2024年高考数学模拟卷2（新高考专用）（解析版）

2024年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求.

1.（5分）（2023・西藏拉萨•统考一模）已知全集0={-1,3,5,7,9},C/={T,9},B={3,7,9},贝U

ACIB=（）

A.{3,7}B.{3,5}C.{3}D.{9}

【解题思路】根据补集、交集的知识求得正确答案.

【解答过程】因为U={—1,3,5,7,9},C„X={-1,9},所以4={3,5,7},

因为B={3,7,9},所以4nB={3,7}.

故选：A.

2.（5分）（2023•山东潍坊・统考模拟预测）已知i是虚数单位，若非零复数z满足（l-i）z=|z『，则后=

A.1B.-1C.iD.-i

【解题思路】设2=。+历(。力£/?),利用复数的乘法、复数的模长公式以及复数相等可得出。、b的值，可

得出z的值，由此可求得已的值.

【解答过程】设z=Q+bi(a,bER),则(l-i)z=(l-i)(a+bi)=(a+b)+(b-a)if

由(1—i)z=可得(a+b)+(b—a)i=a2+b2,

22

所以，［bZ^Ob'又因为z70,所以，a=b=l,则z=l+i,故含=L

故选：A.

3.(5分)(2023•全国•模拟预测)已知向量2=(%,1),b=(2,y),c=(x,y).^(a+K)1(a-b),且之〃石

，则向=()

A.也B.FC.A/5D.A/6

【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(Z+b).(a-b)=a2-fa2=0,然后利用向量

的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得的值，进而计算向量"=0,y)的模.

【解答过程】因为"=(X,l),b=(2,y),

—>—>—>—»__—>—>—>—>—>2—>2

由(a+b)_L(a—b)可得，(a+b)•(a—b)=a—b=0,

即(j+l)-(4+y2)=o,整理得j一；/=3

又因为ZII无所以町=2,

联巾蓑片,解得口或疼；

故+j/=木,

故选C.

4.(5分)(2023•江苏苏州•校联考模拟预测)江南的周庄、同里、角直、西塘、鸟镇、南潺古镇，并称

为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水

乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的

有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（）

2314

A.B.5C.gD.j

【解题思路】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法求概率即可.

【解答过程】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有d=15种情况，

C1C1Q

只选一个苏州古镇的概率为p=F=+

故选：B.

5.（5分）（2023•全国•模拟预测）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，已知。2=1,S4=8.若与―2%=6

,贝!!几=（）

A.5B.6C.7D.8

【解题思路】设等差数列的公差为d,由等差数列的通项公式和前几项和公式列方程组，解方程求出内

,d，即可求出品,Sn,代入%—2%=6即可得出答案.

【解答过程】设等差数列｛4｝的公差为d.由条件可知4a；+6d=8,解得［%=2；

142n2

所以%i=—1+2（n—1）=2n—3,Sn=^_n_2n.

由5n—24=6,得？12—2几—2（2兀—3）=6,即九之―6几=0,解得n=65=0舍去）.

故选：B.

6.（5分）（2023•山东•山东省校联考模拟预测）已知函数/（%）=Asin（a%+⑼5>0⑷>0）的部分图

象，则/6）=（）

A.-1B.-V2C.-D.-2

【解题思路】由图象求得函数解析式，可求fg).

［解答过程】函数/(%)=Asin(ajx+cp),

由图象可知,4=2,

函数最小正周期为T,有［=2一卜2)=0则7=5=1，3=3,

得/(%)=2sin(3x+(p),

由/(一/=2sin)3(—/+司=2sin(—g+g)=2,取口=

则/(%)=2sin(3x+司,

7TC

=2sin彳=

故选：B.

22

7.(5分)(2023•全国•模拟预测)已知双曲线C:。—今=l(a>0力>0)的右焦点与实轴的右端点分别为点

ab

F,A,以点力为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P,。为坐标原点.若AOPF为等腰三角

形，则双曲线C的离心率e=()

A.平B.72C.率D.遂或科

【解题思路】设渐近线版一@=0,由点到直线的距离公式求出点2(a,0)到渐近线的距离，得出1。「1,再分

类讨论aOPF为等腰三角形，分别求解即可.

