2024年高考数学模拟卷（新高考专用）（解析版）

2024年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求.

1.（5分）（2023•全国•模拟预测）已知集合4={0,l,2},B="eZ|，<3},则2uB=（）

A.[0,1}B.{-1,0,2}C.[-1,0,1,2}D.{-1,1,2,3）

【解题思路】根据题意，求得8={-1,0,1},结合集合并集的运算，即可求解.

【解答过程】由集合B={%6Z|x2<3]={-1,0,1）,

又因为4={0,1,2},所以4UB={-1,O,1,2}.

故选：C.

2.（5分）（2023・四川甘孜・统考一模）已知复数2满足（1一。/=3+1其中1为虚数单位，则口=（）

A.邓B.A/5C.3D.5

【解题思路】利用复数的四则运算，结合复数模的计算公式即可得解.

【解答过程】因为（l—i）-z=3+i,

CCI>.3+i(3+i)(l+i)2+4i

所以Z=ET=(1T)(1+i)=1+2i,

则|z|=+4=出.

故选：B.

3.（5分）（2023•四川甘孜・统考一模）已知平面向量标满足的=2面=2,若力6一石），则会与石的夹

角为（）

【解题思路】根据向量垂直及数量积运算律、定义可得1-2COSG，3）=0,即可求夹角.

【解答过程】由题设ZG-B）=/一之，石=0，而向=1,|力=2,

所以1—2cos(a,b)=0=>cos{a,b)=a,(a,b)E[0,it],

所以（a,3）=g.

故选：B.

4.（5分）（2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛

于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8

公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到/、

8两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为

（）

A.15B.30C.25D.16

【解题思路】当两组人数分别为1和4时，2和3时两种情况，结合排列组合知识求出答案.

【解答过程】5名志愿者分为两组，

当两组人数分别为1和4时，此时有=10种情况,

当两组人数分别为2和3时，此时有=20种情况，

综上，不同的安排方案总数为10+20=30.

故选：B.

5.（5分）（2023•全国•模拟预测）已知S”为等差数列｛4｝的前n项和，ay+2ag+a17=24,贝口2。=

（）

A.240B.60C.180D.120

【解题思路】利用等差数列的性质以及前几项和公式求解即可.

【解答过程】因为数列｛%｝为等差数列，所以。7+209+47=2%+2。9=24,

所以。12+%=12，

20（a1+a20）

所以$20=----2----=1。（旬+。2。）=1。（旬2+%）=120.

故选：D.

一%2y2

6.（5分）（2023•全国•模拟预测）在直角坐标系％。y中，椭圆「迅+芝=1（。>b>0）的左顶点与右焦点

ab

分别为4尸，动点P在「上（不与「左、右顶点重合），Q为平面内一点，若丽=3而，且NPHF="OF,则

r的离心率为（）

1112

A.2B.3C.4D-5

【解题思路】利用椭圆的方程与性质，以及数形结合思想即可求解.

【解答过程】如图所示：

因为NP4F=40F,所以。Q〃4P,

------»------»\AU\Kvl

又PF=3QF,所以的=丽=2，

c1

所以M0|=2|0F|,即a=2c,所以「的离心率e=2=子

故选：A.

7.(5分)(2023•广东•统考二模)如图，直线y=1与函数/(久)=4sin(3久+神(4>0,3>0,|<p|的图

象的三个相邻的交点为/,B,C,且|AB|=m\BC\=2TV,则f(久)=()

„2平.(2nD—sm(x+^

L/•3,Ji141।2j

【解题思路】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出3排除BD,再由x=0区分AC即可得解.

【解答过程】因为|BC|=2TT,

所以相邻两对称轴间的距离扛八=1，即周期T=3TT,所以S=U，

排除BD,

当x=0时，代入f(x)=2sin(|x+J可得f(0)=p>l,满足题意，

代入/'(%)=卷L11修X+0，可得/'(0)=与x5=1,不符合题意，

故A正确C错误.

故选：A.

8.（5分）（2023•安徽•校联考模拟预测）己知f（久）是定义在R上的偶函数，函数g（x）满足g（久）+g（-久）

=0,且/G）,g（x）在（-8,0］单调递减,则（）

A./（g（x））在［0,+8）单调递减B.g（gO））在（一8,0］单调递减

C.gJCr））在［0,+8）单调递减D./（/0））在（一8,0］单调递减

【解题思路】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.

