2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：一元二次方程和它的解法（京改版）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

一元二次方程和它的解法（京改版）

一、单选题

1.（2024北京海淀初二下期中）如图，E,F,G,H分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点

（不与顶点重合），且满足AE=O〃=CG=3产，记AF=x,则下列四个变量中，不存在最小值的是

（）

A.BFB.FEC.FHD.S四边形EFGH

2.（2024北京十一学校初二下期中）若一元二次方程/+；m+1=（）有两个相等的实数根，则机的值是

（）

A.2B.±2C.±8D.±2也

3.（2024北京交大附中初二下期中）用配方法解一元二次方程/+4尤-1=0,配方后得到的方程是

（）

2

A.（x-l）2=5B.（x+2y=5C.（X+1）2=5D.（x-1）=5

二、填空题

4.（2024北京交大附中初二下期中）若关于x的一元二次方程皿2+2x_i=o有两个不相等的实数根，则

m的取值范围为.

5.（2024北京十一学校初二下期中）关于x的方程/+〃a+8=0的一个根为T,则另一个根是—；关

于龙的方程Y+p尤+q=0的两个根分另IJ为—2、5,则P+4的值为.

6.（2024北京海淀初二下期中）如果机是方程必-2》-6=0的一个根，那么代数式2苏-4m-7的值

为.

7.（2024北京交大附中初二下期中）一元二次方程无2=3无的根是.

8.（2024北京清华附中初二下期中）设4，马是方程无2+2x-3=0的两个实数根，则呼+月的值

为.

三、解答题

9.（2024北京十一学校初二下期中）已知关于尤的一元二次方程如2+（2+3加卜+（29+2）=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若加为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出根的值.

10.（2024北京H^一学校初二下期中）解下列一元二次方程

(1)丁-64=0;

⑵x2=2024x;

(3)2%2-4X-2=0(配方法);

(4)2/一3元-2=0(公式法).

n.（2024北京十一学校初二下期中）定义：若再、尤2是方程分2+M+c=0Qr0）的两个实数根，若满足

后r21Txi为，则称此类方程为“差积方程”.例如：=0是差积方程.

（1）下列方程是“差积方程”的是」

①6元2_5X+1=0

②3尤2+8无+4=0

③d—4x=0

⑵若方程（加+2卜+2根=。是“差积方程”，直接写出机的值；

⑶当方程加+bx+c=0（aw0）为“差积方程，，时，写出“b、c满足的数量关系并证明.

12.（2024北京交大附中初二下期中）解方程：N—2x—3=0

13.（2024北京十一学校初二下期中）已知"z是方程N-2x-3=0的一个根，求（根-2）2+（机+3）（加-

3）的值.

14.（2024北京交大附中初二下期中）已知关于龙的一元二次方程X2+（〃L1）X-〃7=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的一根为负数，求机的取值范围.

参考答案

1.A

【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.先证四边形EFG"是正方形，可得

2

FH=y/2EF,SmEFGH=EF,由勾股定理可求EF，=2(AE-2>+8,即可求解.

【详解】解：四边形A38是正方形，

.-.AB^BC^CD^AD,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

AE=DH=CG=BF,

：.DE=AF=BG=CH,

AEF咨BFG(SAS),

同理可得：BFG%CGH(SAS),CGH工DHE(SAS),

EF=FG=GH=EH,ZAFE=NFGB,

四边形EFG”是菱形，

ZBFG+ZBGF=90°,

ZAFE+NBFG=90°,

:.ZEFG=90°,

二四边形EFGH是正方形，

FH=-J2EF,S四边形EFGH=EF-,

EF2=AE2+AF2=AE2+(4-AE)2=2(AE-2>+8,

...当x=2时，E尸有最小值，$四边形郎GH有最小值，

二"F有最小值，

故选：A.

2.B

【分析】根据一元二次方程%2+皿+1=0有两个相等的实数根，得出A=]-4=0,解关于机的方程，即

可得出答案.

【详解】解：二•一元二次方程尤2+侬+1=0有两个相等的实数根，

A=m2—4=0,

解得：m=+2,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程

a^+bx+c=O(a^O),当△=()时方程有两个相等的实数解，A<0时，无实数解，△>()时，有两个不相

等的实数解.

3.B

【分析】根据配方法解一元二次方程的方法求解即可.

【详解】解：X2+4X-1=0

x2+4x=l

x2+4x+4=5

(X+2)2=5.

故选：B.

【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方

法.

4.机〉一1且机

【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；4=4+4机，由一元二次方程有两个不相等

的实数根，可得A>0即可求解；掌握根的判别式“A>0时，方程有两个不相等的实数根；A=。时，方程

有两个相等的实数根；A<0时，方程无实数根.”是解题的关键.

【详解】解：由题意得

A=22-4x(-l)xm

=4+4机,

「方程有两个不相等的实数根,，

/.A>0,m^O,

即：4+4m>0

解得：m>-l,

加〉一1且相.

故答案为：相>-1且加。0.