【解答过程】如图，不妨取渐近线bx-ay=O,则点4(a,0)到渐近线的距离d

yjb+ac

22

所以|。P|=2yja-d=~~y

2Q2C

若|。尸|=|0F|,则2=c,所以离心率？=£=”；

cccbe

若|0P|=|PF|,则点P的横坐标x=2，将％=5代入bx-ay=0,得点P的坐标为(目元)，

若|OF|=|PF|,取。P的中点E,连接EF,

由等腰三角形三线合一知，EF1OP,

连接E4由垂径定理知，EA1OP,显然矛盾，故|OF|=|PF|不成立;

综上，双曲线C的离心率为”或退，

故选：D.

->

X

8.(5分)(2023•河北邢台•宁晋中学校考模拟预测)已知/(%)=¥+cos%,xER,若a=/,£)/=/

力则

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】借助导数先分析函数/(x)的性质，由偶函数性质可得=构造函数先比较sin：

1―1

与4的大小关系，结合/(%)单调性可得a、c之间的大小关系，同理比较e4与4的大小关系即可得b、c之间的

大小关系.

【解答过程】f(%)=2%—sin%,令g(%)=2x—sinx,则g(%)=2—cosx>0,

故g(%)=2%—sin%在％ER上单调递增，又g(0)=0—0=0,

故当％NO时,/(%)=g(x)>0,故/(%)在［0,+8)上单调递增，

又/(-%)=¥+cos(-x)=x2+cosx=/(%),故f(%)为偶函数，

故a-c=小星)-/卜：)=《sin：)—用，

I

令无(%)=sinx—x,则九(%)=cosx—1<0,

故M%)在R上单调递减，故外)Vh(0)=0,即有sin［v］,

由/(%)在［0,+8)上单调递增，故/卜也［)一/6)<0,

即a<c-

由e4>e-1=|>故/(e即b>c,

综上可得：a<c<b.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）（2023•全国•模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480

名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，

则（）

老年教师30%中隼教师40%

-青年女教师

青年男教师96人

A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同

B.派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%

C.派遣的老年教师有144人

D.派遣的青年女教师有15人

【解题思路】利用分层抽样结合各比例关系求解

96

【解答过程】因为旃=0.2,

所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%,

则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的1-30%-40%-20%=10%,

则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%,故A,B正确；

派遣的老年教师人数为150X0.3=45,故C错误；

派遣的青年女教师的人数为150x0.1=15,故D正确.

故选：ABD.

10.（5分）（2023•山西临汾•校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体2BCD-力避£。1中，点E,尸

分别为棱D%，的。1的中点，点G为线段上的一点，则下列说法正确的是（）

A.ArGLBJ）

1

B.三棱锥的体积为§

4

C.直线4方与直线所成角的余弦值为§

D.直线&G与平面所成角的正弦值的最大值为孚

【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法解决位置关系的角度距离问题.

【解答过程】以。为原点，石?，沆，西的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系，

贝|」。（0,0,0）/（2,0,0）夙2,2,0）,式0,2,0）,。1（0,0,2）/1（2,0,2）凡（2,2,2）£（0,2,2）,£（0,0,l）,F（0,l,2）,

=(-2,-2-2),A£=(—2,2,0),BC1=(-2,0,2),

=4-4=0,=4-4=0,则时1人「1BC[,

1BCrAiCyBC]u平面AiBCpA1C1nBC1=C1；

B/J.平面&BC],&Gu平面A/C],A1G1B^D,A选项正确；

正方体中有AB"%6,4Bu平面4BE,平面ABE,/C]〃平面4BE,

1112

V=VVV=S

B-AEFF-ABE=D^-ABE=B-AED±3AAED1=

即三棱锥B-4EF的体积为I，B选项错误；

--*/、--*/、rt/----->-----AF-BE4—2+24

AF=(-2,1,2),BE=(-2,-24),则cos(4F,BE)=।丽〔函=3x3=;