【解答过程】由题意知/（X）在［0,+8）单调递增，g（x）为奇函数，在R上单调递减.

设03%1＜与，则9（叼）＜9（%1）-0;/（。（马））＞/（9（乂1）），

所以/（g（x））在［0,+8）单调递增，故A错误，

设/〈々wo，贝＞9（々），g（g（xj）＜g（g（%2）），

g（g（x））在（—8,0］单调递增，故B错误；

设℃1＜々，则/（/）＜/（々），g&aj）＞g（f（%2）），

所以g（7■（＞））在［。,+8）单调递减，故C正确；

2

取/'（%）=比2-1,则/（/（X））=（¥-1）-1,/（/（0））=0,/（/（-1））=一1,此时/■（/（%））在（一8,0］不单调递

减，故D错误.

故选:C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）（2023•广西玉林•校联考模拟预测）随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我

国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平

的指标，下面是2017〜2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（）.

2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计

A.2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多

B.2017〜2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元

C.2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%

D.2019年我国的GDP不达100万亿元

【解题思路】由图表结合统计相关知识逐项判断可得答案.

【解答过程】由图表可知，2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增

长为16.7-14.9=1.8万亿元，故A错误；

因为6X70%=4.2,则70%分位数为第5个，即为16.7,

所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B正确；

由图表可知，2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,故

C正确；

由图表可知，2022年我国的GDP为17.8+14.7%~121.1万亿元，故D错误.

故选：BC.

10.（5分）（2023•云南大理・统考一模）如图，正方体43。。-4避1%£>1的棱长为1,则下列四个命题正

确的是（）

A.正方体4BCD-的内切球的半径为》

TT

B.两条异面直线D]C和Bq所成的角为？

C.直线2C与平面力BC/i所成的角等于:

D.点。到面4C%的距离为5

【解题思路】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接ac,c%,把异面直线和8C1

所成的角的大小即为直线Z\c和所成的角，△4CD1为正三角形，可判定B正确；证得/CL平面2BC1

D?进而求得直线BC与平面AB%。]所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到%ACD=VDACD,

进而可判定D错误.

【解答过程】对于A中，正方体4BCD-力避£。1的内切球的半径即为正方体488-4避1。31的棱长的一

1

半，所以内切球的半径R=2,所以A错误.

对于B中，如图所示，连接4C,C£)i，

因为人//的％且48=4%,则四边形48C/1为平行四边形，所以Be/"%,

所以异面直线和8好所成的角的大小即为直线%C和4%所成的角乙44C的大小,

又因为4。=4。1=。山="，则△AC%为正三角形，即乙4£>iC=。所以B正确;

对于C中，如图所示，连接与c,在正方形BBiJC中，BC1A.BQ

因为4B1平面B%CiC,u平面所以ABIB/.

又因为ABnBCi=B,48<=平面4町外町u平面4叫外

所以/C1平面4BC/1，所以直线BC与平面4BC31所成的角为NCBC1=疝,

所以C正确；

对于D中，如图所示，设点。到面AC%的距离为九，因为△4C%为正三角形，

,1nJ3

XACXXDSln

所以S△ACD1=2l3=H，

11

又因为S44CD=2X4。xCD=2,根据等体积转换可知：VD_ACD^=VD_ACD,

111/311/3

即§xhxS^ACD]=§xDO]xSAACD，即/Ix彳=§x1X,,解得h=可，所以D错误.

故选：BC.

11.（5分）（2023•广西玉林•校联考模拟预测）已知直线x+y=0与圆M：j+（y-2）2=/相切，则下列

说法正确的是（）.

A.过（0,5）作圆M的切线，切线长为"

B.圆M上恰有3个点到直线x-y+3=0的距离为境

C.若点（x,y）在圆M上，则备的最大值是2+平

D.圆0—3）2+3心=2与圆赫的公共弦所在直线的方程为3x+y-7=0

【解题思路】对于A：根据题意可得圆心和半径，结合切线性质分析求解；对于B：根据圆的性质结合点

到直线的距离分析求解；对于C：设*=k,分析可知直线质-y+2k=0与圆M有公共点，结合点到直

线的距离分析求解；对于D：根据两圆方程判断两圆的位置关系即可.

