAD=^,

现将△ABD沿直线8。翻折，得到三棱锥A-3CD,若4肥=近，则三棱锥A-3CD的内切球表面积

为.

77

37.（2023・全国•高三专题练习）己知菱形ABCD的边长为1,ZADC=-,将"DC沿AC翻折，当三棱

锥ABC表面积最大时，其内切球表面积为.

38.（2023・全国•河南省实验中学校考模拟预测）己知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该球的体积

为36万，则该四棱锥体积的最大值是.

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、外接球

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体

的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还

要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起

到至关重要的作用.

二、内切球

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的

是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到

各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥

的高，用体积法来求球的半径.

【常用结论】

①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直

角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等于长方体的体

对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径

.____________+〃2+2

为R,则2R=后两不？.）,秒杀公式：烂=—4—.可求出球的半

径从而解决问题.有以下四种类型:

②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径

等于长方体的体对角线长，即2RH+C?（长方体的长、宽、高分别为a、b、c）.秒杀公式：箸="+；+]

（三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z）.可求出球的半径从而解决问题.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体

的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算

术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如

下图，由对称性可知球心0的位置是4ABC的外心01与4A,BiCi的外心。2连线的中点，算出小圆01的半

力h2

径A0i=r,OO\=-,/.R2=r2+一.

④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型,可补为直棱柱内接于球，由对称性可知

球心O的位置是仆CBD的外心01与AA&6的外心。2连线的中点，算出小圆01的半径4。1=厂，。。尸-

⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面

A8CJ_平面BCD,如类型I,△ABC与△8。都是直角三角形，类型II,AABC是等边三角形，△BCD是

直角三角形，类型m,AABC与ABCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与4BCD的外心作该三

角形所在平面的垂线，交点。即为球心.类型IV,△ABC与△8C。都一般三角形，解决方法是过△80的

外心。1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题.设三棱锥A—的高为加外接球的半

1氏2=3+机2,

径为R,球心为O.△BCD的外心为01,01到BD的距离为d,0与01的距离为m,则J

[Rz=dz+（h—mY，

解得R.可用秒杀公式：R2=rJ+r22—!（其中ri、厂2为两个面的外接圆的半径，/为两个面的交线的长）

AAA

BC

Q

D

类型ni

⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.秒杀公式：尺=^^（其中人为几何体

的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心）

⑦内切球思路：以三棱锥尸一ABC为例，求其内切球的半径.

方法：等体积法，三棱锥尸一ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和;

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为广，球心为O,建立等式：Vp-ABC^Vo-ABc+Vo-PAB+VO-PAC+VO-PBC^Vp-ABC

^Vp-ABC3V

第三步：解出厂1__________________________________________________________________——.

So-ABC~^~So-PAB~^~So-PAC~^~So-PBC5表.

二、题型精讲精练

【典例1】（2023•浙江•高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36%的球面上，则该正

四面体的棱长是.

【答案】2瓜

【解析】如图所示：

因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为耳，

则正四面体为A-CBI2，

设球的半径为R,则4万炉=361，

解得R=3,

所以AG=6则正方体的棱长为273,

所以正四面体的棱长为g=2",

故答案为：2瓜

【典例2】（2023•河南.开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCZ）中，AB=CD=2也，AC=BD=回,

AD=BC=^＞则四面体A8CQ外接球的体积为（）

A.4571B.心反C.竺反D.24后

22

【答案】C

【解析】设四面体A5CD的外接球的半径为凡

则四面体ABCD在一个长宽高为。，瓦c的长方体中，如图,

a2+b2=2Q,,,

则L'+c?=29,故/=①+方+/=叵,

a2+c2-4122

CtIC—*"+

故四面体相。外接球的体积为八抑、加邛L吟,

故选：C

【典例3]（2023•黑龙江齐齐哈尔・高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱ABC-44G的

所有顶点都在一个表面积是40万的球面上，且AB=AC=AAl,^BAC=120。，则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+8^B.8+12^C.8+16若D.16+12括

【答案】D

【解析】设AB=AC=44]=2〃?，因为/B4C=120。，所以NAC3=30。.

2m

于是=。是外接圆的半径），r=2m.

sin30

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半,

所以球的半径为厄示+m=y/5m

所以球的表面积为4兀•（百"）=40兀，解得机=0.