4

所以直线4厂与直线BE所成角的余弦值为亨C选项正确；

砺=(2,2,0),西=(0,2,2),设平面的一个法向量7=(%,z),

An-DB=2%+2y=0,一

则t有1•西=2y+2z=0,令Ay=-l，则"=Lz=l,n=(1-1,1),

设LG=AgB,0</l<1,贝必iG=A1C1+CrG=711cl+XC^B=(-2,2,0)+4(2,0,—2)=(22-2,2,-22)

直线4G与平面BDq所成角的正弦值等于|cos(碇川I=平=23；/+；

当4=1时，直线41G与平面BDC1所成角的正弦值的最大值为竽，D选项正确.

故选：ACD.

11.(5分)(2023•山东泰安•统考模拟预测)已知抛物线C:¥=4y,。为坐标原点，F为抛物线C的焦点,

准线与y轴交于M点，过点F作不垂直于y轴的直线Z与C交于4B两点.设P为y轴上一动点，Q为4B的中

点，且4B1PQ,贝I]()

A.当|4F|=3|FB|时，直线2的斜率为士1

B.\AB\>2|PF|

C.\BF\(\MA\+\MB\)=2\MB\\PF\

D.若正三角形△ODE的三个顶点都在抛物线上，则△ODE的周长为4平

【解题思路】设直线I的方程为丫=入+1,联立方程，禾U用根与系数的关系及M川=3由8|求后，可判断

A,由点差法及垂直关系，抛物线的定义可得以川=2|PF|判断B,由心”+嫌凶=0可得时?平分N4M8,

据此可判断C,根据正三角及抛物线的对称性求出DE坐标即可判断D.

【解答过程】如图,

对于选项A,设过焦点F（O,1）的直线1的方程为y=依+1,8（%2必），

（y=kx+1/2

由24，得%—4々%—4=0,・・・％i+%o=4k,x.x=-4,

x=4y1212n

由以尸I=3|尸川可知一勺=3%2,代入久1+%2=4匕得%1=6k,x2=-2fc,

由久1%2=-4，#-12k2=-4,/.fc2=I，则4=±',故A正确.

对于选项B,F（0,l）,设点Q的坐标为（X。,%），则2%0=叼+2，2yo=、1+、2.

2.

XI=4%,.、y-L-yixi+x2xoxo

由‘久“得君7—经软为一左），所以;亏则直线/的斜率为不

七=4巧12

27

因为4B1PQ,所以直线PQ的斜率为一彳，则直线PQ的方程为、一%==（%-和）-

x0u“0u

令x=0,则丫=%+2,所以点P的坐标为（0%+2）,

则招尸1=%+2—1=%+1.

由抛物线的定义可知，MB|=\AF\+\BF\=yi+y2+2=2y0+2,

所以MB|=2|P"，故B错误.

%+1+1

对于选项C,因为%”+与“=父+二1

fcVi+2kx2+22fct52+2&i+々)2kx(-4)+2x(-4。

=~=--------------------------=---------------=4-------------=。，

所以直线2M与直线BM关于y轴对称，即MF平分N4MB,

UMI\AF\\AM\+\BM\|4F|+\BF\\AB\2\PF\

所以历历=丽，则一\BM\—=―\BF\—=丽=而「

整理得|BF|(|M4|+\MB\)=2\MB\\PF\,故C正确.

对于选项D,设。(叼)3)，?(%4/)，因三角形。0E为正三角形，

则|。。|=|OE|=x；+y：=xj+yj,

T72A

又叼=4丫3，x4=4y4,

则4(丫3->4)=城一/二小「内乂九+为+4)=。.

因丫3，丫4>0，则口4=丫3=%4+%3=0・

,”=典,=4向

则――3=?112，则。(-4&12),E(4p,12).

得△ODE的周长为240，故D错误.

故选：AC.