【解答过程】圆M:J+（y—2）2=/的圆心"（0,2）,半径为「，

若直线久+y=0与圆M:7+（y-2）2=/相切，贝忏=*=

对于选项A：因为点4（0,5）到圆心虫0,2）的距离眼川=3>#=「，

可知点4在圆外，所以切线长为川2T2=",故A正确；

对于选项B：因为圆心M（0,2）到直线x-y+3=0的距离为d=三罗=妹=

所以圆M上恰有3个点到直线%—y+3=0的距离为亭，故B正确；

对于选项C：因为若点（%,y）在圆M上，则一小《久工也，可知久+2W0,

V

设771=%贝必久一y+2k=0,

可知直线依―y+2k=0与圆M有公共点，则也，解得2—押WkW2+平，

所以备的最大值是2+々，故C正确；

对于选项D：圆（%-3）2+（y—3心=2的圆心N（3,3）,半径R=”,

则iMNl=^/（3-0）2+（3-2）2=①，可得|MN|>R+r,

所以两圆外离，没有公共弦，故D错误；

故选：ABC.

12.（5分）（2023•安徽•校联考模拟预测）若函数/（吗=。『+加及+次，既有极大值点又有极小值点,

则（）

2

A.ac<0B.bc<0C.a（b+c）<0D.c+4ab>0

【解题思路】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.

【解答过程】由题知方程/（X）=aex-be~x+c=="=0,

e

ae?"+ce'-b=0有两不等实根％Jx2,

令1=1,t>0,则方程a*+ct-b=0有两个不等正实根G，t2,

aH0

?

A=c+4ab>0.2

,/工2c+4ab>0

其中G=e,t=e，ac<0

2t1+t2-a-->0

bab<0

,t/2=F>°

{a(b+c)=ab+acV0，故ACD正确，B错t天.

故选：ACD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2023•全国•模拟预测）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中

国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋

7

比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为一记.

【解题思路】利用组合的知识结合古典概型的概率公式可解.

【解答过程】从5人中任选3人，一共有C；种选法.

所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有C；种选法；3人中有2名男生1名女

321

21*7

生，有耳号种选法.则所选3人中至多有1名女生的概率P=而，

C5

7

故答案为：元.

2

a2+42b+b+2

14.(5分)(2023•全国•校联考模拟预测)已知。>0,b>0f且满足a+2b=3,则2匕+1的

7

最小值为

【解题思路】根据基本不等式即可求解.

【解答过程】由于。>0,6>0,所以

?7

a+42b+b+2a2(2b+l)b+2a2121

2a2D+12a2b+12a22D+12

/a2li2117

22/x£+2M2b+l)x^73-2=4-=于

a2

5——i

当且仅当，i2a2，即a=2,b=5时等号成立.

P+1)=^TT

7

故答案为：2.

15.(5分)(2023•四川甘孜•统考一模)设/(久)为/(公的导函数，若f(幻=%/一/(1)久，则曲线y=f(久)

在点(1)(1))处的切线方程为_ex-y-e=0_.

【解题思路】对原函数求导并求得/(l)=e,再由导数几何意义写出切线方程.

【解答过程】由题设/(久)=(x+l)」一/(1),则/(l)=2e—/(l)=/(l)=e,

所以/'(x)=x(ex-e),则f(l)=0,

综上，点(1)(1))处的切线方程为y=e(x-l),即e久一y-e=0.

故答案为：ex-y-e=0.

16.（5分）（2023上•四川成都•高三校考阶段练习）在三棱锥S-4BC中，ABAC=3NSC4=90。,

SAIAB,SB=国,AB=3,则三棱锥S—28C外接球的体积为_寸_.

【解题思路】找到外接球的球心，计算出外接球的半径，从而求得外接球的体积.

【解答过程】依题意48_15443_14&54。4。=4544。匚平面54。，所以4B1平面S4C,

由于4Bu平面4BC,所以平面48C_L平面SAC

设。,E分别是BC/C的中点，贝的E//4B,所以DE,平面S4C.

设尸是三角形S4C的外心，S4=（13-9=2,

21

由正弦定理得凡4=而如x2=2,

过尸作F。_L平面S4C,过。作。。J.平面ABC,FOCDO=O,连接EF,

EFu平面S4C,则DE1EF,所以四边形ODEF是矩形，

则。是三棱锥S-ABC外接球的球心.