因此AB=AC=A4,=20,BC=2瓜

于是直三棱柱的表面积是

2x2夜x2血+2而x20+28、2@2缶inl20。=16+12技

2

【典例4】（2023•安徽宣城•高三统考期末）在三棱锥尸-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱

B4,平面ABC,且丛=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为.

【答案】28TI

【解析】根据已知，底面AABC是边长为3的等边三角形，PAL平面ABC,

可得此三棱锥外接球，即以U1BC为底面以24为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上下底面的中心分别为M,N,则外接球的球心。为的中点,

△ABC的外接圆半径为r=AN=-3=6，d—ON=—PA—2,

一322

所以球的半径为R=Q4==币,

所以四面体P-ABC外接球的表面积为5=4成2=28兀，

故答案为：287t.

【典例5】（2023・四川乐山•高三期末）已知正"RC边长为1,将AABC绕BC旋转至△DBC,使得平面

ABC4平面BCD,则三棱锥£>-ABC的外接球表面积为.

【答案】+

【解析】如图,

取BC中点G,连接AGQG,则AGL3C,DG1BC,

分别取AABC与ADBC的外心瓦尸分别过E,尸作平面48c与平面。8c的垂线，相交于O,则。为四面体

A—BCD的球心,

由AB=AC=£®=OC=3C=1,

所以正方形。的的边长为孑，则。G=_7|

~~6~,

所以四面体A-3CD的外接球的半径R=yl0G2+BG2=J洋j+仁：=日

球。的表面积为47tx

5兀

故答案为：y.

【典例6】（2023•山东滨州•高三校考期中）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3VL侧棱长为6,则

该四棱锥的外接球的体积为

【答案】32百兀

【解析】如图，PQ是正四棱锥尸―ABCD的高，而AB=30,PA=6,则4。=苧=，等=3,

POl=JPT-AO：=34,显然正四棱锥尸-ABCD的外接球的球心O在直线PQ上,

令PO=AO=R,则OQ=|3g—R|,

在Rt^AOQ中，R2=AO2=AO^+OO^=32+（3A/3-7?）2,解得R=2^,

44/-1-

所以该四棱锥的外接球体积为丫=1位3=]兀X（2月）3=3267r.

故答案为：32石兀

【典例7]（2023・高三课时练习）边长为1的正四面体内切球的体积为（）

瓜71正D.典

~s~12216

【答案】D

【解析】将棱长为1的正四面体的）补成正方体血则该正方体的棱长为专,

设正四面体ABCD的内切球半径为r,正四面体A3CD每个面的面积均为正x『=立,

44

r

由等体积法可得匕BCD=—=~（5AASC+SAACD+SAABD+SABCD）=—r9解得r=逅，

zi-O]23\/\nm>/\Ac/\f\mj/\r><,/f,312

因此，该正四面体的内切球的体积为v=g兀x（系]=黑兀.

故选：D.

【题型训练1-刷真题】

一、单选题

1.（2022.全国•统考高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3g和4后，其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.128无C.144nD.192兀

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小4,再根据球心距，圆面半径，以及球的半

径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小小所以2々=小区,24=小生，即/=3,4=4,设球

sin60°sin60°

心到上下底面的距离分别为4,当，球的半径为R,所以4=，*一9,〃2=J&-16,故|4-4|=1或

4+人=1,即|病万一病叫=1或7F万+VFJ=1，解得笈=25符合题意，所以球的表面积为

S=47tR2=1007t.

故选：A.

2.（2022.全国.统考高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.；C.BD.—

3232

【答案】C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值

为2/,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体

积最大时其高的值.

【详解】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,

设四边形ABCD对角线夹角为二，

2

贝!1sAsco^-ACBDsina<-ACBD<-2r-2r=2r

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r?

又设四棱锥的高为M则产+/=］,

当且仅当r2=2/12即6=4时等号成立.

故选:C

［方法二］：统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为r,贝!Jr=走a,

2

所以该四棱锥的高

22A

（当且仅当卜g即"二时，等号成立）

所以该四棱锥的体积最大时，其高〃=

故选：C.

［方法三］:利用导