12.(5分)(2023•河北保定•统考二模)已知函数fO)=aJ_3%+1,则()

A.”x)在［—1,1］单调递减，贝心>1

B.若a>0,则函数”0存在2个极值点

C.若a=l,则/'(%)有三个零点

D.若/(%)20在［-1,1］恒成立,则a=4

【解题思路】依题意若f(x)在［-1,1］单调递减可求得aW1,可知A错误；若a>0,可判断出函数/G)的单

调性，即可求出函数/(%)存在2个极值点，即B正确；将a=1代入可得出函数f(x)的单调性并画出图象即

可知C正确；利用参变分离并根据单调性求出函数最值即可得出D正确.

【解答过程】易知函数/G）的定义域为R,且/（x）=3a7—3,

若"x）在［—1,1］单调递减，可得/（X）<0在［—1,1］上恒成立，

即ajw1在［_U］上恒成立，当％=0时，a为任意值时都成立，

11

当xe［-1,0）u（0,1］时，可得aw下，易知xe［—1,0）u（0,1］时，-^e［1,+℃）；

XX

1

即函数y=”在xe［―1,0）u（0,1］上的最小值为1,

X

所以可得aS1即可，可得A错误；

若a>0,令八幻=3a/-3=0,可知方程3ax3=。有两个不相等的实数根和一任,

所以当久G（-8,一上）ud+8）时f⑺>0；xe（-Jl，心时八公<0；

即八功在卜8,一4），（4,+8）上单调递增,在卜上单调递减,

所以函数八%）存在2个极值点，即B正确；

若a=l,则/'（尤）=3%2-3,易知xe（-8,-1）U（1,+8）时/（久）>o；xe（-1,1）时/（%）<0；

即/（X）在（一8,-1）和（1,+8）上单调递增，在（一1,1）上单调递减，

所以f（x）的极大值为八一1）=3>0,极小值f（l）=一1<0；

画出其函数图象如下图所示：

即可知/（无）有三个零点，所以C正确;

若/(%)>0在［-1,1卜恒成立，易知当％=0时，无论Q取何值时，/(X)>0恒成立；

31

当%>0,即0<%<1时，需满足一下恒成立，

XX

〜，、、r/、31/1_，/、633(1—2x)

不妨设M%)=”一万%E(0,1］,可得h(%)=一行+7=4—，

XXXXX

所以当0V%V；时，/l(x)>0,所以九(%)单调递增；

11

当2<久41时，h(x)<0,此时h(%)单调递减；

所以h(%)W/iQ)=%可得a24；

31

当久<0时，即一1<％<0,需满足aW下一后恒成立，

XX

3113(1—2x)'

易知函数y=超一万%E［-1,0)的导函数y=-4—，显然一1<x<0时y>0,

XXX

31

即函数y=三一个在［-1,0)上单调递增，所以Vmin=%

可得aW4；

综上可得a=4,

所以，若f0)20在［―1,1卜恒成立，则a=4,即D正确.

故选：BCD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)(2023・安徽•校联考模拟预测)二项式(乂-2)(1+x)n的展开式中，所有项系数和为-256,则

久2的系数为_-48—(用数字作答).

【解题思路】利用赋值法求得小再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【解答过程】令x=l可得二项式(x—2)(1+以的所有项系数和为—2“=—256,所以n=8.

二项式(1+x)'的展开式的通项公式为Tr+1=C>r=0,1,8,

所以(x—2)(1+x)”的展开式中，¥的系数为c；—24=-48.

故答案为：-48.

14.(5分)(2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测)四棱锥P-力BCD的底面/BCD是平行四边

形，点£、尸分别为尸C、/D的中点，平面2斯将四棱锥P-4BCD分成两部分的体积分别为乙,七且满足

V1>V2'则5=

7

―5—,

【解题思路】利用椎体的体积公式求解.