由于ZFu平面S4C,所以。F14F,

在Rt△4F。中，AF=2,OF=OE=2，

所以。4=工I4+小9亍5也即三棱锥S-4BC外接球的半径为25，

所以外接球的体积为?x（?）=~^-.

126

故答案为：丁TL

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）（2023•上海奉贤•统考一模）在△ABC中，设角人B、C所对边的边长分别为a、b、c,己

知4c=y/3bcosA+asinB.

（1）求角8的大小；

（2）当a=2"，6=24时，求边长c和△4BC的面积S.

【解题思路】（1）借助正弦定理将边化为角，结合C=TT-G4+B）及两角和的正弦公式计算化简即可得；

（2）根据正弦定理即可计算出4结合8可求出C,再试用正弦定理即可得到c,再使用面积公式即可得到

面积.

【解答过程】（1）由正弦定理得J^sinC=J^sinBcosA+sinAsinB,

由于C=it—（A+B）,则J^sinQ4+B）=J^sinBcos力+sinXsinB,

展开得J^sinAcosB+J^sinBcosA=J^sinBcos力+sin力sinB，

化简得V^cosB=sinB,

则tanB=y/3,

所以B=g；

（2）由正弦定理，得工=旨意=蠲，即有sin&=',

因为a<b,所以4是锐角，即4=今

,,,2n

因为2+c=m，

”,5n

所以C=正，

2/ITnnTTXy/6+y/2r—r—

c=x

­sinC=4^sin?coSi+si%cos。=4x="6+"2,

11B/RRirn）

所以=2absinC=《义273义Isin^cos^+sin^cos^l

2/x—=3+S

18.(12分)(2023•安徽•校联考模拟预测)已知正项数列｛4｝的前几项和为S"且满足2科=4+1,

nGN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

2

(2)若数列｛bj满足%=4+as+J求数列｛bj的前几和7

【解题思路】(1)根据数列递推式求出首项，得出当兀22时，Sn_i=；(an_i+1)2,和Sn=](an+1)2相

减并化简可得4-5_1=2,即可求得答案;

(2)利用(1)的结果可得%=5+£—的表达式，利用等差数列的前〃项和公式以及裂项法求和，即

〃“unun+l

可求得答案.

【解答过程】(1)由=%+1得Sn=；(an+1)2,则4=；(%+1)2,解得4=1,

2

当nN2时，Sn_1=^an_1+1),所以％=$「$51=；(4+1了一轴―+1)匕

整理得(4-%])(％+@71-1)=2(4+*),

因为｛%J是正项数列，所以an+an_i>0,所以与—七_]=2,

所以｛4｝是首项为1，公差为2的等差数列，

所以a九=1+2(n—1)=2n—1,neN*.

(2)由(1)可得，an=2n-l,

仁一2211

所以%=%+=2n-l+(2-i)(2n+i)=2n—1+~—5^71，

所ll,以।北=n—(l+22—n-l)+b/I-31+13-15+…+京11一布14\

19.(12分)(2023•全国•模拟预测)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费

者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司

2023年前5个月的带货金额：

月份X12345

带货金额y/万元350440580700880

(1)计算变量x,y的相关系数r(结果精确到0.01).

(2)求变量x,y之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.

(3)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性2530

男性10

总计

请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.

参考数据：y=590,Jx.-x)2=io,5^(y.-y)2=176400,

5_]&_歹)(丫厂方)=1320,041000«664.

2：=1&-习(%-歹)八忆歹)八_

参考公式：相关系数「=『„」线性回归方程的斜率力=二一-~丁，截距a=歹—加.

2niad—bc)2

附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+6+c+d・

PR>fcQ)0.150.100.050.025

k02.0722.7063.8415.024

【解题思路】(1)直接代入求相关系数即可;

(2)根据线性回归方程求解回归方程即可；

(3)零假设之后计算K2,再比较大小判断零假设是否成立即可.

,,=13201320

【解答过程】(1)r=|5S-=皿"17640。=2X^441000"°'"

(2)因为M=g1xQ+2+3+4+5)=3,9=5902,5_Jx-%)=10,5_Jx-x)(y-y)=1320,

E：=i&-才包一刃1320.