5.-2-7

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程/+如+8=0的另一个根为s,根据根与

系数的关系可得Ts=8,即s=-2；根据根与系数的关系可得-2+5=p,-2x5=9,即p=3,^=-10,据

此可得答案.对于一元二次方程依2+法+。=0(。中0),若知马是该方程的两个实数根，则

bc

%]+W---,=—.

aa

【详解】解：设方程/+如+8=()的另一个根为s,

.・・-45=8,

：.s=-2；

•・•关于x的方程%之+px+q=。的两个根分别为-2、5,

・，.-2+5=p,—2x5=q,即p=3,^=-10,

夕+g=3—10=—7,

故答案为：-2；-7.

6.5

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.先把加代入方程二―2X-6=0,得到加一2机=6,再代入代数式247,即可求出答案.

【详解】解：把机代入方程/一2》一6=0,

得至(Jm2—2m—6=0,

所以m2-2m=6，

所以代数式2m2—4机—7=2x6—7=5;

故答案为：5.

7.X]—0,X]—3/Xy=3,%2=0

【分析】首先把3x移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案.

【详解】解：d=3x,

移项得：x2—3x=0f

x(x-3)=0,

x=0或x—3=0,

••X]—0,%2=3.

故答案为：&=。，々=3.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，

因式分解法，本题运用的是因式分解法.结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

8.10

【分析】由根与系数的关系，得到西+无2=-2,西丐=-3,然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答

案.

【详解】解：根据题意，

%是方程尤2+2x-3=0的两个实数根，

玉+々=—2,=-3,

:.狞+x；=+%2)~—2网工2=(—2)2—2x(—3)=10；

故答案为：10.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到

+x2=—2,占»x2=-3.

9.⑴见解析

(2)%=1或m=2

【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：

(1)求出判别式的符号，进行判断即可；

(2)因式分解法求出方程的解，根据方程有两个互不相等的负整数根，进行求解即可.

【详解】(1)解：A=(2+3m)--4m(2/??+2)=4+12/?7+9/?J2—8m2—8/?i=zn2+4ZM+4=(/??+2)">0；

方程总有两个实数根；

(2)mx2+(2+3m)x+(2/H+2)=0,

[mx+(2根+2)](x+l)=0,

・・・方程有两个互不相等的负整数根，

二・机=1或机=2.

10.⑴巧=8,x2=-8

(2)再=0，9=2024

(3)玉=+1,%2=-+l

(4)石=2,x2=——

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先移项再直接开平方解方程，即可作答.

(2)先移项再运用因式分解法进行解方程，即可作答.

(3)先把二次项系数化1,再移项，然后配方，再解方程，即可作答.

(4)运用公式法解方程，即可作答.

【详解】(1)解：x2-64=0

炉=64,

解得巧=8,0=-8.

(2)解:X2=2024X,

x2—2024%=0,

x(x-2024)=0,

解得玉=0,%=2024；

(3)解：2f—4x—2=0,

x2—2x—1=0,

—2x=1,

x2—2x+l=l+l=2

：.(X-1)2=2

••x—1=±、/5，

解得Xy=A/2+1,X2=—A/2+1；

(4)解：2f—3%—2=0,

a=2,b=—3,c=—2,

\=b1-4ac=9-4x2x(-2)=25>0,

3土后3±5

Y-----------........

2x24

解得玉=2,x2=――

11.⑴①②

2、

(2)机=］或—2,

(3)/?2—4ac=c2

【分析】(1)分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；

(2)先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解;

(3)根据求根公式求得不，/根据新定义列出方程即可求解.

本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键.

【详解】(1)解：@6X2-5X+1=0,

即(21)(31)=0,

解得：玉=5,%2=§'

231'23

/.6x2-5x+l=0是差积方程；

②3炉+8%+4=0,

即(3x+2)(x+2)=0,

2.

解得占=-§，%2=-2，

-2+浦=(♦(-2),

/.3x2+8x+4=0是差积方程；

③—4%=0,

即x(x-4)=0,

解得：芯=。，9=4,故③不是差积方程；

故答案为：①②；

(2)解：x2~(m+2)x+2m=0,

gp(x-2)(x-m)=0,

解得：项=2,%=加，

x2—(m+2)x+2m=0是差积方程，

/.|2—m|=|2m|,

即2—m=2相或2—nz=-2徵.

2

解得：加=耳或-2,

(3)神尾：ax2+bx+c=0(aw0),

解得：x=』土曲ic

2a

—b+y/b2—4ac—b—y/b2—4ac

-------------,x2-

2a----------2a

ax2+hx+c=0(QwO)是差积方程,

|x,—x21=|七引

即应三#

aa

BPb2-4ac=c2.

12.玉=—1,%?=3

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【详解】解：X2-2X-3=0,

(x+l)(x-3)=0,

x+l=0或%—3=0,

%=—1或尤=3,

故方程的解为芯=-I,%=3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(配方法、因式分解法、公式

法、换元法等)是解题关键.

13.1

【分析】根据方程的根的定义，得到/-2相-3=0,化简得/-2M=3,再化简原式得原式二2(m2-

2m)-5,将m2-2m=3代入原式