如图，延长BF,CD交于点G,连接GE交PD于点M,

因为底面48C。为平行四边形，所以与△凡48全等,

且△FDG与aBCG相似，相似比为：

设△FDG的面积为S,则四边形BCDF的面积为3S,

设点P到底面的距离为八,

则％-BCDF=1x3Sx%=Ish,

又因为E为PC的中点，所以，E—DFM=17C-DFM=G-DFM9

而嗫-DFG=拉XE-DFG=G-DFM+'f-DFM=^E-DFMf所以“E-DFM=行见

所以“2=^MECBFD=^E-BCDF+E-DFM=

所以/=VP-ABCD~V2=：x4Sxh-^Sh=[sh,

匕7

所以弓=g，

7

故答案为:王

15.(5分)(2023上•湖北•高三校联考阶段练习)已知0。1：K2+8-2)2=1,。。2：(%-3)2+(y-6)2

=9,过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是"，N,当|PM|+|PN|取到最小值时，点尸坐标为

【解题思路】P(t,0),贝i||PM|+|PN|=卅+3+J(.3)2+27=J(t-0)2+[。—(一两广+

J(t-3)2+(0_3同,可看成点P到两定点力(0,-4)，8(3,30)的距离和，而4B两点在x轴的两侧，所以

AB连线与光轴的交点就是所求点P.

【解答过程】。。1，+(37-2)2=1的圆心为01(0,2),半径q=l,

O。2：0一3)2+(y-=9的圆心为。2(3,6),半径々=3,

设P(t,0),则|PM|=J|PO『-1=a2+4-1=旧+3,

2

IPN|=^|PO2|-3=3)2+6「-9=J(t-3)2+27

所以|PM+\PN\=旧+3+J(t-3)2+27=J(t-O)2+[0-(-A/3)]2+J(t—+(0—3同,

取2(0,—4)，5(3,373)

则|PM|+\PN\=\PA\+\PB\>L4B|=京*帚=@,

当P/,B三点共线时取等号,

此时4B直线：y+P=¥（x—O）

令y=0,则％=取"（刈,

故答案为：（|,0）.

16.（5分）（2023•全国•模拟预测）已知函数/（x）=sin（3x-§（3>0）在卜，亨）上单调递减，在（0,2ir）上恰

有3个零点，贝必的取值范围是—储

【解题思路】先通过有3个零点列不等式求3的取值范围，再通过在卜上单调递减列不等式求3的取值

范围，综合可得3的取值范围.

【解答过程】设t=sx-g,当xe（0,2n）时，te卜三,2113-1，

因为函数/（%）在（0,2冗）上恰有3个零点,

贝!]2冗<2713—：工3ir,解得1V3Ml.

,（3ir\（n3116）n\

当％E（冗，2）时t，tE

因为函数/（久）在卜，?）上单调递减，

'IT71

T13—QZ5+2fell5114k

所以3冗3IT3n,fc6Z,解得％+2kW34豆+.,kEZ,

~2~~J<2+2々豆

L.511

取k=0,则//

-711

综上，石＜34百

故答案为：Q瓦

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

222

17.（10分）（2023•山东・山东校联考模拟预测）记△4BC的内角4SC的对边分别为见hc,已知"

=4.

⑴求be：

acosB—bcosA=1+1,求△ABC面积.

⑵若acosB+bcosA

【解题思路】（1）由余弦定理化简已知等式，可求尻；

（2）由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角力，面积公式求△力BC面积.

???,b2,c2a2zoccos力.

【解答过程】（1）由余弦定理a=b+c-2bccos4得一-—7一=4=2bc=4,

所以be=2.

acosB—bcosAb，一、、

（2）右acosB+bcos4=，+l'由正弦无理，

acosB—bcosAsin^cosB-sinBeos^sinAcosB—sinBcosAsinAcosB—sinBcosA

acosB+bcosA—sin4cosB+sinBeosA—sinQ4+8）—sinC

bb+csinB+sinCsinB+sin（A+B）sinB+sinAcosB+sinBeosA

一c+1=---c--=-----si-n-e----=--------s-i-ne------=-------------si-ne------------

所以一2cos4sinB=sinB,

1

因为BW（0m）,故0<sinBMl,所以cos/=-5,

又Ov/vm所以sin4=*,

故△2BC的面积为S^ABC='bcsinA=^义2乂"=!.