所以---r--------=1、=132,a=590—132x3=194,

£(x-z)210

y=1

所以变量X,y之间的线性回归方程为力=132X+194,

当x=7时，y=132x7+194=1118(万元).

所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元.

(3)补全完整的列联表如下.

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性25530

男性151025

总计401555

零假设H0：参加直播带货与性别无关,

D55x(25x10—5x15)2

根据以上数据，经计算得到K，=30X25X40X15。3.743>2.706=%01,

根据小概率值a=0.1的独立性检验我们推断Ho不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率

不超过10%.

20.(12分)(2023・上海奉贤・统考一模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖

腌.如图，已知四面体P—ABC中，P41平面ABC,PA=BC^1.

(1)若4B=1,PC=后求证：四面体P—48c是鳖席，并求该四面体的体积；

(2)若四面体P—4BC是鳖腌，当4C=a(a>l)时，求二面角力一BC—P的平面角的大小.

【解题思路】(1)借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三

角形即可，体积借助体积公式计算即可得；

TtH

(2)根据题意，会出现两种情况，即乙48c=2或=分类讨论计算即可得.

【解答过程】(1)PA_L平面48C,AB.ACu平面4BC,

•­•PALAB,PALAC,

•.APAC,△PAB为直角三角形，

••・在直角△P4C中，\AC\=^\PC\2-\PA\2=^,

在直角△P4B中，\PB\=』PA2+PB?=",

.•.在△4BC中，有MCr=+IBCF,

•••AB1BC,故△ABC为直角三角形,

在△PBC中，有|PC『=|PB|2+|BC『,

故PB1BC,故APBC为直角三角形，

故四面体P-4BC四个面都是直角三角形，即四面体P-4BC是鳖席,

1..111

VP-ABC=3SAABC•IP川=§X2X1X1X1=石；

(2)•.•P41平面ABC,BCu平面48C,

PA1BC,

由ZC=a>1=AB,

故Nb4c不可能是直角，

IT

若N2BC=2，则有ABIBC,

又PAJ.BC,PA.48u平面P4B,PAnAB=A,

故8cl平面PHB,又PBu平面P4B,

故BC1PB,

"BP是二面角A—BC—P的平面角,

AC=a,BC=1,AB=Ja2—1,tanZ-PBA=1

所以二面角力-BC-P的平面角的大小为arctan\—.

a-1

...n

右NACB=2,

同理可得NZCP是二面角4-BC-P的平面角,

4P1

所以tan乙4cp=而=

1

所以二面角的平面角的大小为arctan苏

综上所述，二面角Z-BC-P的平面角的大小为arctanj」或arctan；.

a-1u

21.(12分)(2023•吉林长春・东北师大附中模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线£：/=2「乂

(P>O)的焦点为凡E的准线交x轴于点K,过K的直线/与抛物线£相切于点/,且交y轴正半轴于点P.

已知△2KF的面积为2.

(1)求抛物线£的方程；

(2)过点尸的直线交£于M,N两点，过/且平行于y轴的直线与线段。/交于点7,点〃满足祈=而.

证明：直线"N过定点.

【解题思路】(1)根据题意假设得直线/：%=my-f,联立抛物线方程求得，A^,p),再利用三角形面积

即可求得p=2,由此得解；

4

(2)根据题意设得MN：y=kx+l,联立抛物线方程求得y1+%=当为=白再依次求得T，»的坐标，

-4x

Yi+y2i

从而求得直线HN的方程，化简可得HN为y=丫1,由此得证.

人2X1

【解答过程】⑴由题可知,错,0),准线％=一,《一剑,

因为直线/的斜率存在且不为0,所以设/：%=my-l，

联立yPP,消去x,得y2-2p?ny+p?=0,

x=my—

因为/与E相切，所以A=422(62_1)=0,所以血=1或僧=一1,

因为交y轴正半轴于点尸，所以m=l,

因此y2—2py+p2=0,解得y=p,所以礁p),

17

故2FLKF,所以S44KF=iP=2，所以P=2(负值舍去)，

所以抛物线E的方程为/=4%.

（2）由（1）知4（1,2）,又/：y=x+l,所以P（O,1）,

如图所示:

因为过点尸的直线交£于屈，N两点,所以MN斜率存在且不为零，

所以设MN：y=kx+l（/c0）,A^（x2,y2）,

联立"1,消去X，得如2—4y+