18.（12分）（2023•全国•模拟预测）已知各项都为正数的数列｛%｝满足％=3,a2+a3=36,an=an_1

%+1（n22）,等差数列｛bj满足与=bu=a3-

⑴求数列｛4｝和｛£｝的通项公式；

（2）设数列｛bj的前几项和为与，求数列1%,+最赢）的前n项和7优

【解题思路】（1）根据条件可知数列｛aJ是等比数列，根据等比数列的通项公式结合题中条件解出即可求

得｛%｝的通项公式，继而可求得｛%｝的通项公式；

（2）化简数列［4+占）的通项公式，分成两组进行求和，其中一组用公式求和，另一种？二=；

In°n旬'Jn+2n”

6-+），采用裂项相消求和即可・

【解答过程】（1）因为数列｛、｝的各项都为正数，且［=4_］•%+22）,

所以数列｛aj是等比数列.

设等比数列｛4｝的公比为q（9〉0且勺大1）.

2

由%=3,g+%=36，得3q+3q=36,

BPq2+q-12=0,解得q=3或q=-4舍去），

所以a九=3x3n-1=371.

设等差数列｛4｝的公差为d.

=61+d=3=9,

由题意，得，

%=+10d=3=27,

所以%=7+(n-1)X2=2九+5.

n(n—1)2

(2)因为S”=7n+2x2=n4-6n,

]111

所以，+声=3建+=3"+/-洋

n2+2n

“I/121/11111111

所以7n=(3+3+-+3)+2(1-3+2-4++-+n-^2.

3(l-3n)1/311\

1-3+2\2~n+l~n+2)

3n+132n+3

2~4-2(n+l)(n+2)-

19.(12分)(2023・四川自贡•统考一模)2025年四川省将实行3+1+2的高考模式，其中，“3”为语

文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门,

由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1,再从政治、地理、化

学、生物中4选2,形成自己的高考选考组合.

(1)若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；

(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调

查，得到如下统计数据，写出下列联表中”的值，并判断是否有95%的把握认为“选科与性别有关”？

选择物理选择历史合计

男生a10

女生30d

合计30

2n(ad—bcY

K—(a+b)(c+d)(a+c)(力+d)，

pQO0.100.050.0250.010.005

fc02.7063.8415.0246.6357.879

【解题思路】(1)根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随

机选科，符合二项分布，即可求得答案；

(2)由题意确定a,d的值，计算/的值，与临界值表比较，即得结论.

【解答过程】(1)设物理、历史2门科目为小刀，政治、地理、化学、生物科目为e,b,c,f,

则根据高考选考组合要求共有组合为O，e,b)，0n,e,c),(7n,e,f),(?n,b,c),

(m,b,f),(m,c,f),(n,e,b\(n,e,c\(n,e,f),(n,b,c\(n,b,f),(n,c,f'),共12种，

1

所以一个学生恰好选到“物化生，，组合的概率为P=

1

则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布8(6,适)，

11

故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为6x运=矛

(2)由题意可得a=40,d=20；

所以有95%的把握认为“选科与性别有关”.

20.(12分)(2023•四川凉山•统考一模)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是边长为4的正方

形，PD=2,PB=2^7.

(1)证明：平面PAD1■平面ABCD；

⑵若E为PC的中点，求二面角4-BE-C的余弦值.

1T

【解题思路】(1)在△P4D中，利用正弦定理证得乙4PD=E，再结合面面垂直的判定定理证得结果;

(2)利用空间向量法，求平面4BE与平面力BE的法向量，利用两个法向量的余弦值得到结果.

24

【解答过程】(1)证明：在△PAD中，由—=藏而5,得sin〃PD=L乙4PQe(O,Tr),

sin%

所以=p贝Ijp力=4cos。=2四

又PB=2j,AB=4,

所以PB?=r储+启，即4B_Lpa,

因为aB_LAO,又4。,PAu平面PAD,ADCtPA^A,所以ABI平面PAD,

因为4Bu平面4BCD,所以平面P4D_L平面2BCD

(2)因为四边形4BCD为正方形，则CDII4B,

又因为2BJ.平面P40,贝UCD1平面PAD,

以点。为坐标原点，。人DC所在直线分别为x、y轴，

平面PAD内过点D且与直线4。垂直的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则力（4,0,0）,5（4,4,0）,C（0,4,0）,P（l,0,弗），£（f,2,y）,

所以，（0-4,0）,BE=（-1-2，Y）.BC=（-4,0,0）.

设平面/BE的法向量为]=（勺必/1）,

'u-BA=-4y1=0

贝小一一＞7y/3，取%1=平，则&=（避,0,7）.

u-BE=—^x1—2y1+yZ]=0

设平面BCE的法向量为石=（%2》2/2），

'u.BC=_4x-0

则—亦72邪,取丫2=-群，可得”=（。,一木,一4）,

v-BE=—2%2—2y2+yz2=0

设二面角/-BE-C的平面角大小为氏

u-v—2814,247

则cose=而同=际乖=一二4^，

14A/247

所以，二面角4一BE-C的余法值为—

22

21.（12分）（2023•全国•模拟预测）已知双曲线C2-（=l（a＞0力＞0）的焦点到其渐近线的距离为24

ab

，双曲线C经过点p（4,6）.

（1）求双曲线C的标准方程.

（2）若过点P的直线P4P8分别与双曲线C交于不同的两点4,8,线段4B的中点为M,且直线P4PB的倾斜角

互补，则双曲线上是否存在定点M使得△PMN的面积为定值？若存在，求出定点N的坐标和△PMN的面

积；若不存在，请说明理由.

【解题思路】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可；

3

（2）设直线P4PB方程，利用其斜率表示48、M坐标，得出点M在直线y=-严上，从而判定PN与y=-

3

产平行，求出N的坐标，再求出面积即可.

【解答过程】（1）由题意不妨设一焦点为尸（c,0）,

易知双曲线的一条渐近线为=即bx-ay=0,

则点尸到，的距离d=7：2=b=2后

（b+a

・・,点尸(4,6)在双曲线C上，

1636，工人有，口

=1,结合b=2G,得a=2,

ab

22

双曲线C的标准方程为=1.

(2)显然直线P4PB的斜率均存在且不为0,设直线P4的斜率为匕

贝U直线PB的斜率为一m直线PA的方程为y—6=晨x—4),

,y—6=fc(x—4)

联立直线PA与双曲线方程，得，¥y2,

TF=1

化简得(3—久2—2雇轨一6)久一(16必—48k+48)=0(3—必力0,且A>0).

,、/、/、-(16fc2-48fc+48)

设4(叼%),以%2)2)"(々),匕)),则4、=----然----,

4k2-12fc+124(kZ-3fc+3)

侍"1=A='

6(k2-4k+3)f4(k2-3k+3)6(k2-4k+3)\

将,代入直线PA的方程，得力=…2，则4,2：，…2.

oK'\KJoKJ

/4(/+3々+3)6(/+4k+3)\

同理可得B小，一2.

\k—33—K)

/4(fc2+3)6(k2+3)\

•••4B的中点M的坐标为2,2,

\k-33-kj

记。为坐标原点，连接。M,

3

"koM=~r

3

・•・点M在直线y=一三上，

-e

又k°M-2(SF)，

故经过点尸且与直线OM平行的直线与双曲线有两个不同交点,

则除点P外的另一个交点即为定点N,且满足△PMN的面积为定值,

3Q

易知直线PN的方程为y=-/+12,代入双曲线C的方程，化简得/+48刀-208=0,即(x-4)(x+52)

=0,xN=-52,

3

把%可=一52代入、=一产+12,得yN=90,即定点N(—52,90),

此时|PN|=J(-52-4心+(90-6心=28713,

•­•OM//PN,

•••点M到直线PN的距离d”等于点。到直线PN的距离d。，

1224

则dM="°=Jg二=豆，

1c24

••・S^PMN=2x28gx展=336，

故存在定点N(-52,90),使得△PMN的面积为定值336.

22.(12分)(2023上・河南・高三校联考阶段练习)已知函数外幻=K111%-£1(2/+1)(£1€/?).

(1)若。=一1,求人幻的图象在％=1处的切线方程；

2).

(2)若f(x)有两个极值点Xpx2(叼<%

①求